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Vectores en el plano. Producto escalar.

Vectores en el plano. Producto escalar. Vectores en el plano. Producto escalar. Vectores en el plano Definición de vector fijo Componentes de un vector c) Igualdad de vectores. Vectores libres Característica de un vector Suma de vectores a) Propiedades de la suma

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  1. Vectores en el plano. Producto escalar.

  2. Vectores en el plano. Producto escalar. • Vectores en el plano • Definición de vector fijo • Componentes de un vector • c) Igualdad de vectores. Vectores libres • Característica de un vector • Suma de vectores • a) Propiedades de la suma • Producto de un número real por un vector • a) Propiedades del producto de un número real por un vector • b) Condición de paralelismo de vectores • Combinaciones lineales de vectores • Dependencia e independencia lineal de vectores • Sistema generador y base vectorial. • Producto escalar • a) Propiedades de producto escalar • b) Interpretación geométrica del producto escalar • c) Consecuencias del producto escalar • Aplicaciones de las operaciones con vectores

  3. VECTORES EN EL PLANO Los vectores son elementos de estructuras algebraicas matemáticas denominadas espacios vectoriales. En particular, los vectores planos son elementos matemáticos que representa cualquier movimiento que suponga una traslación en línea recta, y por tanto tiene gran utilidad para resolver infinidad de problemas físicos.

  4. A B Definición de vector fijo Llamamos vector fijo del plano a cualquier par ordenados de puntos del plano. Al primer punto se le denomina origen del vector y al segundo se le denomina extremo del vector. Es decir: Un VECTOR FIJO AB. Es un segmento orientado de Origen el punto A y Extremo el punto B.

  5. A(a1,a2) AB(b1-a1, b2-a2) B(b1,b2) Componentes de un vector Denominamos componentes o coordenadas de un vectorAB al par de números que se obtiene al restar a las coordenadas del extremo B las coordenadas del origen A. Es decir, si A = (a1,a2) y B = (b1,b2), las componentes del vectorAB será: AB = (b1-a1, b2-a2) Ejemplo: Las coordenadas del vectorAB, si A = (1,2) y B = (4,7) serán AB = (4-1,7-2) = (3,5)

  6. A B C D Igualdad de vectores. Vectores libres. Dos vectoresAB yCD (AB =CD ) son iguales si y solo si tiene las mismas componentes, es decir si (b1-a1, b2-a2) = (d1-c1, d2-c2) En particular existen infinitos vectores fijos equivalentes, a este conjunto de vectores equivalentes se le denominan vector libre. Ejemplo: Sean los puntos A(0,1), B(2,3), C(-1,0), D(1,2),se cumple que AB yCD son vectores equivalente, ya que: AB = (2-0,3-1) = (2,2) = (1-(-1),2-0) =CD

  7. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Cada vector libre en el plano viene definido por tres características que lo definen y lo diferencian de cualquier otro vector. Estas características son La DIRECCIÓN.- Es el conjunto de rectas paralelas a la recta sobre la que está representada el vector. Ejemplo: El vector u = (1,3) tiene la misma dirección que cualquier recta de la forma y = 3 x + b (b un número real cualquiera) El SENTIDO.- Es el orden de los puntos que pueden definir el vector u. Dos vectores pueden tener igual dirección y distinto sentido, por ejemplo los vectoresAB yBA, tienen la misma dirección, pero distinto sentido. El MODULO.- Es la longitud o distancia de un vector. Ejemplo: El módulo del vector u = (1,3) = (1²+3²) = 10

  8. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Es decir: • El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos. • La dirección de un vector es la recta que lo contiene. • El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo Dos vectores son EQUIVALENTES, si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado VECTOR LIBRE. El conjunto de todos los vectores del plano se representa por V2 • Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).

