Kapitel 1 Gruppen

1. Kapitel 1Gruppen

2. Inhalt 1.1 Definition und Beispiele 1.2 Einfache Strukturaussagen 1.3 Normalteiler 1.4 Einfache Gruppen 1.5 Auflösbare Gruppen 1.6 Operationen von Gruppen auf Mengen 1.7 Die Sylowschen Sätze

3. 1.1 Definition und Beispiele Definition. Eine Gruppe besteht aus einer Menge G zusammen mit einer Verknüpfung ? , so dass folgende Axiome erfüllt sind: (G1) Assoziativität: Die Verknüpfung ? ist assoziativ: (g ? h) ? k = g ?(h ? k) für alle g, h, k Î G. (G2) Existenz eines neutralen Elements: Es gibt ein Element aus G, das wir e nennen, für das gilt: e ? g = g für alle g Î G. (G3) Existenz inverser Elemente: Für jedes g Î G gibt es ein Element aus G, das wir g–1 nennen, für das gilt: g–1 ? g = e.

4. Definition und Bemerkungen Bemerkung: g–1 ist nur ein „linksinverses“ Element; wir werden zeigen, dass es auch rechtsinvers ist. Man sagt oft: G ist eine Gruppe, oder (G, ?) ist eine Gruppe. Wenn zusätzlich das folgende Axiom (G4) gilt, nennt man eine Gruppe G (kommutativ oder) abelsch: (G4) Für je zwei Elemente g, h Î G gilt g ? h = h ? g. Bemerkung. Manchmal ist es natürlich, die Verknüpfung einer Gruppe additiv zu schreiben. Dann bezeichnen wir das neutrale Element mit 0 und das zu g inverse Element mit –g.

5. Eindeutigkeiten Eindeutigkeit des neutralen Elements und der inversen Elemente. In jeder Gruppe gibt es nur ein neutrales Element; jedes Element einer Gruppe hat genau ein inverses Element. Beweis. Sei e ein nach (G2) existierendes neutrales Element. 1. Es gilt gg–1 = e. (Jedes linksinverse Elt. ist auch „rechtsinvers“.) (Sei h = g–1. Dann ist gg–1 = e(gg–1) = (h–1h)(gg–1) = h–1((hg)g–1) = h–1((g–1g)h) = h–1(eh) = h–1h = e.) 2. Es gilt ge = g für alle g ? G. (e ist auch „rechtsneutral“.) (ge = g(g–1g) = (gg–1)g = eg = g.)

6. Beweis (Fortsetzung) 3. Es gibt nur ein neutrales Element in G. (Sei e* ein Element, für das ebenfalls e*g = g für alle g ? G gilt. Dann ist e*e = e. Aus 2. folgt e*e = e*. Also ist e* = e*e = e.) 4. Für jedes g ? G gibt es nur ein zu g inverses Element. (Sei h ein weiteres zu g inverses Element. Dann gilt hg = e. Mit 2. und 1. folgt also h = he = h(gg–1) = (hg)g–1 = eg–1 = g–1.) ?

7. Beispiele, die wir schon kennen Beispiele: R\{0} und Q\{0} sind bezüglich der normalen Multiplikation Gruppen. Allgemein gilt: Multiplikative Gruppe eines Körpers. Sei K ein Körper mit Addition + und Multiplikation ??. Dann ist die Menge K* = K\{0} bezüglich ? eine Gruppe (multiplikative Gruppe des Körpers K). Additive Gruppe eines Rings. Sei R ein Ring mit Addition +. Dann ist die Menge R bezüglich + eine Gruppe. Insbesondere ist jeder Körper K zusammen mit der Addition eine Gruppe (additive Gruppe des Körpers K). Beispiele: (Z, +), (2Z, +), (dZ, +). Aber: (Z, ?), (Z\{0}, ?): keine Gr.

8. Beispiele, die wir schon kennen II Beispiele: (Zn, +) ist eine Gruppe(Zn\{0}, ?) ist nur dann eine Gruppe, wenn n eine Primzahl ist. Allgemein definiert man: Zn* = {a ? Zn ? ggT(a, n) = 1}. (Zn* , ?) ist für jede natürliche Zahl n ? 1 eine Gruppe. Additive Gruppe eines Vektorraums. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Dann bildet die Menge V zusammen mit der Vektorraumaddition eine abelsche Gruppe.

