Financijsko odlučivanje

1. Financijsko odlučivanje Martina Briš

2. Rješenje pomoću LINDO programa • Računala skoro uvijek rješavaju realne linearne programe pomoću simpleks metode. Koeficijenti u funkciji cilja poznati su pod nazivom koeficijenti troškova (jer se za vrijeme drugog svijetskog rata , prvi program iz LP bavio problemom minimalizacije troškova). Uz funkciju cilja u modelu se nalaze tehnološki koeficijenti i vrijednosti desne strane. • Rasprostranjeni software za LP je LINDO paket. Ime LINDO je izvedenica iz Linear INteractive Discrete Optimization. Riječ “discret” znači skakanje s jednog na drugo bazično rješenje umjesto da se kruži u okviru dopuštenog područja u potrazi za optimalnim rješenjem (ako ono postoji). • LINDO koristiu simpleks metodu. Uz rješenje problema ovaj program daje običnu analizu osjetljivosti funkcije cilja (Objective Function Coefficients (zvanu Cost Coefficients) i desne strane (Right- hand- side RHS) ograničenja. • Riješimo problem stolara pomoću LINDO paketa. U prozor (window) utipkajmo: MAX 5X1 + 3X2S.T. 2X1 + X2 ≤ 40X1 + 2X2 ≤ 50End

3. Formulacija i primjena linearnih modela • Model alokacije Jedan od najjednostavnijih oblika linearnog modela koji se pojavljuje često u praksi mogao bi se nazvati model alokacije. Glavni problem leži u raspodjeli vrijednog resursa na konkurentne potrebe. resurs može biti zemlja, vrijeme, kapital, nafta ili bilo što drugo s ograničenim kapacitetom.

4. Primjer: Financijsko planiranje • Banka daje četiri vrste kredita svojim klijentima zaračunavajući im slijedeće godišnje kamate: • Prvi hipotekarni kredit 14% • Drugi hipotekarni kredit 20% • Kredit za domaćinstvo 20% • Osobna potrošnja 10% • Banka ima na raspolaganju za kreditiranje maksimalno 250 milijuna novčanih jedinica (NJ). Daljnja ograničenja su: • Prvi hipotekarni kredit mora biti barem 55% od svih hipotekarnih kredita koji se koriste i barem 25% od ukupne sume predviđene za kreditiranje. • Drugi hipotekarni kredit ne smije premašiti 25 % od svih kredita. • Da bi se izbjeglo javno nezadovoljstvo i uvođenje novih taksa, prosječna stopa kamata na sve kredite ne smije premašiti 15 %. • Formulirajmo problem alokacije kredita kao problem linearnog programiranja u kojemu banka maksimizira svoj interes kroz kamate uz zadovoljavanje postavljenih ograničenja. Uočimo da ograničenja koja se odnose na kreditnu politiku banke ograničavaju s jedne strane profit, ali isto tako i smanjuju njeno izlaganje riziku alocirajući novac na različita područja.

5. Rješenje Odredimo: • Varijable • Ograničenja • Cilj • Verbalnu deskripciju pretvaramo u ekvivalentnu matematički formulaciju. Prije nego se postavi matematička formulacija linearnog programiranja (LP) korisno je izraziti varijable, ograničenja i cilj. Varijable • U biti smo zainteresirani za svotu kojom banka kreditira klijente u svakoj od četiri različitih kategorija (ne aktualne nositelje takvih kredita) • Neka je xi = količina kredita u području i (gdje i =1 odgovara prvom hipotekarnom kreditu, i =2 drugom, itd.) uzimajući u obzir xi  0 (i=1,2,3,4). • Zapazimo da su u konvencionalnom LP-u sve varijable  0. Svaka varijabla (recimo x) koja može biti pozitivna ili negativna može se zapisati kao x1 - x2 (razlika između dvije nove varijable) gdje je x1  0 i x2  0.

