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Simplificação de superfícies. Margareth Catoia Varela. O Problema. Seja uma superfície com n vértices Encontrar uma boa aproximação usando m vértices. Encontrar uma aproximação compacta com erro menor que um valor estipulado ( ε ). Quem faz simplificação?.
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Simplificação de superfícies Margareth Catoia Varela
O Problema • Seja uma superfície com n vértices • Encontrar uma boa aproximação usando m vértices. • Encontrar uma aproximação compacta com erro menor que um valor estipulado (ε).
Quem faz simplificação? • Cartografia, Sistemas de informação geográfica • Simuladores • Computação Gráfica • Visualização científica • Visão computacional • Geometria computacional • CAD • Teoria da aproximação
Características do Problema Que problema resolver? • Topologia da saída • Topologia e geometria da entrada • Outros atributos • Domínio da saída • Topologia da triangulação • Elementos de aproximação • Métrica de erro • Restrições
Simplificação • Métodos incrementais baseados em atualizações locais • Decimação de malhas [Schroeder et al. ‘92,... e outros] • Otimização da função de energia [Hoppe et al. ‘93, Hoppe ‘96, Hoppe ‘97] • Métrica do erro usando quádricas [Garland et al. ‘97] • Junção de faces coplanares (merging) [Hinker et al. ’93, Kalvin et al. ’96] • Re-tiling[Turk’92] • Clustering[Rossignac et al. ’93,... e outros] • Baseados em wavelets [Eck et al. ‘95]
Métodos incrementais baseados em atualizações locais • Simplificação procede como uma seqüência de atualizações locais • Cada atualização reduz o tamanho da malha e diminui a precisão da aproximação
...Métodos incrementais baseados em atualizações locais... • Operações de atualização local: • Remoção de vértices • Contração de arestas • Contração de triângulo
...Métodos incrementais baseados em atualizações locais... • Pseudo-código comum: Faça • Seleciona elemento a ser removido / contraído • Executa operação • Atualiza malha Até que: precisão/tamanho da malha esteja satisfatório
Otimização da função de energia Mesh Optimization [Hoppe et al. ’93] • Simplificação baseada na execução iterativa de: • Contração de aresta (collapse) • Partição de aresta (split) • Troca de aresta (swap)
Otimização da função de energia:Mesh Optimization • Qualidade da aproximação avaliada com uma função de energia: E(M) = Edist(M) + Erep(M) + Espring(M) Edist: soma das distâncias dos pontos originais a M Erep: fator proporcional ao número de vértices em M Espring: soma dos comprimentos das arestas
Otimização da função de energia:Mesh Optimization • Estrutura do algoritmo • Ciclo de minimização exterior • Seleciona uma ação legal (collapse/split/swap) que reduza a função de energia • Executa a ação e atualiza a malha (Mi Mi+1) • Ciclo de minimização interior • Otimiza a posição dos vértices de Mi+1 com respeito a malha inicial M0 Para reduzir a complexidade: • Seleção da ação lega é feita randomicamente • Número fixo de iterações para minimização interna
Otimização da função de energia:Mesh Optimization • Avaliação • Alta qualidade dos resultados • Preserva topologia, re-amostra os vértices • Tempo de processamento alto • Não é fácil de implementar • Não é fácil de usar • Adota avaliação de erro global, mas aproximação não-limitada
Otimização da função de energia:Progressive Meshes Progressive Meshes [Hoppe ’96] • Ação executada: apenas Collapse • Armazenamento da sequência de transformações inversas • Multiresolução • Transmissão progressiva • Refinamento seletivo • Geomorph
Otimização da função de energia:Progressive Meshes • Preserva aparência da malha (2 novos componentes na função de energia: Escalar, Edisc) • Exemplo:
Otimização da função de energia:Progressive Meshes • Avaliação • Alta qualidade dos resultados • Preserva topologia, re-amostra os vértices • Não é fácil de implementar • Não é fácil de usar • Adota avaliação de erro global, mas aproximação não-limitada • Preserva atributos vetoriais/escalares e descontinuidades • Suporta saída em multiresolução, morphing geométrico, transmissão progressiva, refinamento seletivo • Mais rápido do que MeshOptm.