9. Gruppen aus Matrizen und Abbildungen: Addition Beispiele: (Km×n, +) ist eine Gruppe. Sei Abb(X, Y) die Menge aller Abbildungen einer Menge X in eine Gruppe Y. Dann ist Abb(x, Y) eine Gruppe bezüglich der Addition (Erinnerung: (f + g)(x) := f(x) + g(x) für alle x Î X.) Insbesondere bildet die Menge aller linearen Abbildungen eines Vektorraums V in einen Vektorraum W eine Gruppe.

10. Gruppen aus Matrizen: Multiplikation Volle lineare Gruppe. Die Menge aller n×n-Matrizen über einem Körper K mit Determinante ? 0 bildet bezüglich der Matrizen-multiplikation eine Gruppe (general linear group, GL(n, K)). Spezielle lineare Gruppe. Die Menge aller n×n-Matrizen über einem Körper K mit Determinante 1 bildet bezüglich der Matrizen-multiplikation eine Gruppe (special linear group, SL(n, K)). Die Menge aller umkehrbaren linearen Abbildungen eines Vektor-raums V in sich bildet bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe; man bezeichnet diese Gruppe auch mit GL(V).

11. Sn, An Beispiele: Die Menge aller Permutationen einer Menge X bildet bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe. Diese wird die symmetrische Gruppe auf X genannt. Wenn die Menge X genau n Elemente hat, so wird die symmetrische Gruppe auf X auch mit Sn bezeichnet. Die Menge der geraden Permutationen wird mit An bezeichnet. Sie besteht aus genau den Permutationen, die sich als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen schreiben lassen. An ist bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe. Sie heißt die alternierende Gruppe. Wir wissen: ?Sn? = n!, ?An? = n!/2.

12. 1.2 Einfache Strukturaussagen Definition. Sei G eine Gruppe mit der Verknüpfung ?. Eine Teilmenge U von G heißt eine Untergruppe von G, falls U zusammen mit der von G auf U induzierten Verknüpfung ? ebenfalls eine Gruppe ist. Beispiele: – Jede Gruppe G hat die trivialen Untergruppen G und {e}.– (nZ, +) ist eine Untergruppe von (Z, +). – An ist eine Untergruppe von Sn. – Die Menge {–1, 1} ist eine Untergruppe von (R\{0}, ?). – Die Menge {1, –1, i, –i} ist eine Untergruppe von (C\{0}, ?).

13. Untergruppenkriterium Satz (UGK). Sei U eine Teilmenge der Gruppe (G, ?). Dann ist U eine Untergruppe von G, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:– U ? {}.– Wenn g ? U ist, so ist auch g–1 ? U.– Wenn g, h ? U sind, so ist auch gh ? U. Beweis. Wegen der dritten Forderung ist ? eine Verknüpfung auf U. (G1) ? ist auf U assoziativ, da ? schon auf G assoziativ ist.(G2) Erste Forderung: Es gibt ein Element g in U. Zweite Forderung: Dann ist auch g–1 in U, Dritte Forderung: Auch gg–1 = e liegt in U liegt. (G3) ergibt sich aus der zweiten Forderung. ?

14. Nebenklassen Definition. Sei U eine Untergruppe von G, und sei g ? G, so ist die Menge gU = {gu ? u ? U} eine Nebenklasse von G nach U (g: Repräsentant von gU). Beispiel: Sn nach An hat nur zwei Nebenklassen. Satz über Nebenklassen. Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. (a) (Kriterium für die Gleichheit von Nebenklassen). Es gilt: gU = hU ? h–1g ? U. (b) Je zwei verschiedene Nebenklassen sind disjunkt. (c) Die Abbildung f: U ? gU mit f(u) = gu ist bijektiv.