6. Ograničenja • Ograničena količina kredita je x1 + x2 + x3 + x4  250 Ovdje smo uveli ograničenje tipa  radije nego = da bi bili fleksibilniji u optimalizaciji funkcije cilja. ograničenje 1 x1  0.55(x1 + x2) Prvi hipotekarni kredit  0.55 (ukupno izdani i hipotekarni krediti) ali i x1  0.25(x1 + x2 + x3 + x4) tj. prvi hipotekarni krediti  0.25 ( ukupne svote kredita) ograničenje 2 x2  0.25(x1 + x2 + x3 + x4) ograničenje 3 – znamo da je ukupni godišnji interes 0.14x1 + 0.20x2 +0.20x3 +0.10x4 na ukupno izdani kredit (x1 +x2 +x3 +x4). Zato ograničenje u vezi relacije u uvjetu (3) glasi 0.14x1 + 0.20x2 + 0.20x3 + 0.10x4  0.15(x1 + x2 + x3 + x4) • Opaska: ograničenja se moraju preurediti prije nego se počne rješavati problem.

7. Funkcija cilja • Treba maksimizirati prihod od kamata max 0.14x1 +0.20x2 +0.20x3 +0.10x4 • U ovom slučaju optimalno rješenje linearnog programiranja ( rješenje pomoću softwearskog paketa) je x1 =208.33, x2 = 41.67 i x3 = x4 = 0.

8. ZADATAK: max 0.14x1 +0.20x2 +0.20x3 +0.10x4 x1 + x2 + x3 + x4  250 x1  0.55(x1 + x2) x1  0.25(x1 + x2 + x3 + x4) x2  0.25(x1 + x2 + x3 + x4) 0.14x1 + 0.20x2 + 0.20x3 + 0.10x4  0.15(x1 + x2 + x3 + x4) x1, x2, x3, x4  0 Odnosno, nakon sređivanja: max 0.14x1+0.20x2+0.20x3+0.10x4 x1+x2+x3+x4<250 0.45x1-0.55x2>0 0.75x1-0.25x2-0.25x3-0.25x4>0 -0.25x1 + 0.75x2-0.25x3-0.25x4<0 -0.01x1+0.05x2+0.05x3-0.05x4<0 x1, x2, x3, x4  0

15. Primjer: Analiza investicija • Financijski analitičar u jednoj kompaniji treba preporučiti financijskom odboru investicijski projekt za koji je predviđeno $ 2 000 000. Odbor je preporučio da se investicija treba raspodjeliti na slijedeće vrste investiranja: certifikati depozita, srednjeročna državna obveznica, prvorazredna dionica (blue chip, npr. dionica), špekulacijske dionice, obveznice poduzeća, nekretnine. Za svaku vrstu investicija analitičar je predvidio godišnji prinos i za svaku vrstu investicija je razvio faktor rizika koji pokazuje vjerojatnost da će aktualni prinos investicije određene vrste biti manji od očekivanog prinosa. Analitičar je još predvidio prosječan broj godina kroz koje će se realizirati odnosne vrste investicija. Podaci su dani u tablici. • Financijski odbor želi imati vagani investicijski period barem kroz pet godina. Odbor je također preporučio da vagani prosječni faktor rizika ne bi trebao biti veći od 0.20. Regulative zabranjuju da višeod 25% investicija kompanije bude uloženo u nekretnine i špekulacijske dionice. • Što bi se trebalo preporučiti ako se želi maksimalizirati očekivani povrat od $ 2 000 000 ?

