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Das Rotor-Router Modell

Das Rotor-Router Modell. Benjamin Doerr, MPI Saarbr ü cken. Einf ührung Rotor-Router Modell (Propp -Maschine) Vergleich mit Random Walks. IDLA Cover Times Viele parallele Walks. Das Rotor-Router Modell. Gegeben ein Graph:. Jeder Knoten besitzt einen Zeiger, der auf einen Nachbarn zeigt.

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Presentation Transcript

  1. Das Rotor-Router Modell Benjamin Doerr, MPI Saarbrücken Einführung Rotor-Router Modell (Propp-Maschine) Vergleich mit Random Walks IDLA Cover Times Viele parallele Walks

  2. Das Rotor-Router Modell Gegeben ein Graph: Jeder Knoten besitzt einen Zeiger, der auf einen Nachbarn zeigt.

  3. Das Rotor-Router Modell Nun lassen wir einen Chip (Markierung, Partikel) über den Graphen wandern: • Chip geht zum Nachbarknoten in Zeigerrichtung. • Zeiger dreht zum nächsten Nachbarn.

  4. Das Rotor-Router Modell Kernfrage: Wie gut simuliert die Propp-Maschine einen Random Walk? • Internal Diffusion-limited Aggregation: Ausbreitungsmodell • Cover Times: Wie lange benötigt der Walk um alle Knoten zu besuchen? • Simultane Walks vieler Chips

  5. 2 Z Internal Diffusion-limited Aggregation: • Graph: , anfangs sind alle Knoten unbesetzt. • Wiederhole folgendes: - Starte einen Walk im Ursprung. - Laufe, bis ein freier Knoten erreicht ist. - Besetze diesen Knoten. • Frage: Wie sieht die Menge der besetzten Knoten aus?

  6. IDLA: Jim Propps Java Applet

  7. A n : = n 2 ( j j ) Z A A µ n = n n ; : f k k j g R A f k k j = g 2 A i : m a x x x = 2 2 r : m n x x = n n 2 n n Internal Diffusion-limited Aggregation: Notation Knoten, die nach Walks gesetzt sind

  8. ¤ = = = 1 4 1 6 2 5 6 j ( ( j ) ) ( ( ( ) ( ) ) ) ¸ 4 l R R R A ­ B O O O 2 ¡ ¡ ¡ < r r r r n n o g n n = = = = 2 n n n n n n n n n p = = 1 2 1 2 ¡ ¡ = R 1 2 n r n ¼ ! n n ; Internal Diffusion-limited Aggregation: Ergebnisse Random Walk: (Lawler, Bramson, Griffeath (1992)) (Lawler (1995)) mit hoher Wahrscheinlichkeit (Moore, Machta (2000)) experimentell Rotor Router Walk: (Levine, Peres (2005)) (Levine (2004)) (Kleber (2005), Friedrich (2005)) experimentell

  9. 1 1 2 2 2 ( ( ) ) ( ) i i i i 1 0 1 1 1 2 1 ¡ ¡ + + ¡ ¡ + ¡ e e e e e n n : e n e e n = = = = = = i i i i i 1 2 1 1 + ¡ n 2 2 ; ; : : : ; ) Cover Times Random Walk: Maximum (über alle Knoten v) der erwarteten Anzahl Schritte, bis ein Random Walk, gestartet in v, alle Knoten besucht hat. START ZIEL 1 2 4 5 n-1 3 ... n erwartete Zeit, um von nach zu gelangen Lösung: Cover Time bei Start auf 1:

  10. 2 ( ) i 0 1 7 3 5 1 4 1 9 6 t t t t t t t t t t + + + ¡ : n = = = = = = = = = = i 4 1 5 3 2 2 4 3 n Cover Times Rotor Router Walk: Maximum (über alle Startknoten v, alle Rotorstartstellungen und alle Rotorweiterdrehregeln) der notwendigen Schritte, um von v aus alle Knoten zu besuchen. START ZIEL ... n-1 n 4 1 2 3 5 Schritte bis zum Besuch bei Knoten Cover Time bei Start auf 1

  11. Cover Times: Obere Schranken Sei G ein Graph mit n Knoten und m Kanten. • Satz [Aleliunas, Karp, Lipton, Lovász, Rackoff (1979))]: • Beim Random Walk ist die Cover-Time höchstens 2(n-1)m. • Satz [D. (2006)]: • Auch im Roter-Router Modell ist die Cover-Time höchstens 2(n-1)m.