15. Beweis Beweis. (a) Einerseits: gU = hU ? g = ge ? gU = hU ? g = hu für ein u ? U ? h–1g = u ? U (? gh–1 = (h–1g)–1 ? U). Andererseits: u := h–1g ? U ? g = hu ? hU ? gU ? hU. Entsprechend: h = gu–1 ? gU ? hU ? gU. Somit gU = hU. (b) Angenommen, gU und hU haben ein Element x gemeinsam. Dann existieren u, u' ? U mit gu = x = hu'. Daraus folgt h–1g = u'u–1 ? U. Also ist nach (a) gU = hU. (c) Dass f surjektiv ist, folgt aus der Definition von f. Aus gu = f(u) = f(u') = gu' folgt durch Kürzen von g auch u = u'. Also ist f auch injektiv. ?

16. Index Definition. Eine Gruppe heißt endlich, wenn sie nur eine endliche Anzahl von Elementen hat. Für eine endliche Gruppe G ist ?G? eine natürliche Zahl, man nennt sie die Ordnung von G. Beispiele: Sn hat die Ordnung n!, und An hat die Ordnung n!/2 . Definition. Sei G eine endliche Gruppe, und sei U eine Untergruppe von G. Wir nennen die Anzahl der Nebenklassen von G nach U den Index von U in G und bezeichnen diese Zahl mit [G:U]. Zum Beispiel ist der Index von An in Sn gleich 2.

17. Satz von Lagrange Satz von Lagrange. Sei G eine endliche Gruppe, und sei U eine Untergruppe von G. Dann gilt ?G? = ?U? ? [G:U]. Insbesondere teilt die Ordnung jeder Untergruppe die Zahl ?G?. Beweis. Da je zwei Nebenklassen disjunkt sind und da jedes Gruppenelement zu einer Nebenklasse gehört, ist die Menge der Nebenklassen eine Partition von G. Da es eine bijektive Abbildung von U auf gU (g ? G) gibt, haben je zwei Nebenklassen die gleiche Mächtigkeit, nämlich ?U?. Also: ?G? = Anzahl der Nkl. ? Anzahl der Elte pro Nkl. = [G:U] ? ?U?. ?

18. Quadrate modulo p Satz. Sei p eine Primzahl. Wenn –1 ein Quadrat in Zp ist, so ist p–1 durch 4 teilbar. Beispiele: In Z3, Z7, Z11 und Zp mit p = 213466917–1 ist das Element –1 kein Quadrat. (Bemerkung: p = 213466917–1 ist die größte heute bekannte Primzahl. Da 213466917 durch 4 teilbar ist, ist p–1 = 213466917–2 nicht durch 4 teilbar.) Beweis. Sei –1 ein Quadrat in Zp. Dann gibt es ein i ? Zp mit i2 = –1. Nach dem UGK ist dann die Menge U = {1, –1, i, –i} eine Untergruppe von Zp*. Also ist ?U? = 4 ein Teiler von Zp* = p–1. ? Bemerkung: Es gilt auch die Umkehrung.

19. Erzeugnis Definition. Das Erzeugnis der Elemente g1, g2, ... einer Gruppe G ist der Durchschnitt aller Untergruppen von G, die g1, g2, ... enthalten; man schreibt dafür <g1, g2, ...>: <g1, g2, ...> = ? {U ? U Untergruppe, die g1, g2, ... enthält}. Man kann aber das Erzeugnis dieser Elemente auch so beschreiben: <g1, g2, ...> besteht aus allen Produkten der Elemente g1, g1, ... und ihrer Inversen; also <g1, g2, ...> = {g1, g2, ..., g1g2, g2g1, g1g2g1, g1–1g2, e,  ..., g1g2g2, ..., g2g2–1g1g2 –1, ...}

20. Zyklische Gruppen Beispiel: Die von einem Element g ? G erzeugte Untergruppe <g> von G besteht aus allen ganzzahligen Potenzen von g: <g> = {gz ? z ? Z}. Definition. Man nennt <g> die von g erzeugte zyklische Untergruppe von G. Eine Gruppe, die von einem Element erzeugt wird, heißt zyklisch. Eine additiv geschriebene Gruppe (G, +) ist zyklisch, wenn es ein Element g ? G gibt mit G = <g> = {zg ? z ? Z}. Beispiele. (a) (Z, +) ist eine unendliche zyklische Gruppe. (b) Die Gruppe (Zn, +) ist eine zyklische Gruppe der Ordnung n.

