A σ (n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása

1. A σ(n)-n = s(n) számelméleti függvény vizsgálata és gyakorlati alkalmazása Az Út a tudományhoz program keretében közreműködtek: Győrffy Lajos Szudi László Lamm Éva Eckert János Pap Máté Réti Norbert Témavezető: dr. Katz Sándor

2. Fogalmak • Egy n pozitív egész szám esetén s(n)-nel jelöljük a nála kisebb osztóinak összegét. pl.: s(18)=1+2+3+6+9=21 s(16)=1+2+4+8=15 • σ(n)-nel jelöljük egy az n szám összes osztójának összegét. • σ(n) értéke n-nel nagyobb a s(n)-nél. pl.: σ(18)=1+2+3+6+9+18=39 σ(16)=1+2+4+8+16=31

3. s(n) függvény

4. Az s(n) és n viszonya alapján 3 csoportra oszthatjuk a számokat: • Ha s(n) < n, akkor a szám hiányos, pl.: s(9)=1+3=4 < 9 • Ha s(n) > n, akkor a szám bővelkedő pl.: s(12)=1+2+3+4+6=16 > 12 • Ha s(n) = n, akkor a szám tökéletes pl.: s(6)=1+2+3=6.

5. Tökéletes számok A páros tökéletes számok ma már ismert alakja: n =2p-1 (2p–1) Ahol 2p–1 prím. Az ilyen alakú prímeket Mersenne prímeknek nevezzük. Ezekből mindössze 47 darabot ismerünk. Továbbá minden Mersenne prímhez tartozik tökéletes szám és fordítva.

6. Már Euklidesz (i. e. 365-300) megmutatta, hogy ha n = (2p-1) · 2p-1 alakú, ahol p és 2p-1 prímszám, akkor n tökéletes szám. Pl: p=2-re: (22-1) ·22-1 = 3 · 2=6 p=3-ra: (23-1) · 23-1 = 7 · 4=28

7. Marin Mersenne, francia szerzetes több olyan p prímet adott meg, amelyekre (2p-1) is prím. Az ilyen alakú prímeket azóta is Mersenne-prímeknek nevezzük. Marin Mersenne (1588-1648)

8. Leonard Euler megmutatta, hogy páros tökéletes szám csak n=(2p-1) ·2p-1 alakú lehet. És ő találta a 8. tökéletes számot, ami 19 jegyű. Leonhard Euler (1707-1783)

9. Derrick Lehmer kidolgozott olyan eljárást, amivel nagyobb tökéletes számokat is lehet keresni. Derrick Lehmer (1905-1991) Eddig (2009 okt. 24.) 47 tökéletes számot ismerünk. Ez mind páros.

10. Az első 15 Mersenne-prím és tökéletes szám

11. Prímszámrekord A mai rekord 12 978 189 jegyből áll. 2008. augusztus 23. - Edson Smith Mersenne-képlet alapján a rekordszám: (2 43 112 609)-1 (GIMPS: Great Internet Mersenne Prime Search)

12. A legnagyobb ismert prímek • 243 112 609-1 12 978 189 jegyű Aug 2008 M47?? 2. 242 643 801-1 12 837 064 jegyű Jun 2009 M46?? • 237 156 667-1 11 185 272 jegyű Sep 2008 M45?? • 232 582 657-1 9 808 358 jegyű Sep 2006 M44??

13. Létezik-e páratlan tökéletes szám? Nem tudjuk, hogy van-e, de ha van, ilyen N, akkor • N-nek legalább 75 törzstényezője van – pl.:53 3-nak számít. (Kevin Hare 2005.) • A legnagyobb prímtényezője 100 milliónál nagyobb (Takeshi Goto és Yasuo Ohno, 2006) • Minimum 9 prímosztója van (Nielsen, 2006) • Maga szám 10500 –nál is nagyobb. (2006)

14. Aliquot sequences Hogyan viselkedik ez a sorozat? n → s(n) → s(s(n)) → s(s(s(n))) → … pl. 12 → 16 → 15 → 9 → 4 →3 →1. Milyen lehetőségek vannak?

