Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen

1. Beschreibung der energetischen Zustände der Elektronen • Wellengleichung • Ableitung der Schrödinger-Gleichung • Lösungsansätze für Schrödinger-Gleichung • Formale Analogie zwischen der klassischen und Quantenmechanik • Lösung der Schrödinger-Gleichung für • Freies Elektron • Elektron im Potentialtopf • Elektron im Potential eines harmonischen Oszillators • Potentialbarriere • Doppelte Potentialbarriere • Wasserstoffatom

2. Die Wellengleichung Mathematische Beschreibung einer harmonischen Welle: Ableitung nach x: De Broglie-Gleichung: Ableitung nach Zeit: Plancksche Gleichung:

3. Die Schrödinger-Gleichung in einer Dimension … Potentialenergie = 0  freies Teilchen … Gesamtenergie / kinetische Energie H … Hamilton-Operator

4. Dreidimensionale Schrödinger-Gleichung Impuls und der entsprechende Operator 3D-Schrödinger-Gleichung 3D-Schrödinger-Gleichung für N Teilchen

5. Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung Mathematischer Ansatz: Separation der Variablen Linke Seite t-abhängig Rechte Seite x-abhängig

6. Lösungsansatz für die Schrödinger-Gleichung Linke Seite: Rechte Seite: C … Separations-konstante

7. Die Schrödinger-Gleichung Zeitunabhängige (stationäre) Form  harmonische Schwingungen Sie wird verwendet, wenn das Potential von der Zeit nicht abhängt E … Gesamtenergie des Systems

8. Die Schrödinger-Gleichung Zeitabhängige Form  Wellengleichung

9. Formale Analogie zwischen der KM und QM

10. Lösung der Schrödinger-Gleichung Falls V von der Zeit nicht abhängt, wird die zeitunabhängige (stationäre) Schrödinger-Gleichung gelöst. Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung - Lösung erfolgt für bestimmte (Anfangs-) und Randbedingungen Die Wellenfunktion  hat keine physikalische Bedeutung, * entspricht der Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Elektrons Energiebereiche, für die eine Lösung der Schrödinger-Gleichung gefunden werden kann, definieren das Energie-Spektrum (Frequenzspektrum) des Systems.

11. Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Die Schrödinger-Gleichung ist konsistent mit p = ħk und E = ħ Die Schrödinger-Gleichung ist linear  Wenn 1 und 2 zwei Lösungen der Schrödinger-Gleichung sind, ist auch eine lineare Kombination von 1 und 2 eine Lösung der Schrödinger-Gleichung Ein Wellenpaket stellt ebenfalls eine Lösung der Schrödinger-Gleichung dar

12. Mathematische Eigenschaften der Wellenfunktion Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens, Elektronendichte … in 3D Erwartungswert (Mittelwert über viele Beobachtungen)

13. Hermitesche OperatorenAnalogie zwischen KM und QM Messgröße KM-Beschreibung QM-Operator Ort Impuls KinetischeEnergie Drehimpuls

14. Übung Analogie:

15. Harmonischer Oszillator

16. Harmonischer Oszillator mit Dämpfung

17. Harmonische Schwingungen A = B :

18. Gedämpfte Schwingungen

19. Freies Elektron (V=0) E Energiespektrum ist kontinuierlich Keine Randbedingung  alle Energien sind möglich

20. Elektron im Potentialtopf (1D) ∞ ∞ V V = 0 freies Elektron x 0 a Energie-Spektrum E n 25C 5 16C 4 9C 3 4C 2 Randbedingung  Energiespektrum ist diskret 1C 1

21. Elektron im Potentialtopf (1D) Lösung für die Wellenfunktion y |y|2 x/a

22. Elektron im Potentialtopf (3D) Orthogonale Lösung

23. Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators Harmonische Schwingung Gesamtenergie Potentielle und kinetische Energie

24. Energie-Spektrum E n 9/2 ħ 4 7/2 ħ 3 2 5/2 ħ 3/2 ħ 1 ½ ħ 0 Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators Energieniveaus sind voneinander equidistant entfernt, E = ħ

25. Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

26. Elektron im Potentialeines harmonischen Oszillators

27. Potentialbarriere (Tunnel-Effekt) Keine Randbedingung I II I II

28. I II II freies Elektron V(x) = V0 V(x) = 0 V(x) = V0 Doppelte Potentialbarriere Energiespektrum aufgrund der Randbedingung, ähnlich wie bei der Potentialbarriere

29. Quanten-mechanischer Effekt Klassisch: nur yI (einfache Welle und ihre Reflexion) Anwendung Tunnel-Diode STM (Rastertunnelmikroskopie) QW („quantum wall“) Tunnel-Effekt

30. Wasserstoffatom Sphärisch-symmetrisches Problem im Coulomb-Potential Coulomb-Kraft Coulomb-Potential Stationäre Schrödinger-Gleichung

31. Wasserstoffatom Sphärische Koordinaten Radiusabhängig Winkelabhängig

32. Wasserstoffatom Winkelabhängiger Teil … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Separation der Variablen; Separationskonstante m² Azimutalgleichung, () Polargleichung, () Beide Gleichungen sind im Zentralfeld vom Potential V(r) unabhängig

33. Wasserstoffatom Azimutalgleichung, () Spezielle Lösung für () – 2-periodisch (m … ganze Zahlen) Normierung Ergebnis m … magnetische Quantenzahl

34. Wasserstoffatom Polargleichung, () … Legendresche Differentialgleichung Verknüpft die Separationskonstanten ℓ(ℓ+1) und m² Lösung existiert nur für ℓ(ℓ+1) = 0, 2, 6, 12, 20, … (d.h. für ℓ = 0, 1, 2, 3, 4, …) ℓ … ganze Zahlen (Nebenquantenzahl, Bahndrehimpuls-Quantenzahl) Bedingung für m: … insgesamt (2ℓ+1) Werte

35. Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, () für m = 0  Legendre-Polynome: für m  0  zugeordnete Legendre-Polynome:

36. Wasserstoffatom Lösung der Polargleichung, (), normiert Winkelabhängiger Teil, Yℓm(, )

37. Wasserstoffatom Radialgleichung … Separationskonstante ℓ(ℓ+1) Effektives Potential Lösung Ln,l … Laguerre Polynome