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LOS NÚMEROS COMPLEJOS

LOS NÚMEROS COMPLEJOS. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. INTRODUCCIÓN X 2 = -1 X=  -1 = i (número imaginario).  -a = i  a. Resolver: i 2 = i 3 = i 4 = i 5 = i 6 = i 7 = i 8 = i 9 = i 10 = i 11 =. 11. (2i)(3i) = 12. (-3i)(4i) = 13. (5i)(3i)(-2i) = 14. (6i)(3i)(2i)(i) =

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  1. LOS NÚMEROS COMPLEJOS

  2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. INTRODUCCIÓN X2 = -1X=  -1 = i (número imaginario)  -a = i  a • Resolver: • i2 = • i3 = • i4 = • i5 = • i6 = • i7 = • i8 = • i9 = • i10 = • i11 = 11. (2i)(3i) = 12. (-3i)(4i) = 13. (5i)(3i)(-2i) = 14. (6i)(3i)(2i)(i) = 15. (-3i)(-2i)(4i)(2) = 16. (2i)(3/2)(-3i) + 2i = 17. (3i)(-2/5)(5i)(-2i) + 3i = 18. (2/3 i)(3/5 i)(5/2 i) + i = 19. (2i)(3i) + (4i)(-2i) = 20. (-6i)(-3i) – (3i)(6i) = 21. (4i)(-3i) – (2i)(5i) + (3i)(-5i) =

  3. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • INTRODUCCIÓN • Usaremos z para designar a un número complejo. • Los números complejos están compuesto por un número real y un número imaginario a + b i a y b son números reales • Dos números complejos son iguales si lo son cada una de sus partes: a + b i = c + d i  a = c y b = d • Dos complejos son conjugados cuando tienen la misma parte real y partes imaginarias opuestas. El conjugado se representa por a + b i  a - b i • Dos complejos son opuestos cuando lo son tanto la parte real como la imaginaria. z = a + b i -z = -a - b i

  4. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • REPRESENTACIÓN GRÁFICA. El punto que representa a un número complejo se llama “afijo”. Si unimos el origen con el afijo, tenemos el vector representante de un número complejo.

  5. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • Módulo y Argumento Módulo de un número complejo es la longitud del segmento que une el origen y el punto afijo. m =  a2 + b2 Argumento es el ángulo formado por la dirección positiva del eje horizontal con el segmento.  = Tg-1 b/a

  6. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. Módulo Argumento

  7. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • Calcula el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: 1. z = (-3,-4) 2. z = ( 4,-6) 3. z = 3 – 4i 4. z = -3 + 8i 5. z = 7 – 9i 6. z = -1 + 3i 7. z = 2 + 4i 8. z = (-2, 4)

  8. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • SUMA / RESTA • FÓRMULAS:(a + b i) + (c + d i)= (a + c) + (b + d) i (a – b i) – (c – d i) = (a – c) – (b – d) i • EJEMPLO: 3 (-2 – 4i) + 5 (3/2 – i) = -6 -12i + 15/2 – 5i =-12/2 – 12i + 15/2 – 5i = 3/2 - 17i

  9. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • Calcula la suma de los siguientes números complejos: 1. z = (-3,-4) + (3,-4) = 2. z = ( 4,-6) + (-3,-2) = 3. z = (3 – 4i) – (2 – 5i) = 4. z = (-3 + 8i) – (-1 – 2i) = 5. z = (7 – 9i) + (4 – i) = 6. z = (-1 + 3i) – (5 – 4i) = 7. z = (2 + 4i) – (3 – 2i) = 8. z = (-2, 4) + (-6,-2) =

  10. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • MULTIPLICACION / DIVISIÓN • EJEMPLO: 2(1+2i)·(3-5i)= = (2+4i)·(3-5i) = 6-10i+12i-20i² =6-10i+12i+20 =26+2i

  11. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • FORMA POLAR • Introducción: Z = a + bi es un conjunto representado en forma binómica, y que podemos verlo representado en el plano en el punto (a, b). También podemos verlo asociado a un módulo z y a un ángulo que llamaremos argumento quedando z = r

  12. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • Multiplicación en forma polar Para multiplicar en forma polar, multiplicamos los números y sumamos sus grados. • EJEMPLO:

  13. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • División en forma polar Dividimos los números y restamos sus grados • EJEMPLO:

  14. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • Paso de forma polar a binómica Para pasar de forma polar a forma binómica utilizamos la forma trigonométrica z = r · cosx + 2senx i = r (cox + i senx). • EJEMPLO:z= z= 2(cos14°+ isen 14°) z= 1,94+0,48 i

  15. LOS NÚMEROS COMPLEJOS. • Paso de forma binómica a polar: Tenemos z = a + bi y para asarlo a forma polar hacemos su módulo . Luego sacamos su cotgtgx = x = arctg b/a • EJEMPLO: z=3+4i r= tgx= x= =53,13°

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