Tema III: Solución de ecuaciones no lineales

1. Tema III: Solución de ecuaciones no lineales • Método de la Bisección • Método de Newton • Método de la Secante • Método de Regula Falsi • Método de Sustitución Sucesiva

2. ¿Qué buscan estos métodos? Hallar raíces de funciones, f(x)=0 • Caso particular: Funciónes polinómicas • Primer Grado: ax + b = 0 -> una raíz x=-b/a • Segundo Grado: ax2 + bx + c -> dos raíces • Tercer Grado: ax3 + bx2 + cx + d -> tres raíces

3. f(X) Xo X X1 Método de Bisección • Definición: Es el método más elemental y antiguo para determinar las raíces de una ecuación. Consiste en partir de un intervalo  [x0,x1] tal que  f(x0)f(x1) < 0 . A partir de este punto se va reduciendo el intervalo, hasta que sea menor al error (Tolerancia). Cambio de Signo de f(x) f(X) f(X) Xo Xo X X X1 X1

4. Método de Bisección • Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error 3/2 0 Raíces: x=1, x=2, x=-1

5. m X0 X1 Método de Bisección

6. Método de Bisección

7. Método de Bisección • Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error 3/2 0 Raíces: x=1, x=2, x=-1

8. Método de Bisección

9. Método de Bisección • Ventajas del Método • Algoritmo muy sencillo • Muy estable (Está garantizada su convergencia) • Desventajas del Método • De muy lenta convergencia

10. Método de Newton • Definición: Partiendo de un punto x0, el método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0) Raíz

11. Método de Newton • Ejemplo: Hallar por el método de newton la raíz de la siguiente función partiendo de x0 = 3 con un error 3/2 0 Raíces: x=1, x=2, x=-1

12. Método de Newton

13. Método de Newton Zoom

14. Método de Newton • Ventajas del Método • Convergencia muy rápida • Desventajas del Método • Muy inestable (No se garantiza la convergencia) • La función debe ser derivable y contínua • Se requiere conocer la primera derivada de la función

15. X1 X0 X0 X2 X1 (A) (B) Método de Newton • Inestabilidad del Método de Newton A : No se alcanza la convergencia B : Converge pero fuera de la raíz

16. Método de la Secante • Definición: Partiendo de dos puntos [x0,f(x0)] y [x1,f(x1)]. El método de la secante utiliza una aproximación de la pendiente mediante la expresión: Raíz

17. Método de la Secante • Ejemplo: Hallar por el método de la secante la raíz de la siguiente ecuación partiendo de X0 = 0 y X1 = 3/2 con error 3/2 0 Raíces: x=1, x=2, x=-1

18. Ejemplo:

19. Método de la Secante • Ventajas del Método • Convergencia muy rápida, aunque no tan rápida como El Método de Newton -No requiere conocer la derivada de la función • Desventajas del Método • Muy inestable (No se garantiza la convergencia)

20. x2 0 Método Regula Falsi (Falsa Posición) • Definición: Es un método similar al de bisección, con la diferencia que en vez de tomar el punto medio, se toma como nuevo valor, la intersección con el eje x de una línea recta formada por los dos puntos del intervalo. f(X) X2 Xo X X1

21. Método Regula Falsi (Falsa Posición) • Ejemplo: Hallar por el método Regula Falsi la raíz de la siguiente función en el intervalo con un error 3/2 0 Raíces: x=1, x=2, x=-1

22. Método Regula Falsi (Falsa Posición)

23. Método Regula Falsi (Falsa Posición) • Ventajas del Método • Convergencia intermedia, más rápido que el método de bisección, aunque no tan rápida como el Método de Newton o de la Secante. -Muy estable • Desventajas del Método • Como converge a partir de un sólo extremo del intervalo, si ese extremo se encuentra muy lejos de la raíz, la convergencia sería mucho más lenta.

24. Método de Sustitución Sucesiva • Definición: Dada una función f(x), la idea es reemplazar la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) (Si s es una solucion de f(x), entonces s = f(s)). Se calcula x1 a partir de x0 y se repite el proceso, esta vez con el nuevo valor x1, hasta que |x1 – x0|<Error. Por ejemplo: Raíz, ya que g(x) = x

25. Método de Sustitución Sucesiva • Condiciones para Aplicación del Método: • Partiendo de un intervalo I = [a,b], tal que para todo x Є I, se debe cumplir que g(x) Є I • La función de iteración g(x) debe ser continua sobre I=[a,b]. • La función de iteración es diferenciable sobre I = [a,b]. Además, existe una constante no negativa K < 1 tal que para todo x Є I, | g’(x) | ≤ K < 1

26. Método de Sustitución Sucesiva Zoom 2 2,1622 -4,1622

27. Método de Sustitución Sucesiva g(x) Pertenece a [1,4] ? Raíz Intervalo [1,4]

28. Método de Sustitución Sucesiva Raíz Raíz Raíz

29. Método de Sustitución Sucesiva • Ejemplo: Hallar por el método de la sustituciones sucesivas la raíz de la siguiente ecuación partiendo de x0 = 3/2 con un error 3/2 0 Raíces: x=1, x=2, x=-1

30. Método de Sustitución Sucesiva 2 1 X=1.5

31. Ejemplo:

32. Método de la Sustitución Sucesiva • Ventajas del Método -Convergencia rápida (dependiendo de la g(x)) -No requiere conocer la derivada de la función • Desventajas del Método • Muy inestable (No se garantiza la convergencia) • Depende de una escogencia adecuada de la g(x)