  9. u u v u+v u+v v SUMA DE VECTORES Dados dos vectores u = (u1,u2) y v = (v1,v2) definimos suma de vectores (u+v) al vector u + v = (u1+v1,u2+v2). Si hacemos coincidir los orígenes de u y v, gráficamente, la suma de vectores representa la diagonal del paralelogramo cuyos lados son los vectores dados. Si hacemos coincidir el extremo de u con el origen de v, gráficamente, la suma de vectores es el vector de origen el origen de u y de extremo el extremo de v. Ejemplo: Sean los vectores u = (1,3) y v = (-1,1) la suma de vectores (u+v) será el vector u + v = (1+(-1),3+1) = (0,4)

  10. A C B D Propiedades de la suma de vectores La suma de vectores cumple las siguientes propiedades: • Asociativa: (u +v ) +w =u + (v +w ) para cualquier u ,v ,w  V2 • Existencia de vector nulo0 =(0,0) tal queu +0 =0 +u para todou  V2 • Existencia de opuesto deu ( -u ) tal queu + ( -u ) = ( -u ) +u =0 para cualquieru  V2 • Conmutativa:u +v =v +u para cualquier u ,v  V2 El VECTOR OPUESTO al VECTOR AB es el VECTOR EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - AB • El VECTOR RESTA o DIFERENCIA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma de los VECTORES AB y – CD. - Ver diferencia de vectores -

  11. E B A VECTOR AE = 5. AB PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El VECTOR PRODUCTO de un número r por el VECTOR AB es el VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB. Ejemplo: Si r = 3 y el VECTOR AB = (3,1) es el VECTOR r AB = (9,3) • Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR (figura de CABRI).

  12. Propiedades del producto de un vector por un número El producto de un número por un vector cumple las siguientes propiedades: • Distributiva respecto de la suma de vectores r (u +v ) = r u + rv para cualquieru,v  V2, r R • Distributiva respecto de la suma de números (r+s)u = r u + su para cualquieru  V2,r, s R • Asociación mixta r ( su ) = ( r s )u para cualquieru  V2,r, s R • Existencia de elemento unidad 1 tal que 1u =u para cualquieru  V2

  13. Condición de paralelismo de vectores Teniendo en cuenta la definición del producto de un número real por un vector, si dos vectores u = (u1,u2) y v = (v1,v2) son paralelos (se representa u | | v), debe de existir un número real r, tal que v = r . u Es decir que equivale a que u1 u2 ------- = ------- v1 v2 Ejemplo: Los vectores u = (3,9) y v = (1,3) son paralelos ya que 3 9 ------- = ------- 1 3 • Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).

  14. COMBINACIONES LINEALES DE VECTORES Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede obtener utilizando la suma, resta o producto de un número real por un vector. Así por ejemplo el vector s , es combinación lineal de u, v y w, puesto que: 2 u + 3 v – w = s • Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES (figura de CABRI).

  15. Dependencia e independencia lineal de vectores • Decimos que los vectores u1, u2, … , un son LINEALMENTE INDEPENDIENTES, si ninguno de dichos vectores se puede poner como combinación lineal del resto de vectores. • En caso contrario, es decir si alguno de los vectores se puede poner como combinación lineal del resto, diremos que los vectores u1, u2, … , un son LINEALMENTE DEPENDIENTES. • Ejemplos: • Los vectores (1,1), (1,0) son linealmente independientes, ya que si planteamos la ecuación de variable x: • (1,1) = x.(1,0) • Obteniendo el sistema { x = 1 ; 1= 0 } que no tiene solución. • Los vectores (1,1), (1,0), (0,1) son linealmente dependientes, ya que: • (1,1) = 1.(1,0) + 1.(0,1)

  16. Sistema generador. Base. Dados dos vectores u y v, no paralelos ni nulos. Cualquier vector w, se puede poner como combinación lineal de los vectores u y v. Un SISTEMA GENERADOR DE VECTORES, es un conjunto de vectores, tal que cualquier vector del plano se puede poner como combinación de ellos Una BASE { u , v } de los vectores del plano está formada por dos vectores no paralelos, ni nulos. Si { u, v } es decir es un SITEMA GENRADOR LINEALMENTE INDENDIENTE. Dado un vector w, si a, b son dos números reales, tales que: w = a u + b v Decimos que (a,b) son las coordenadas de w, respecto de la BASE { u, v }

  17. Sistema generador. Base. • Ver COORDENADAS DE UN VECTOR (figura de CABRI).

  18. PRODUCTO ESCALAR Dados dos vectoresu = ( u1, u2 ) y v = ( v1, v2 ) se define como PRODUCTO ESCALAR, al número: u  v = ( u1, u2 )  ( v1, v2 ) = u1 v1 + u2 v2 Ejemplo: • Sean los vectores u = (1,-3) yv = (2,2) el producto escalaru v será u  v = (1,-3)   (2,2) = 1  2 + (-3)  2 = -4

