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CIRCUITOS COMBINACIONALES ÁLGEBRA DE BOOLE

TEMA 12. Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz. CIRCUITOS COMBINACIONALES ÁLGEBRA DE BOOLE. 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS. CIRCUITOS DIGITALES. Circuitos COMBINACIONALES. Circuitos SECUENCIALES. El estado de salida depende ú nicamente del estado de sus e ntradas.

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CIRCUITOS COMBINACIONALES ÁLGEBRA DE BOOLE

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  1. TEMA 12 Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz CIRCUITOS COMBINACIONALESÁLGEBRA DE BOOLE

  2. 1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS CIRCUITOS DIGITALES Circuitos COMBINACIONALES Circuitos SECUENCIALES El estado de salida depende únicamente del estado de sus entradas. Sus salidas no solo dependen del estado de las entradas sino del historial de salidas, es decir requieren de memoria. • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz SISTEMAS DE NUMERACIÓN BINARIOS Y EL ÁLGEBRA DE BOOLE

  3. 1.1. Sistemas de numeración Sistema DECIMAL 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 BASE 10 Sistema BINARIO 0,1 BASE 2 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F Sistema HEXADECIMAL BASE 16 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  4. 1.1. Sistemas de numeración ¿Qué sistema utiliza los circuitos digitales? 0 1 COCIGO BINARIO 01100010001000010001000011111 bit • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  5. SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y CÓDIGOS ¿Cómo pasamos de un sistema a otro? Todo número N perteneciente a un sistema de base b se puede representar en forma de polinomio: b = Base del sistema ai = coeficientes que representan las cifras del número Veamos unos ejemplos • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  6. Ejemplo 1 423,52 Base 10 1101,101 Base 2 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  7. ejercicios Expresa los siguientes números en forma polinómica.. 1250,33 1011,100 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  8. ¿Cómo pasamos de un sistema a otro? Paso de binario a decimal a RESOLVEMOS EL POLINOMIO o bien b MEDIANTE UNA TABLA DONDE COLOCAMOS LOS PESOS O VALOR POSICIONAL DE CADA NÚMERO. • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Veamos un ejemplo:

  9. Ejemplo 2 a 101101,11(2) Base 2 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  10. Ejemplo 2 b 101101,11(2) Base 2 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  11. Ejemplo 3 Paso de decimal a binario Transforma el número decimal 45 en su equivalente binario Cociente Resto 45:2 22 1 22:2 11 0 11:2 5 1 5:2 2 1 2:2 1 0 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz 1 0 1 1 0 1

  12. Ejemplo 4 Paso de decimal a binario Transforma el número decimal 0,36 en su equivalente binario 0,36 ·2 = 0,72 primer dígito fraccionario 0 0,72 ·2 = 1.44 primer dígito fraccionario 1 0,44 ·2 = 0,88 primer dígito fraccionario 0 0,88 ·2 = 1,76 primer dígito fraccionario 1 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz 0,36(10) = 0,0101(2)

  13. Conversión a sistema hexadecimal Tabla de equivalencia entre los códigos decimal, hexadecimal y binario. Transforma el número binario 10111011101,101101 en hexadecimal. 10111011101,101101 Separamos en grupos de cuatro desde la coma hacia la izquierda y derecha. 101.1101.1101,1011.01 Añadimos los ceros necesarios para completar grupos de cuatro: 0101.1101.1101,1011.0100 5 D D, B 4 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Para pasar de hexadecimal a binario realizamos proceso inverso.

  14. ÁLGEBRA DE BOOLE. Definiciones. Algo de historia George Boole desarrollo el álgebra que lleva su nombre y nació con el fin de representar las formas del razonamiento lógico. Originalmente manejaba dos variables : verdadero y falso. Posteriormente Claude Shamon la adaptó a los circuitos que contienen dos estados estables, es decir, no representan números sino los dos posibles estados de un dispositivo, encendido (1) o pagado (0) en el caso de una bombilla o abierto (0) o cerrado (1) en el caso de un interruptor. 1 0 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  15. ÁLGEBRA DE BOOLE. Definiciones. Lógica de Niveles Es la forma de relacionar los niveles de tensión y los elementos de información binaria. LÓGICA POSITIVA LÓGICA NEGATIVA • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  16. ÁLGEBRA DE BOOLE. Definiciones. 0 1 ¿Variable Lógica? 0 1 ¿TABLA DE VERDAD? ¿función lógica? • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  17. ÁLGEBRA DE BOOLE. Definiciones. Para definir estos conceptos veamos un ejemplo, arranquemos una moto Para arrancar necesitamos: Introducir la llave (a) Pulsar el interruptor de encendido (b) VARIABLES (1) verdadero, (0) falso Presionar el freno delantero (c) Puesta en marca del motor (S) • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Depende del estado de las anteriores. Se le llama FUNCIÓN LÓGICA Son independientes unas de las otras. S = a·b·c

  18. ÁLGEBRA DE BOOLE. Definiciones. ¿Cómo representamos lo dicho anteriormente? Tabla de verdad Para el supuesto anterior tendríamos: VARIABLES INDEPENDIENTES FUNCIÓN LÓGICA • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Únicamente cuando todas las variables independientes adquieren el valor 1 la moto se pone en marcha.