Decimação Mesh Decimation[Schoroeder et al ‘92] • Baseado na remoção controlada de vértices • Classificação dos vértices (removível ou não) baseada na topologia/geometria local e precisão requerida Faça • Escolhe um vértice removível vi • Remove vi e suas faces incidentes • Triangula o “buraco” Até que: não exista vértice removível ou taxa de redução alcançada
...Decimação... • Fases do Algoritmo • Classificação topológica dos vértices • Avaliação do critério de decimação (avaliação do erro) • Re-triangulação do pedaço de triângulos removidos
...Decimação... • Adota avaliação local da aproximação! • max determinado pelo usuário • Exemplo:
...Decimação... • Avaliação: • Eficiente (velocidade e taxa de redução) • Implementação e uso simples • Boa aproximação • Trabalha sobre malhas enormes • Preserva topologia • Erro não limitado
Mesh Decimation: Trabalhos complementares • Precisão da aproximação melhorada, garantia de erro limitado • Erro limitado [Cohen ’96, Gueziec ‘96] • Avaliação global de erro [Soucy’96,Bajaj’96,Klein’96,Ciampalini’97, + ...] • Re-triangulação esperta (edge flipping) [Cohen ’96, Gueziec ‘96] • Multiresolução [Ciampalini ‘97] • Decimação de outras entidades • Arestas [Gueziec ’95-’96, Ronfard’96, Algorri ‘96] • Faces [Hamann ‘94] • Cores e atributos preservados [Soucy ’96, Cohen et al. ‘98] • Simplificação de topologia [Lorensen ‘97]
Métrica de erro por quádricas Simplificação com Métrica de Erro usando quádricas [Garland et al. ’97] • Baseado em sequência de operações de contração de aresta • Topologia não preservada
...Métrica de erro por quádricas... • Erro geométrico da aproximação gerenciado pela distância quádrica ao planos incidentes ao vértice => representação matricial • Estrutura do algoritmo • Seleciona um par de vértices válido e insere em uma estrutura de dados ordenada pelo mínimo custo • Faça • Extrai um par válido de vértices, v1 e v2, da estrutura ordenada e contrai-os num novo vértice vnovo; • Recalcula o custo para todos os pares que contém v1 e v2 e atualiza a estrutura ordenada. • Até que: Aproximação/redução seja suficiente ou estrutura ordenada esteja vazia
...Métrica de erro por quádricas... • Exemplo
...Métrica de erro por quádricas... • Avaliação: • Método incremental; iterativo • Erro é limitado • Permite simplificação de topologia • Resultados com alta qualidade e tempo de processamento baixo
Algoritmos de simplificação • Métodos não incrementais • Junção de faces coplanares (merging)[Hinker et al. ’93, Kalvin et al. ’96] • Re-tiling[Turk’92] • Clustering[Rossignac et al. ’93,... e outros] • Baseados em wavelets [Eck et al. ‘95]
Junção de faces coplanares Otimização geométrica [Hinker ’93] • Construção de conjuntos de “quase” coplanares • Criação de lista de arestas e remoção de arestas duplicadas • Remoção de vértices colineares • Triangulação dos polígonos resultantes
... Junção de faces coplanares... • Avaliação: • Heurística simples e eficiente • Avaliação do erro é altamente imprecisa e erro não é limitado (depende do tamanho relativo da faces unidas) • Vértices são subconjunto dos originais • Preserva descontinuidades geométricas e topologia
...Junção de faces coplanares... Superfaces[Kalvin, Taylor ‘96] • Agrupa as faces da malha em conjunto de superfaces: • Iterativamente escolhe uma face fi como a superface corrente Sfj • Encontra, por propagação, todas as faces adjacentes a fi, cujos vértices estão a uma distância /2 do plano principal até Sfj e insere-as nesta superface • Para ser unida, cada face tem que ter orientação similar às outras em Sfj • Alinha a borda da superface • Retriangula cada superface
Junção de faces coplanares: Superfaces • Exemplo:
Junção de faces coplanares: Superfaces • Avaliação: • Heurística um pouco mais complexa • Avaliação do erro mais precisa e erro limitado • Vértices são subconjunto dos originais • Preserva descontinuidades geométricas e topologia
Re-tiling Re-Tiling[Turk ‘92] • Distribui um novo conjunto de vértices sobre a malha triangular original • Remoção de parte dos vértices originais • Retriangulação local
Clustering Vertex Clustering [Rossignac, Borrel ‘93] • Detecta e une grupos de vértices próximos • Todas as faces com 2 ou 3 vértices num grupo são removidas • Aproximação depende da resolução do grid • Não preserva topologia
...Clustering... • Exemplo
...Clustering... • Avaliação: • Alta eficiência • Implementação e uso muito simples • Aproximações de baixa qualidade • Não preserva topologia • Erro é limitado pelo tamanho da célula do grid
Métodos Wavelet Análise de Multiresolução [Eck et al. ’95, Lounsbery ‘97] • Baseado na aproximação por wavelet • Malha base simples • Termos de correção local (coeficientes wavelet) • Dado uma malha de entrada • Particiona • Parametriza • Re-amostra • Caracterísiticas • Erro limitado, compacta representação em multiresolução, edição da malha em múltiplas escalas
... Métodos Wavelet... • Exemplo
Bibliografia da apresentação • Surface Simplification Algorithms Overview Leila De Floriani, Enrico Puppo, Roberto Scopigno • Survey of Polygonal Surface Simplification Algorithms Paul S. Heckbert, Michael Garland