21. Ordnung eines Elements Definition. Die Ordnung eines Elements g ? G ist die Ordnung der von g erzeugten Untergruppe von G. Satz von Lagrange für Gruppenelemente. Sei g ein Element einer endlichen Gruppe G. Dann teilt die Ordnung von g die Ordnung von G. Beweis. Die Ordnung von g ist die Mächtigkeit der Untergruppe <g> von G. ? Satz über die Ordnung von Elementen einer Gruppe. Sei g ein Element einer Gruppe G. Dann ist die Ordnung von g unendlich, oder die Ordnung ist die kleinste positive ganze Zahl k mit gk = e.

22. Beweis Beweis. Betrachte die zyklische Untergruppe <g> ={gz | z ? Z}. 1. Fall Alle Elemente gz | z ? Z sind verschieden. Dann hat g unendliche Ordnung. 2. Fall Es gibt i, j ? Z, i > j, mit gi = gj. Dann ist für s = i-j > 0: gs = e Sei k die kleinste natürliche Zahl mit gk = e. Dann sind in H = {e,g,g2, ..., gk-1} alle Elemente verschieden (Minimalität von k). H ist multiplikativ abgeschlossen und damit eine Untergruppe von G. Also ist <g> = H, und die Ordnung von g ist k.

23. Fermat, Euler Korollar. Wenn G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung m ist, so ist G = {g0, g1, g2, ..., gm–1} = {e, g, g0, ..., gm–1}. Kleiner Satz von Fermat. Wenn G eine endliche Gruppe ist, dann gilt für alle Elemente g ? G: g?G? = e. P. de Fermat, 1601 - 1665: Zp* ( p prim), L. Euler, 1707 - 1783: Zn* Satz von Euler. Sei g eine ganze Zahl zwischen 1 und n–1. Wenn g teilerfremd zu n ist, so gilt g?Zn*? mod n = 1. Kleiner Satz von Fermat (Original): gp–1 mod p = 1, falls p prim.

24. Untergruppen einer zyklischen Gruppe Satz über die Untergruppen einer zyklischen Gruppe. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Wenn k ein Teiler von n ist, dann hat G eine Untergruppe der Ordnung k. Beweis. Sei g ein erzeugendes Element von G. Da k ein Teiler von n ist, gibt es eine natürliche Zahl m mit km = n. Behauptung: h := gm ist ein Element der Ordnung k. Ordnung von h ist ? k: Denn hk = (gm)k = gmk = gn = e. Ordnung k‘ von h ist nicht < k. Sonst wäre gmk‘ = (gmm)k‘ = hk‘ = e mit mk' < mk = n; also hätte g eine Ordnung < n, ein Widerspruch. Daher erzeugt h eine Untergruppe <h> von G der Ordnung k. ?

25. Homomorphismus, Isomorphismus, Automorphismus Definition. Seien G und H Gruppen. Eine Abbildung f: G ? H heißt ein Homomorphismus (der Gruppen G und H), falls für alle g, g' ? G gilt f(gg') = f(g)f(g'). Ein Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, und ein Automorphismus ist ein Isomorphismus einer Gruppe auf sich selbst. Zwei Gruppen G und H heißen isomorph (in Zeichen G ? H), falls es einen Isomorphismus von G auf H gibt. Beispiele: (a) S3 und die Symmetriegruppe eines regulären Dreiecks sind isomorph. (b) Die Abbildung sig: Sn ? {–1, 1}, die jeder Permutation ihr Signum zuordnet, ist ein Homomorphismus von Gruppen.

26. Klassifikation der zyklischen Gruppen Klassifikation der zyklischen Gruppen. Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu Z oder zu Zn. Beweis. Sei G eine zyklische Gruppe, die g ? G erzeugt wird. 1. Fall: <g> ist unendlich.Dann sind die Elemente gz für z ? Z alle verschieden und es gilt G = <g> {gz ? z ? Z}. Also ist die Abbildung f: G ? Z, die durch f(gz) := z definiert ist, ein Isomorphismus von G in (Z, +). 2. Fall: <g> ist eine endliche Gruppe. Sei n die Ordnung von <g>. Dann ist die Abbildung f: G ? Zn, die definiert ist durch f(gi) = i, ein Isomorphismus. ?