  19. Propiedades del producto escalar PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR • El producto escalar de un vector por si mismo es mayor o igual a cero, es decir: u  u = |u |²  0. Hay que observar que se cumple |u | =  (u u ) • El producto escalar es conmutativo, es decir: u  v =v  u • El producto escalar es distributivo respecto de la suma de vectores. Es decir: u  (v +w ) =u  v + u  w • El producto es calar es asociativo con respecto al producto de un número real, es decir: k  (u v ) = ( k u )  v

  20. Interpretación geométrica del producto escalar Dados dos vectoresu yv, si  es el ángulo formado entre los vectores u yv, y si tomamos el triángulo formado por los vectores u ,v y u -v. • Teniendo en cuenta el teorema del coseno de dicho triángulo se cumplirá |u -v |² = |u |² + |v |² - 2 |u | |v | Cos  . 2) Teniendo en cuenta Las propiedades del producto escalar se cumplirá |u -v |² = (u v )  (u v ) = |u |² - 2.u v + |v |² Que IGUALANDO 1) y 2) se obtiene: u u = |u | |v | Cos 

  21. Interpretación geométrica del producto escalar Ejemplo.- Dados dos vectoresu yv, tal que |u | = |v | = 1 y forman un ángulo  = 60º, para calcular u v u u = |u | . |v | cos  = ½

  22. Consecuencias del producto escalar ÁNGULO DE DOS VECTORES.- De la interpretación geométrica del producto escalar, se deduce que si  es el ángulo formado entre dos vectoresu yv, como u v = |u | |v | Cos  ; u v = u1 v1 + u2 v2 Se deduce Ejemplo.- Siu = ( 3,1) yv = (1,2), para calcular el ángulo entre u yv

  23. Consecuencias del producto escalar VECTORES ORTOGONALES.- Dos vectoresu yv son ortogonales (u v ) si y solo si u v = u1 v1 + u2 v2 = 0 Si dos vectores ortogonales tienen módulo 1, se dicen que son VECTORES ORTONORMALES. Dado un vectoru, siempre lo podemos NORMALIZAR (hallar otro vector u1 con su misma dirección y sentido pero unitario) por el vector Ejemplo.- Siv = (2,3) obtener un vectoru, en su dirección y sentido y otro ortonormal conu . Será: Además si tomamosw = ( 3/13 , -2/13 ) podemos comprobar fácilmente que u w y que |w | = 1

  24. v u Consecuencias del producto escalar Una consecuencia importante en el cálculo de distancias es el cálculo de la PROYECCIÓN de un VECTORv sobre otro VECTORu ( Proy u v ) Como Cos  = |Proy u v | / |v |  | Proy u v | = |v | . Cos  Será Ejemplo.- Siv = (3,2) yu = (3,-1), hallar Proy u v :

  25. Consecuencias del producto escalar Si lo que deseamos es hallar la distancia del VECTORPROYECCIÓN de un VECTORv sobre otro VECTORu ( Proy u v ) Bastará con que multipliquemos Proy u v por un vector unitario, en la misma dirección y sentido queu, es decir Ejemplo.- Siv = (3,2) yu = (3,-1), hallar | Proy u v | :

  26. APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS A(a1,a2) y B(b1,b2) DEL PLANO (d(A,B)) Ejemplo.- Si A = (1,2) y B = (2,-1)

  27. APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(a1,a2), B(b1,b2) Ejemplo.- Si A = (1,2) y B = (2,-1)

  28. APLICACIONES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Baricentro G de un triángulo [A,B,C]; A = A(a1,a2), B = B(b1,b2), A = A(c1,c2) Como el BARICENTRO G, es el punto en el que intersecan las rectas que pasan por los vértices del triángulo y los puntos medios de los lados opuestos Basta con que resolvamos un sistema de dos cualesquiera de las ecuaciones de las rectas (AF, BD ó CE) y se obtiene Ejemplo.- Calcular el Baricentro G del triángulo de vértices (1,2), (2,-1), (3,3)

  29. Mas ayuda del tema de la página Matemática de DESCARTES del Ministerio de Educación y ciencia(http://recursostic.educacion.es/descartes/web/)En la siguiente diapósitiva

  30. Mas ayuda del tema de la página de figuras de Geogebra deManuel Sada Allo(http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/vectores.htm)En la siguiente diapósitiva

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