Problemorientierung als eine Leitidee im Mathematikunterricht

1. Problemorientierung als eine Leitidee im Mathematikunterricht Bernd Zimmermann, Friedrich-Schiller-Universität Jena Göttingen 05.12.2002

2. Wellenreiten? • Mengenleh(e?)re? • „Back to basics“? • Anwendungsorientierung (vgl. PISA)? • Computerorientierung? • Problemorientierung?! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

3. Mögliche Anlässe zur Intensivierung eines problemorientierten Mathematikunterrichtes Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

4. Neu(est)er Anlaß: PISA !

5. Anlass 1: Bruchrechnung „Der deutsche Osthandel erlebte in diesem Jahr einen kräftigen Schub. Nach Schätzung des Ost- und Mitteleuropa Vereins (OMV) wird der Osthandel erstmalsein Zehnteldes gesamten deutschen Außenhandels ausmachen, nachdem er jahrelang nicht überein Fünftelhinauskam.” (aus der Süddeutschen Zeitung) Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

6. 2. Anlass 2: Empirische Untersuchung vor und nach Unterricht im Bruchrechnen 1. Schraffiere in folgender Figur zunächst die Hälfte und sodann zusätzlich ein drittel von ihr. Welchen Anteil hast du insgesamt schraffiert? 3. Sieben Äpfel sind unter vier Kindern aufzuteilen. Wieviel bekommt jedes? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

7. Anlass 3: Eine Erfahrung aus Finnland In einer TIMSS-Nachfolgeuntersuchung schnitten finnische Achtklässler gegenüber anderen Ländernam besten bei Aufgaben aus der Wahr-scheinlichkeitsrechnungab. Die finnischen Schüler hatten das als einzige noch nicht im Unterricht behandelt! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

8. Anlass 4: Eine PISA-Aufgabe Eine Robbe muss atmen, auch wenn sie schläft. Martin hat eine Robbe eine Stunde lang beobachtet. Zu Beginn seiner Beobachtung befand sich die Robbe an der Wasseroberfläche und holte Atem. Anschließend tauchte sie zum Meeresboden und begann zu schlafen. Innerhalb von 8 Minuten trieb sie langsam zurück an die Oberfläche und holte Atem. Drei Minuten später war sie wieder auf dem Meeresboden, und der ganze Prozess fing von vorne an. Nach einer Stunde war die Robbe: a) auf dem Meeresboden b) auf dem Weg nach oben c) beim Atemholen d) auf dem Weg nach unten? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

9. Einige Fragen • Wieso konnte der Junge (nachts?) bis zum Grund des Meeres sehen? • Wie viel Zeit benötigt die Robbe zum atmen? • Wie lange liegt die Robbe am Boden? • Wie könnte man die Aufgaben „geeignet“ variieren? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

10. Anlass 5: Kuchenproblem (TIMSS Japan) Für die Gäste einer Geburtstagspartie sollen 10 Stück Kuchen eingekauft werden. Dafür stehen 21 Euro zur Verfügung. Man kann zwei verschiedene Kuchensorten kaufen; ein Stück Bienenstich kostet 2 Euro, ein Stück Torte2,3 Euro. Es sollen möglichst viele Stücke Torte eingekauft werden. Wie viele sind das? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

11. Aki (8te Klasse): TorteBienenstich Summe StückKostenStückKosten 102300 23 920,70 12 22,70 ...... ....... ..... .... .......... 49,20612 21,20 3 6,90 7 14 20,90 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

12. Dieter (8te Klasse): • x  2,30 + (10 – x)  2  21 • x  0,30  1 • x = 3 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

13. Clara (4. Klasse): • „Zunächst 10 Bienenstich ‚kaufen‘. • Dann habe ich noch einen Euro über. • Tausche Torte gegen Bienenstich, kostet 30 Cent mehr. • Die passen in den einen Euro 3 mal rein, 4 mal liegt schon drüber. • Also: von den 10 Bienenstich 3 Stück gegen 3 Tortenstücke eintauschen und fertig!” Vgl. MN9, S. 246 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

14. Was ist Problemorientierung?

15. Was ist ein Problem? Eher eine Aufgabe: • "In a discus-throwing competition, the winning throw was 61.60 m. The second-place throw was 59.72 m. How much longer was the winning throw than the second-place throw? A. 1.18 m B. 1.88 m C. 1.98 m D. 2.18 m." (Aus TIMSS 1994; "Performance Expectation: Solving Problems"!). Eher ein Problem: • „Wie viele rechte Winkel kann ein Vieleck haben?“ (Szambien 1992, 1996; vgl. MN 8, S. 163 A2 ). Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