15. Aliquot sequences • Lehet, hogy a sorozatban prímet, majd 1-et kapunk, ezzel a sorozat véget ér. • Lehet, hogy ciklusok ismétlődnek a sorozatban. Hány eleműek lehetnek ezek a ciklusok? • Lehet, hogy a sorozat sosem ér véget?

16. Hány elemű ciklusok lehetnek? • Egy eleműek a tökéletes számok pl. 6 → 6 → 6 → … 47 ismert. • Két eleműek a barátságos számok pl. 220→284→220→284 több, mint 12 000 000 ismert • Három eleműt nem ismerünk • Négy, vagy annál több elemű Pl.: 1 264 460 → 1 547 860 → 1 727 636 → 1 305 1840 12496 →14288 →15472 →14536 → 14264 2009 márciusig 152 ilyen ciklus ismert. (28 elemű a leghoszabb.)

17. Barátságos számok • A görörgök egy párt ismertek: 220-284 • 1300 körül Al Banna arab matematikus találta a következő párt: 17 296 - 18 410. (Ezt Európában nem ismerték és csak 1636-ban találta meg ezt a párt Fermat.) - 1638-ban Descartes talált egy újabb párt: 9 363 584 – 9 437 056. A következő?

18. Barátságos számok - Euler 1742-től 1750-ig újabb 61 párt talált, köztük olyat is, amely páratlan számokból áll: 69 615 – 87 633. - 1946- ban még csak 390 párt ismertek, 2009-ben már több, mint 12 000 000 ismert.

19. Barátságos számok Néhány nyitott kérdés: • Van-e páros - páratlan pár? • Van-e olyan pár, amelyben az egyik szám sokkal nagyobb a másiknál? (Az eddig ismert párok elemei közel vannak egymáshoz, vagyis ha az (a;b) barátságos párban a< b, akkor az eddig ismert párokra az arány egy elég szűk intervallumban helyezkedik el: 0,697893577 ≤ a/b ≤ 0,999852518

20. Egy hosszú sorozat: 1. 2. 3. 4. 5. 138 →150 → 222 → 234 → 312→… 113. … → 179 931 895 322 →… 169. 170. 171. 172. • → 265 → 59 → 1 276 → ?

21. Nem ismert végű ciklusokLehmer five

22. Lehmer five grafiikonja

23. Milyen értékeket vesz fel az s(n) függvény? • Végtelen sok olyan érték van, amit nem vesz fel. (Erdős P. 1936.) • Minden páratlan értéket felvesz, ha a páros számokra vonatkozó Goldbach-sejtés igaz.

24. Ah(n)=s(n)/n hányadosról • h(n) akármilyen kis poztív értéket felvehet, ha n elegendően nagy prímszám • Belátható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Legyen n=a! Ebből látható, hogy h(n) akármilyen nagy értéket felvehet. Gombos LászlóAsorozatról című, a POLYGON 1998. 2. számában megjelent cikkében bebizonyította, hogy h(n) értékei a számegyenesen mindenütt sűrűn helyezkednek el.

25. Egy sejtés A problémát Marc Deléglise a közelmúltban már megoldotta. A keresett határérték a ] 0,2474; 0,2480[ intervallumba esik.

26. Nyitott kérdések az s(n) függvénnyel kapcsolatban • van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n-1? A kettő hatványok ilyenek, nem tudjuk van-e más? • van-e bármilyen n szám, amelyre s(n)= n+1? Tudjuk, hogy páros n-re nem teljesül.

27. A S(n) és s(n) függvények egy összehasonlítása Az szám pozitív osztóinak összege: A szorzat tényezőit felírhatjuk mértani sorozatok összegeként: A képlet segítségével σ(n)-ből meg tudjuk határozni n-t!

28. Pl.: σ(n) = 8736 Tekintsük a d = képletet! Legyen p1 = 2, k1 = 1 esetén d = 3, mivel 3| 8736, ezért 2| n; k1 = 2 esetén d = 7, mivel 7| 8736, ezért 22| n; k1 = 3 esetén d = 15, mivel 15nem osztója8736-nak, ezért 23 sem osztójan-nek; Ugyanezen gondolatmenet alapján kiszámítható,hogy n osztói lesznek még 53 és 7. Vagyis n = 22 ·53 ·7 = 3500 gyorsan nő . Tetszőleges pi esetén ki értékeit növelve

29. Az s(n) függvénynél nincsenek ilyen gyors eljárások. Nem tudjuk ilyen egyszerűen eldönteni s(n) értékének ismeretében,hogy egy prím szerepel-e n-ben vagy nem.

