VECTORES EN EL PLANO

1. VECTORES EN EL PLANO Nivel 4º E.S.O. Curso 2011

2. El concepto de vector está motivado por la idea de desplazamiento en el espacio Si una partícula se mueve de P a Q determina un segmento de recta dirigido con punto inicial P y punto final Q P Q

3. S P Q R Vectores de la misma magnitud La magnitud del vector es la longitud de ese desplazamiento y se denota por R S

4. Un vector es un segmento orientado

5. Q S S Q R R P P S R La dirección del vector viene dada por el punto inicial y el punto final. En este sentido Vectores de la misma dirección Vectores en direcciones distintas

6. Tienen la misma magnitud y dirección Q S P R Vectores Equivalentes Definición Geométrica Un vector es el conjunto de todos los segmentos dirigidos equivalentes

7. Eje y O Eje x Representante del vectorpor el origen de coordenadas

8. Eje Y u O Eje X A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así: P(a,b) b a (a,b) son las coordenadas del vector u y también del punto P

9. Eje Y u O Eje X Y a la inversa: dado (a,b) perteneciente a un plano se le asocia el vector u así: P(a,b) b a Definición algebraica Un vector es un par ordenado de números reales

10. Eje Y O Eje X Dado el vector u(-2,3) representarlo en el plano Dado el vector u(-2,-4) representarlo en el plano Dado el vector u(1,-4) representarlo en el plano Dado el vector u(0,3) representarlo en el plano Dado el vector u(-2,0) representarlo en el plano Dado el vector i(1,0) representarlo en el plano Dado el vector j(0,1) representarlo en el plano

11. Punto P en el plano Vector u=OP desde el origen hasta P (a,b)2 Esta correspondencia se llama: Sistema de coordenadas rectangulares

13. 6cm 31º 10cm

14. 6cm 38º 7,67cm

15. 6cm 45º 6cm

16. 6cm 65º 2,8cm

17. 10cm ¿b? 27º ¿a?

18. 12cm ¿b? 62º ¿a?

19. 15cm ¿b? 11º ¿a?

20. ¿h? 9cm 74º ¿a?

21. ¿h? 3cm 24º ¿a?

22. ¿h? ¿b? 48º 8cm

23. ¿h? ¿b? 23º 6,4cm

24. Eje Y u (a,b) O b Eje X  a Dirección  de u Angulo positivo que forma con el eje X Magnitud o módulo de un vector u Un vector de módulo uno se llama unitario El vector nulo (0,0) no tiene dirección

25. Eje Y O Eje X Halla el módulo del vector u(-4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(2,2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,5) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(1,4) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-4,1) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(0,-3) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(3,-2) y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(4,-1) y el ángulo θ que forma con el eje X

26. Eje Y O ¿b? Eje X ¿a? Halla las componentes del vector u si el módulo vale 1 y el ángulo θ = 150º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 6 y el ángulo θ = 220º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 3 y el ángulo θ = 315º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 4 y el ángulo θ = 28º Halla las componentes del vector u si el módulo vale 2 y el ángulo θ = 60º

27. Eje Y y u yj xi j O x i Eje X Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es combinación lineal de los vectores i,j

28. Eje Y O Eje X Halla el módulo del vector u(1,1) = i+ j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(1,3) = i+3 j y el ángulo θ que forma con el eje X Halla el módulo del vector u(-2,3) =-2i+3 j y el ángulo θ que forma con el eje X

29. Operaciones con vectores • Seanu=(x,y) y v=(a,b) vectores en el plano y  un número real. Se define el vector: • suma u+v como • u+v= (x+a, y+b) • producto por un escalar u como •  u=(x, y).

30. Eje Y u+ v u O Eje X v Operaciones con vectores Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la diagonal mayor del paralelogramo

31. Eje Y u- v u- v u O Eje X v Operaciones con vectores Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la diagonal menor del paralelogramo

32. Eje Y u+ v u O Eje X v Operaciones con vectores Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b) es la diagonal mayor del paralelogramo

33. Eje Y b b u+ v u y v x Eje X O a x Operaciones con vectores y b x a u+v=(x+a,y+b)

34. Eje Y u u Eje X O u Operaciones con vectores >0 0<<1 <0 Si u=(x,y), u=(x, y)

35.  Productoescalar Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=│u││v│cos : Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v.

36. El producto escalar de los vectores canónicos i=(1,0), j=(0,1) será i.i=j.j=1 i.j=j.i=0

37. Nueva definición de Productoescalar:

38.  Productoescalar Se define el producto escalar de dos vectores u=(x,y) y v=(a,b) como: u.v=ax+by Se define el ángulo entre dos vectores u y v como el ángulo  no negativo mas pequeño entre u y v.

39. Eje Y Eje X  /2 Productoescalar Dos vectores son paralelos si el ángulo entre ellos es 0 o . Dos vectores son ortogonalessi forman un ángulo de /2

40. Propiedades del productoescalar • u.0 = 0 • u.v = v.u (propiedad conmutativa) • Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces los vectores son perpendiculares.

41. Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre ellos, entonces si calculamos el producto escalar podremos hallar el ángulo entre ellos: u  v ucos Teorema: Interpretación geométrica:

42. Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.

43. Ejemplo: Sean los vectores A = 3i -2 j y B = -i - j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.

44. Ejemplo: Sean los vectores A = -4i +2 j y B = -3j . Representarlos y determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo entre A y B.