16. Tablica: Očekivani pronosi i faktori rizika

17. Rješenje • Cilj (verbalno) • Cilj je odrediti udio od $ 2 000 000 koji se treba investirati u svaku od šest vrsta investicija a da je kod svakog investiranja godišnji povrat maksimalan. Dolarsko investiranje u svaku respektivnu kategoriju investicija može se odrediti nakon rješavanja optimalnog miksa, jednostavnim množenjem vrijednosti varijabli odlučivanja s $ 2 000 000. Ograničenja (verbalno) • Sva raspoloživa sredstva ($2 000 000) moraju se investirati u jednu ili više vrsta investicija. • Vagani prosječni faktor rizika, to je, vjerojatnost da se neće postići očekivani prinos, ne smije biti veći od 0.20. • Vagani prosječni period investiranja mora biti barem pet godina. • Najviše 25% investicija kompanije može se uložiti u nekretnine i špekulacijske dionice.

18. Varijable (matematička struktura) • Model ima šest varijabli odlučivanja jer postoji šest vrsta investiranja: x1 = udio portfelja investiranog u certifikate depozita x2 = udio portfelja investiranog u srednjeročne državne obveznice x3 = udio portfelja investiranog u , prvorazredne dionice x4 = udio portfelja investiranog u špekulacijske dionice x5 = udio portfelja investiranog u špekulacijske dionice x6 = udio portfelja investiranog u nekretnine

19. Funkcija cilja (matematička struktura) • Na temelju verbalne postavke moglo bi se pomisliti da je funkcija cilja izražena u dolarima budući da je cilj maksimizirati očekivani prihod; to ipak nije istina. Koeficijenti cj u problemu su očekivani prinosi za određene vrste investicija c1 = 8.5, c2 = 9.0, c3 = 8.5, c4 = 14.3, c5 = 6.7 i c6 = 13.0. • Budući da su varijable xj razlomljene vrijednosti, izraz cj x j je jednostavno postotak. Kada se to zbroji imamo vagani postotak. Funkciju cilja možemo izraziti u obliku: max Z = 8.5x1 + 9.0x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13.0x6 • U tom slučaju maksimiziramo očekivani prinos iz investiranja. Nezavisno o veličini koja stoji na raspolaganju za investiranje (u našem slučaju $ 2 000 000), model će biti strukturiran tako da se postigne optimalan portfelj.

20. Ograničenja (matematička struktura) (1) Ograničenja ukupnog investiranja: x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 1 Budući da se moraju investirati sva sredstva, razlomljeni dio mora dati sumu 1. (2) Ograničenja faktora rizika: Budući da su varijable xj (razlomljenog oblika) udio od ukupne investicije u respektivnoj vrsti investicije, umnožak faktora rizika i pridružene varijable dati će vaganu rizik investicije. Vagani faktor rizika svih investicija je suma individualno vaganih faktora rizika u tablici 0.02x1 + 0.01x2 + 0.38x3 + 0.45x4 + 0.07x5 + 0.35x6 0.20 (3) Ograničenja investicijskog perioda: Logika za ova ograničenja je slična onoj za ograničenja rizičnog faktora: [(8 godina) · x1] + [(2 godine) ·x2] + [(5godina) · x3] + [(6godina) · x4] + [(2godine) · x5] + [(4godine) · x6] 5 godina (4) Ograničenja zabrane: x4 + x6 0 .25

21. Matematička formulacija • max Z = 8.5x1 + 9.0x2 + 8.5x3 + 14.3x4 + 6.7x5 + 13.0x6 uz ograničenja: x1 + x2 + x3 +x4 + x5 + x6 = 1 8x1 + 2x2 + 5x3 + 6x4 + 2x5 + 4x6  5 x4 + x6  0.25 0.02x1 + 0.01x2 + 0 .38x3 + 0 .45x4 + 0.07x5 + 0.35x6  20 x1, x2, x3, x4, x5, x6  0 • Optimalno rješenje je x1 = 0.33, x2 = 0.42, x3 = 0.0, x4 = 0.25, x5 = 0.0, x6 = 0.0. Da bi se odredila suma dolara koja se ulaže u različite alternative, jednostavno pomnožimo vrijednosti varijabla odlučivanja s $ 2 000 000. Prinos iz optimalnog portfelja je 10.16%. • Primjer je dobro ilustrirao jedno od područja primjene linearnog programiranja, naime analize investicija. Problem je pokazao da se linearno programiranje može primijeniti u problemu selekciji portfelja. Ta vrsta problema ima primjenu u osiguravajućim organizacijama, bankama, kreditnim ustanovama.