  19. ejercicios 1. Expresa los números 247, 512, 1024 y 914 en binario. 2. Expresa el número 1110001001010101 en decimal y hexadecimal. 3. Expresa los números FFF(H) y 3FC4(H) en decimal y binario. • 4. Realiza la tabla de verdad de las siguientes funciones: • S = (a+b) • S = a · b’ ·c’ +a · b · c • S = a · b’ · c + a’ · b ·c’ • S = a · b’ • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  20. ÁLGEBRA DE BOOLE Propiedades 1. Propiedad conmutativa: a + b = b + a a · b = b · a 2. Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b +c) (a · b) · c = a · (b · c) 3. Propiedad distributiva: • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz a · (b + c) = (a · b) + (a · c) a + (b · c) = (a + b) · (a + c)

  21. ÁLGEBRA DE BOOLE Postulados a+ 1 = 1 a · 1 = a a + 0 = a a · 0 = 0 a + a = a a · a = a a + a = 1 a · a = 0 a = a • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  22. ÁLGEBRA DE BOOLE Teoremas a + a · b = a a + a · b = a (1 + b) ; como 1 + b = 1; resulta a + a · b = a · 1 = a a · (a + b) = a Aplicando la propiedad distributiva: a · (a + b) = a · a + a · b = a + a · b = a Comprobación: a + a’ · b = (a + a’) · (a + b) = 1 · (a + b) = a + b a + a · b = a + b • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz b · (a + b) = a · b Demostración: b · (a + b’) = b · a + b · b’ = b · a + 0 = b · a = a · b

  23. ÁLGEBRA DE BOOLE Teoremas de Morgan a + b = a · b a · b = a + b ? • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  24. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE VERDAD Primera forma canónica o suma de productos o MINTERMS Segunda forma canónica o producto de sumas o MAXTERMS • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  25. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE VERDAD Primera forma canónica o MINTERMS (Asignación: 1 variable directa, 0 variable inversa ) Tabla de verdad Número de variables Productos lógicos que dan salida 1 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  26. OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN LÓGICA A PARTIR DE LA TABLA DE VERDAD Segunda forma canónica o MAXTERMS (Asignación: 0 variable directa, 1 variable inversa ) Tabla de verdad Número de variables Productos lógicos que dan salida 1 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  27. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Método algebraico Karnaugh Método gráfico de Métodos numéricos • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  28. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES 1 Lo más conveniente para generar el mapa de Karnaugh de una expresión suma de productos es que la expresión esté en forma canónica. Forma canónica o MINTERMS 2 Identificamos cada variable con su estado 0 ó 1 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz 000 011 101 111

  29. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES C AB 000 011 101 111 2 • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Colocamos un 1 en la celda correspondiente a cada combinación de variables definidas en los distintos términos de la función. MAPA DE KARNAUGH

  30. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES 4 Agrupamos los 1 que estén situados en celdas adyacentes del mapa. C AB • Un grupo debe contener el mayor número posible de celdas. • Siempre que sea posible se evitarán los grupos de una sola celda (no se reduce). • Un uno puede pertenecer a varios grupos • Los grupos han de ser lo mas grandes posibles, siempre potencia de 2. • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Obtenemos la siguiente función:

  31. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES 5 De cada grupo formado obtenemos un producto de las variables que no cambian de valor C Cuando tenemos un grupo con un solo 1 no se puede reducir. AB En este grupo la variable “a” cambia con lo cual la suprimimos. • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Variable que cambia de estado la “c”, la suprimimos.

  32. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES 6 Obtenemos una suma de productos que resulta ser la función de partida en su forma más simplificada. VEAMOS UN EJEMPLO • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  33. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Tabla de verdad 1 Simplificar la función dada por la tabla de verdad adjunta: Utilizamos el mapa de Karnaugh CD AB • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  34. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES Tabla de verdad CD AB • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  35. SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES CD AB • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Obtenemos la siguiente función:

  36. El siguiente paso es IMPLEMENTAR, pero para ello tenemos que conocer los distintos tipos de PUERTAS LÓGICAS • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  37. PUERTAS LÓGICAS A. Suma lógica (puerta OR) S = a + b Símil eléctrico Tabla de verdad • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Símbolos reconocidos, el de la izquierda es el normalizado

  38. PUERTAS LÓGICAS B. Producto lógico (puerta AND) S = a · b Símil eléctrico Tabla de verdad • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Símbolos reconocidos, el de la izquierda es el normalizado

  39. PUERTAS LÓGICAS C. Función negación (puerta NOT) S = a Símil eléctrico Tabla de verdad • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Símbolos reconocidos, el de la izquierda es el normalizado

  40. PUERTAS LÓGICAS D. Producto negado (puerta NAND) S = a·b Símil eléctrico Tabla de verdad • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Símbolos reconocidos, el de la izquierda es el normalizado

  41. PUERTAS LÓGICAS E. Suma negada (puerta NOR) S = a+b Símil eléctrico Tabla de verdad • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Símbolos reconocidos, el de la izquierda es el normalizado

  42. PUERTAS LÓGICAS F. O-Exclusiva (puerta XOR) S = a·b+a·b Símil eléctrico Tabla de verdad • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz Símbolos reconocidos, el de la izquierda es el normalizado

  43. RESUMEN PUERTAS LÓGICAS • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  44. IMPLEMENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN LÓGICA Una vez obtenida y simplificada la función que relaciona la salida con las entradas en un sistema electrónico, dicha función puede implementarse, es decir, llevarse a la práctica, mediante un circuito de puertas lógicas básicas. Supongamos la siguiente función ya simplificada. • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  45. IMPLEMENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN LÓGICA 1 Dibujamos las entradas y añadimos puertas NOT para negar las variables necesarias. c a b a b c • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  46. IMPLEMENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN LÓGICA 2 Vamos uniendo las variables definidas en cada término de la función con una puerta AND por estar multiplicándose. a b c a b c • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

  47. IMPLEMENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN LÓGICA 3 Por último unimos las puertas AND con una puerta OR (suma de todos los términos. a b c a b c • Dpto. de TECNOLOGÍA. IES P. Hermenegildo Lanz

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