  12. Simultane Walks vieler Chips • Auf jedem Knoten liegen Chips. • Ein Zeitschritt: Alle Chips gehen (nacheinander) einen Rotor-Router-Schritt. • Frage: Unterschiedliche Anzahl Chips auf einem Knoten im Vergleich zum Random-Walk-Modell.

  13. Simultane Walks vieler Chips: Beispiel 19 t=0 19 9 1 10 1 2 3 2 4 3 4 12 17 16 15 11 18 13 14 19 t=1 9,5 9,5 5 4 + 5 5 t=2 4,75 9,5 4,75 2 3 + 5 4 + 2 3 t=3 7,125 7,125

  14. ( ( ( ( f f ) ) ) g j g ) l Z Z Z N Z i i i 2 1 t t t t t + 2 2 2 2 x x p x x x x = = 0 ; ; ; ; ; Präzise Formulierung der Ergebnisse: • Graph • Fixiere eine Startkonfiguration: • - Zeigerstellungen • - Anzahl Chips auf jedem Knoten sind. • Startposition heißt gerade, falls alle Chips auf geraden Knoten • Für alle setze: Anzahl Chips auf Knoten nach RR-Schritten Erwartete Anzahl Chips auf Knoten nach RW-Schritten

  15. Z N t 2 2 x 0 ; j ( ) ( ) j 2 2 9 · t t ¡ p x e x l l 1 1 + ¡ + ¡ ¯ ¯ l l M i i 1 1 1 ¡ + + ¡ + + ¡ ; ; ; x x x x ¯ ¯ 1 ¯ ¯ X X X X X p ¯ ¯ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 l l 8 l l l l l N N O O i t t t t ¡ ¡ ¯ ¯ 2 2 : m s u p p x e x o g : p x e x o g = = 0 0 ¯ ¯ ; ; ; ; M ¯ ¯ M ¯ ¯ 1 ! ¯ ¯ i 1 1 0 + + y x y x = = = y x y x = = Satz (Cooper, D., Spencer, Tardos) Für alle geraden Startpostitionen Alle Schranken sind scharf. Für nicht-gerade Startpositionen können alle Diskrepanzen beliebig groß werden.

  16. d Z Weitere Ergebnisse: • Für alle Gitter ist die Diskrepanz auf einem Knoten durch eine Konstante beschränkt (Cooper, Spencer). • Der unendliche 3-reguläre Baum hat diese Eigenschaft nicht (Cooper, D., Spencer).

  17. ( ) ( ) f d Z N 2 t t t 2 2 x p x x m o 0 ; ; ; f g j ( ) ( ) j Z N 0 1 2 2 9 · £ t t ¡ ! p x e x 0 ; ; ; ; Zum Beweis des Ergebnisses: • Worst-case: Jeder Knoten hat nur genau einmal eine ungerade Zahl von Chips. • Bei einem Knoten in Entfernung d muss das etwa ½d2 Zeitschritte vor dem Aufheben der Diskrepanz geschehen. existiert eine • Untere Schranke: Für jedes f: ist, für alle Startkonfiguration derart, dass

  18. Zusammenfassung Das Rotor-Router Modell ist in vielen Aspekten eine gute Simulation des Random Walk. • IDLA: Perfekter Kreis. • Cover Times: Vergleichbare Schranken trotz adversarieller Rotoreinstellungen. • Parallele Walks: Anzahl Chips fast gleich dem Erwartungswert im Random Walk.

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