27. 1.3 Normalteiler Definition. Eine Untergruppe N einer Gruppe G heißt ein Normalteiler (normale Untergruppe) von G, falls für alle g ? G gilt: gNg–1 ( := {gng–1 ? n ? N}) ? N. Beispiele: (0) Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist ein Normalteiler. (1) Stets sind {e} und G Normalteiler der Gruppe G („triviale Normalteiler“) (2) Die Menge An der geraden Permutationen bildet einen Normalteiler von Sn.

28. Charakterisierung von Normalteilern Hilfssatz. Sei U eine Untergruppe von G. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (a) U ist ein Normateiler von G (d. h. gUg–1 ? U für alle g ? G). (b) gUg–1 = U für alle g ? G. (c) gU = Ug für alle g ? G. (d) gU ? Ug für alle g ? G. (e) gh–1 ? U ? g–1h ? U. Beweis. „(a) ? (b)“: U = g–1(gUg–1)g ? g–1Ug ? U, da U Normalteiler. „(b) ? (c) ? (d)“: trivial.„(d) ? (e) ? (a)“: einfach (ÜA). ?

29. Beispiele Sei f: G ? H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist Kern(f) (:= {g ? G ? f(g) = eH}) ein Normalteiler. Beweis. Sei g ? G und n ? Kern(f) beliebig. Dann ist f(gng–1) = f(g)f(n)f(g–1) = f(g)eHf(g–1) = f(g)f(g–1) = f(gg–1) = f(eG) = eH. Also liegt gng–1 in Kern(f). ? Wenn eine Untergruppe U einer Gruppe G den Index 2 hat, dann ist sie ein Normalteiler. Beweis. Sei g ? G\U beliebig. Da U den Index 2 hat, ist sowohl gU als auch Ug die Menge G\U. Daher ist gU = Ug. Nach dem Hilfssatz ist U also ein Normalteiler. ?

30. Die Faktorgruppe Definition. Sei U eine Untergruppe der Gruppe G. (a) Wir bezeichnen die Menge der Nebenklassen von G nach U mit G/U. (b) Wir definieren: (gU) ? (hU) := ghU. Satz über die Faktorgruppe. Wenn U ein Normalteiler ist, dann ist G/U eine Gruppe (Faktorgruppe). Beweis. (a) Obige Verknüpfung ist wohldefiniert: Sei gU = g‘U und hU = h‘U. Dann ist (g‘U) ? (h‘U) = g‘h‘U = (gu)(hu*)U = guhu*U = ghu**u*U = ghU. (b) Gruppenaxiome ergeben sich direkt. ?

31. Der Homomorphiesatz Korollar. G/Kern(f) ist eine Gruppe. Beweis. Kern(f) ist ein Normalteiler. ? Homomorphiesatz für Gruppen. Sei f: G ? H ein Homomorphismus der Gruppe G in die Gruppe H. Dann gilt G/Kern(f) ? Bild(f). Beweis. Sei N := Kern(f). Wir definieren j(gN) := f(g). Zunächst zu zeigen: j ist wohldefiniert: Sei gN = hN. Dann ist h = gn mit n ? N. Also j(hN) := f(h) = f(gn) = f(g)f(n) = f(g) = j(gN).

32. Beweisfortsetzung j ist ein Homomorphismus: Seien gN und hN zwei beliebige Nebenklassen. Dann gilt: j(gNhN) = j(ghN) = f(gh) = f(g)f(h) = j(gN)j(hN). j ist surjektiv: Dies folgt direkt aus der Definition. j ist injektiv: Seien gN und hN Nebenklassen. Dann ergibt sich: j(gN) = j(hN) ? f(g) = f(h) ? f(gh–1) = f(g)f(h)–1 = e ? gh–1 ? Kern(f) (= N) ? gN = hN. ?

33. Wann ist UV eine Untergruppe? Hilfssatz. Seien U, V Untergruppen von G. Dann ist UV (:= {uv ? u ? U, v ? V}) genau dann eine Untergruppe, wenn UV = VU ist. Beweis. UV ? {}: klar. UV abgeschlossen bzgl. Mult.: Seien uv, u‘v‘ ? UV. Dann ist (uv)(u‘v‘) = u(vu‘)v‘ = u(u*v*)v‘ = (uu*)(v*v‘) ? UV. UV abgeschlossen bzgl. Inversen: Sei uv ? UV. Dann ist (uv)–1 = v–1u–1 = u*v* ? UV. ?