26. Primjer Jedna kompanija se suočila s problemom određivanja projekata «rasta» koji bi se trebali poduzeti u slijedeće 4 godine. Kompanija ima ograničenu sumu kapitala predviđenog za investiranje; zato se ne mogu potpomognuti svi projekti. Svaki se projekt može karakterizirati sa sadašnjom vrijednošću projekta i pripadajućem zahtjevom za kapitalom (troškovi). Svaki projekt ima različiti zahtjev za kapitalom kroz slijedeće 4 godine. Tablica pokazuje procijenjenu sadašnju vrijednost, potražnju za kapitalom i raspoloživi kapital za projekte. Management želi razviti plan kapitalnog budžetiranja koji bi pokazao troškove koji nastaju svake godine u roku od 4 godine i čiji bi projekt bio potpomognut ukupnim planom.

27. Funkcija cilja (matematička struktura) Budući da se varijabla xj ne izražava u jedinici mjere, razvoj funkcije cilja jednostavno zahtjeva zbrajanje umnoška cjxj gdje su: c1 = $180000, c2 = $20000, c3 = $72000, i c4 = $80000. Funkciju cilja možemo izraziti u obliku: max Z = 180000x1 + 20000x2 + 72000x3 + 80000x4

28. Ograničenja 1. Zahtjev za kapitalom, godina 1: [(30000 dolara) · x1] + [(12000 dolara) · x2] + [(30000 dolara) · x3] +[(20000 dolara) · x4]  65000 dolara 2. Zahtjev za kapitalom, godina 2: [(40000 dolara) · x1] + [(8000 dolara) · x2] + [(20000 dolara) · x3] + [(30000 dolara) · x4]  80000 dolara 3. Zahtjev za kapitalom, godina 3: [(40000 dolara) · x1] + [(0 dolara) · x2] + [(20000 dolara) · x3] + [(40000 dolara) · x4]  80000 dolara 4. Zahtjev za kapitalom, godina 4: [(30000 dolara) · x1] + [(4000 dolara) · x2] + [(20000 dolara) · x3] + [(10000 dolara) · x4]  50000 dolara 5. Potpora projektu, godina po godinu: Izabiranjem/definiranjem varijable xj osiguravamo da će vrijednost x1 koja predstavlja rezultat u godini 1 biti jednaka vrijednosti x1 za godinu 2, godinu 3 i godinu 4. Isto će vrijediti za x2, x3, i x4. Zato nije potrebna matematička struktura koja bi postavljala ta ograničenja. 6. Razlomljena ograničenja: Ne možemo garantirati da će varijable biti cjelobrojne, ali vrijednosti možemo ograničiti tako da projekt ne dobije više od 100% sredstava. Četiri ograničenja glase x1 1, x2  1, x3  1, x4  1

29. Matematička formulacija max Z = 180000x1 + 20000x2 + 72000x3 + 80000x4 uz ograničenja: 30000x1 + 12000x2 + 30000x3 + 20000x4  65000 40000x1 + 8000x2 + 20000x3 + 30000x4  80000 40000x1 + 0x2 + 20000x3 + 40000x4  80000 30000x1 + 4000x2 + 20000x3 + 10000x4  50000 x1  1 x2  1 x3  1 x4  1 x1, x2, x3, x4  0 Optimalno rješenje je x1 = 1.0, x2 = 1.0, x3 = .15 i x4 = .92. Budući da su na temelju postavljenih zahtjeva realne samo vrijednosti 0 ili 1 u obzir se uzima projekt 1 (proširenje tvornice) i 2 (novi stroj).