30. Egy adott s(n) esetén milyen határok között kereshetjük n értékét? Hol lehet n? • Bármely n = prím szám esetén s(n) = 1, és fordítva • n = p2 , ahol p prím, ekkor s(n) = 1+p A két egyenletből kifejezve: n=(s(n)-1)2 Tehát egy adott s(n) érték esetén n ≤ (s(n)-1)2 Ez pl. azt jelenti, hogy egy 64 jegyű s(n) esetén n nem lehet nagyobb 128 jegyűnél.

31. A próbálkozások csökkentése • Ha s(n) páros, akkor s(n)=σ(n)-n miatt - n páratlan négyzetszám, vagy - n=2km, ahol m nem négyzetszám. • Ha s(n) páratlan, akkor - n páratlan nem négyzetszám, vagy - n=2km, ahol m négyzetszám.

32. Mindezek a korlátozások azonban alig csökkentik a próbálkozások számát, idejét. Ha a 128 jegyűekig minden n-t végig kellene próbálni, hogy az adott s(n) érték tartozik-e hozzá, akkor ez igen sokáig tartana. Pl. ha egy számítógép minden n esetén átlagosan 0,00001 s alatt döntené el, hogy hozzá az adott s(n) tartozik-e, akkor ez több, mint 10100évig tartana.

33. Minden olyan művelet, ami egyik irányban viszonylag gyorsan kiszámolható, de ez a számítás visszafele nagyon sok ideig tartana alkalmas lehet titkosításra. • Ilyen tulajdonsággal rendelkezik az n s(n) függvény is.

34. Alkalmazhatóság: ún. borítékolt üznetek titkosítása Olyan üzenet kódolásaára lehet ez alkalmas, amikor az elküldés időpontjában még nem akarjuk, hogy a partner el tudja azt olvasni. Pl. ha két fél interneten sakkozik és egyik a lépését borítékolni akarja. A kódolás lépései a következők: 1.: A szöveget ASCII kód segítségével átírjuk egy számmá (ez könnyen megtehető, mivel az ASCII kód minden karakterhez egy számot rendel hozzá). Legyen ez a szám n. 2.: n számhoz ezután a program segítségével rendeljük hozzá az s(n)-jét. Ezt az s(n)-t küldjük el, mint kódolt üzenetet.

35. Egy példa a borítékolásra Kódolandó üzenet: A2rőlB3ra Torzított üzenet: szeretlek te A2rőlB3ra édes mostoha ASCII kóddal kódolt alakja: 1151 221011 1410111 610810 110732 116101 326550 114245 108665 111497 322331 001011 153210 911111 511611 110497 A fenti szám s(n)-je: 3837 403370 471969 286544 954134 795272 191872 899415 456620 967898 776770 220474 300551 934442 249017 566943

36. Borítékbontás: Elküldjük az n-t, azaz az eredeti szöveget. A partner könnyen ellenőrizheti, hogy ehhez a n-hez valóban az előzőleg elküldött s(n) tartozik-e. (Tehát időközben nem tudunk változtatni az üzeneten.)

37. Megfejtendő üzenet www.petofi-bhad.sulinet.hu s(n) = 11 796 893 749 241 036 845 717 932 775 178 816 228 370 307 360 535 662 842 886 n= ?

38. Felhasznált irodalom: K. Guy Richard: Unsolved Problems in Number Theory: [1.] B4 Amicable numbers [2.] B6 Aliquot sequence [3.] B7 Aliquot cycles [4.] B11 Solutions of mσ(m) [5.] http://www.aliquot.de/lehmer.htm [6.] http://www.aliquot.de/aliquote.htm [7.] http://amicable.homepage.dk/apstat.htm [8.] Elemente der Mathematik 1973.: (83-87. o.) Pál Erdős: Über die Zahlen der Form σ(n)-n und n-φ(n) [9.] http://www.wurzel.org: Vollkommenende Zahlen

39. Köszönöm a figyelmet!