16. Probleme – einige Kriterien Orientierung an (echten) Problemen, d. h. • Bsp.: Kuchenaufgabe • Nicht sofort Lösung parat (hängt von der jeweiligen Person ab) • Erfordert selbständiges Denken • Lässt mehrere Lösungswege zu • Ist ausbaufähig Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

17. Wie lässt sich das unterrichten? Klassische Methode: Mögliche Effekte: s. „Anlässe“ Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

18. Mögliche methodische Alternativen Bsp. 1: Ordne folgende Brüche der Größe nach: „dichter bei 1“ als Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

19. Problemorientierung? Eine Methode zur Initiierung („Nichtverhinderung“) vonDenkprozessen! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

20. Bsp. 2: Division von Brüchen: „Zähler durch Zähler, Nenner durch Nenner“ Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

21. Bsp. 3: Wanderungen im Zahlenhaus Vgl. MN5, S. 93, Ü. 18 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

22. Mögliche Fragen • Wie viele verschiedene Wege findet ihr? • Durch wie viele verschiedene Räume kommt ihr dabei? • Auf jedem Weg sollen die Zahlen addiert werden. Welches ist die größte, welches die kleinste Zahl? • Kommen dazwischen alle Zahlen als Wegsummen vor? • Gibt es verschiedene Wege mit gleicher Summe? • Welche Variationen der Aufgabe findet ihr? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

23. ? Bsp. 4: Sortierspiel Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

24. Sortierspiel 2 + 1 4 + 3 + 2 + 1 MN 7, S. 250, Projekt Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

25. Bsp. 5: LGS I) x+2y=1 2x+2y=1 II) x+2y+3z=1 2x+2y+3z=1 3x+3y+3z=1 III)x+2y+3z+4u=1 2x+2y+3z+4u=1 3x+3y+3z+4u=1 4x+4y+4z+4u=1 IV) x+2y+3z+4u+5v=1 2x+2y+3z+4u+5v=1 3x+3y+3z+4u+5v=1 4x+4y+4z+4u+5v=1 5x+5y+5z+5u+5v=1 MN9, S. 48, Ü16 • Was ist die Lösung eines entsprechend „gebauten” LGS mit n Variablen und n Gleichungen? Du kannst dir bei der Suche nach einer Vermutung ggf. von einem Computeralgebrasystem (CAS) helfen lassen. Begründe deine Vermutung. • Setze oben in der letzten Spalte (rechts vom Gleichheitszeichen) die Zahlen 1; 2; 3; ...n (bzw. n; (n-1); (n-2); ...3; 2; 1; n Mal n bzw. n Mal a) ein. Welche Lösung erhältst du in diesen Fällen? Begründung? • Erfinde selber „gemusterte Gleichungssysteme” (du kannst dich z. B. durch figurierte Zahlen anregen lassen!) mit einfachen Lösungen! Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

26. Bsp. 6: Ulam Spirale Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

27. Bsp. 7: Pythagoras und al Sijzi Vgl. MN 9, S. 129 A2 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

28. Bsp. 7: Pythagoras und al Sijzi • Wer war al-Sijzi? • Abu Sa’id Ahmad ibn Muhammad ibn ’Abd al-Jalil al-Sijzi, lebte im 10. Jahrhundert • aus Sijistan im heutigen Südostiran bzw. südwestlichen Afghanistan • Übersetzung des Aufgabentextes: PD Dr. Sonja Brentjes Vgl. MN 9, S. 129 A2 Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

29. Warum Problemorientierung? • Lernpsychologie und Hirnforschung (Konstruktivismus und Konnektionismus) • Gesellschaftliche Erfordernisse • Geschichte der Mathematik • Fortschritt in der Mathematik primär durch Lösen von herausfordernden Problemen • als Quelle für eine (nicht nur) kognitionspsychologische Langzeitstudie Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

30. Axiomatik Mögliche Invarianten: wesentliche mathematische (Denk-) Tätigkeiten Beweise Heuristik Ordnen Begründen Riten, ReligionÄsthetik Finden Würfelspiel; U.-Mathem. Spielen Bewerten Berechnen Konstruieren Kalküle, Algorithmen Architektur Geometrie Anwenden Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

31. Entwicklung einer Schulbuchreihe Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

32. Probleme mit der Problemorientierungen:Implementierungsschwierigkeiten • „Zeitmangel“? • „Richtige Probleme sind nur etwas fürbesonders begabte Schüler“? • „Eigentlich machen wir das doch schon längst!“? • „Vermittlung von Grundwissen und Routinetechniken ist am wichtigsten“? • Stellenwert von Bildung und Lernen in der Gesellschaft? Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena

33. Aus der Geschichte der Philosophie Ich höre, und ich vergesse,ich sehe, und ich erinnere mich,ich tue, und ich verstehe! Konfuzius, (551- 479 v. Chr.) Göttingen 2002 - Prof. Dr. Bernd Zimmermann - Friedrich-Schiller-Universität Jena