DETERMINANTES de Ordem n (n > 3)

1. DETERMINANTES de Ordem n (n > 3)

2. 1. Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz A, de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por uma constante, obteremos uma nova matriz M´, tal que: detM´ = det M -3 Ex.: Resumindo: o que estamos dizendo é que é possível facilitar o cálculo de um determinante, provocando o surgimento de ZEROS no meio da expressão por meio da utilização do Teorema de Jacobi.

3. Exemplo: Explicando melhor: Mesmo com essas transformações o valor do determinante não muda, porém com o surgimento dos zeros o processo do cálculo se torna mais simples, conforme veremos mais adiante.

4. 2. O Teorema de Laplace: Menor Complementar • Chama-se menor complementar(ij) de uma matriz A o determinante da matriz que se obtém de A retirando-sea linha i e a coluna j. Representa-se por Dij. • Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule D11, D21, D22.

5. 3. O Teorema de Laplace: Cofator • O cofatorAijde um elemento aij de uma matriz quadrada, é o número que se obtém ao multiplicar a potência (– 1)i+j pelo menor complementar de aij . • Exemplo: Sendo calcule A11, A21, A22.

6. Exemplo: Sendo dada a matriz A, calcule: D12, A12, D31 e A31.

7. 4. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) pelos respectivos Cofatores. • Para cada linha k: • Para cada coluna j: Observações: • O Teorema de Laplace permite o cálculo do determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n - 1; • Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;

8. Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

9. Exemplo: Calcule o determinante abaixo. Sugestão: use o teorema de Jacobi para simplificar o cálculo do determimante.

10. Entendendo melhor a aplicação do Teorema de Jacobi:

11. 5. Regra de Chió A regra de Chió é uma técnica utilizada no cálculo do determinantes de ordem n  2. Dada uma matriz A de ordem n, ao aplicarmos essa regra obteremos uma outra matriz A´ de ordem n – 1, cujo determinante é igual ao de A. 1. Desde que a matriz tenha um elemento igual a 1 (um), eliminamos a linha e a coluna deste elemento. 2. Subtraímos de cada elemento restante o produto dos dois elementos eliminados, que pertenciam à sua linha e à sua coluna. 3. Multiplicamos o determinante obtido por (-1)i + j, em que i e j representam a linha e a coluna retiradas. Ex.: -17 Obs: no caso da linha 1 e da coluna 1, não é necessário multiplicar o determinante por (-1)i + j, pois (-1)1 + 1 vai resultar em 1, que é o elemento neutro da multiplicação.

12. + - - - + + Exemplo: Calcular, usando a regra de Chió, o determinante abaixo: = - 10 = 2 - 4 - 4 + 2 - 8 + 2

13. + - - - + + Exemplo: Calcular o Determinante abaixo, usando a Regra de Chió. Observe primeiro que o número 1 ocupa a 1ª linha e 3ª coluna, mas como a soma i + j - = 1 + 3 = 4 é par, teremos (-1)i + j positivo. = (- 10) = -10 = (2 - 4 - 4 + 2 + 2) - 8

14. Exemplo: Se o determinante não tiver nenhum elemento unitário podemos dividir uma das filas (linha ou coluna) para obtermos um elemento unitário, mas devemos multiplicar o determinante obtido por este valor para não haver alteração do resultado = 3 . (-10) = -30

15. 6. Matriz de Vandermonde Chamamos matriz de Vandermonde, ou das potências, toda matriz de ordem n  2, em que suas colunas são potências de mesma base, com expoente inteiro, variando de 0 à n – 1 (os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 1). Obs.: Os elementos da 2ª linha são chamados elementos característicos da matriz. O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças possíveis entre os elementos característicos e seus antecessores. (3 – 2)(5 – 2)(5 – 3)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 5) Ex.: 1 . 3 . 2 . 5 . 4 . 2 240

16. 7.O cálculo da Matriz Inversa Usando Determinantes 7.1 - MATRIZ DOS COFATORES (Cof A) Chama-se matriz dos cofatores de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem substituindo em A cada elemento pelo seu Cofator. 7.2 - MATRIZ ADJUNTA (Adj A) Chama-se matriz adjunta de uma matriz quadrada A à matriz que se obtem transpondo a matriz dos cofatores.

17. 7.3 - CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA (A-1) Agora que já encontramos a matriz dos cofatores e sua transposta, a matriz adjunta, para determinar a matriz inversa de A basta multiplicar o inverso do determinante de A por essa matriz adjunta: Exemplo:Calcular a matriz inversa da matriz Solução:Primeiro vamos calcular o cofator de cada um dos elementos da matriz A:

18. Agora vamos escrever a matriz dos cofatores: Agora vamos escrever a matriz adjunta: Agora vamos calcular o determinante de A: E por fim:

19. OBSERVAÇÕES: 1) Uma matriz quadrada A diz-se REGULAR ou NÃO-SINGULAR se det A ≠ 0. 2) Uma matriz quadrada somente é INVERTÍVEL se for regular. 3) Uma matriz quadrada invertível diz-se ORTOGONAL somente se sua transposta dor igual à sua inversa.