34. Erster Isomorphiesatz Erster Isomorphiesatz. Sei U eine Untergruppe und N ein Normalteiler einer Gruppe G. Dann ist UN eine Untergruppe von G, U ? N ein Normalteiler von U, und es gilt UN/N ? U/(U ? N). Beweis. Da N ein Normateiler ist, gilt gN = Ng für alle g. Also ist UN = ?g ?U gN = ?g ?U Ng = NU. Nach dem Hilfssatz ist also UN eine Untergruppe. Klar: N ist ein Normateiler von UN. Betrachte den Homomorphismus f: U ? G/N, der durch f(u) = uN definiert ist.

35. Beweis Es folgt f(U) = {uN ? u ? U} = {unN ? un ? UN } = UN/N. Da N das neutrale Element von G/N ist, folgt Kern(f) = {u ? U ? uN = N} = {u ? U ? u ? N} = U ? N. Da U ? N Kern eines Homomorphismus ist, ist U ? N als ein Normalteiler in U. Mit dem Homomorphiesatz folgt also: UN/N = Bild(f) ? U/Kern(f) = U/(U ? N). ?

36. Zweiter Isomorphiesatz Zweiter Isomorphiesatz. Sei U und V Normalteiler einer Gruppe G, und sei U ? V. Dann ist V/U ein Normalteiler von G/U, und es gilt (G/U) / (V/U) ? G/V. Beweis. Man betrachtet die Abbildung j: G/U ? G/V, j(gU) = gV?und wende den Homomorphiesatz an.

37. 1.4 Einfache Gruppen Erinnerung: Stets sind {e} und G Normalteiler der Gruppe G („triviale Normalteiler“). Definition. Eine Gruppe G heißt einfach, falls sie nur die „trivialen“ Normalteiler {e} und G hat. Bemerkung: Die Bestimmung aller endlichen einfachen Gruppen war ein Hauptthema der Mathematik des 20. Jahrhunderts. In einem Fall ist das ganz einfach: Satz. Sei G eine abelsche Gruppe. Dann ist G genau dann einfach, wenn G die Ordnung p hat (p Primzahl). In diesem Fall ist G isomorph zu Zp.

38. Beweis Beweis. Sei G eine einfache abelsche Gruppe. Da jede Untergruppe von G ein Normateiler ist, hat G keine Untergruppe verschieden von {e} und G. Jedes Element erzeugt eine zyklische Untergruppe. Ferner muss jede zyklische Untergruppe ? {e} Primzahlordnung haben (sonst gäbe es in dieser Untergruppe eine nichttriviale Untergruppe).Also hat jedes Element ? e Primzahlordnung. Es treten keine zwei verschiedenen Primzahlen auf (sonst gäbe es zwei echte Untergruppen). Ferner gibt es keine zwei Untergruppen derselben Primzahlordnung. Also ist ?G? = p (p prim). Umkehrung: klar. ?

39. Hilfssätze für An Wir wollen zeigen, dass An für n ? 5 eine einfache Gruppe ist. Dazu brauchen wir folgende Hilfssätze: Hilfssatz 1. Sei n ? 5. Dann sind in An je zwei 3-Zykel konjugiert. Das heißt: Für je zwei 3-Zykel g, h ? An gibt es ein f ? An mit h = fgf –1. Beweis. Wir zeigen, dass ein beliebiger Zyklus (i j k) und der Zyklus (1 2 3) konjugiert sind. Wegen n ? 5 gibt es Zahlen l, m (l < m), so dass i, j, k, l, m paarweise verschieden sind.

40. Beweisfortsetzung Dann ist eine der beiden Permutationen f, f‘ in An, denn f und f‘ unterscheiden sich nur um die Transposition (l m): Es folgt: f(1 2 3)f –1 = (i j k) bzw. f‘(1 2 3)f‘ –1 = (i j k). Das ist die Behauptung. ?