2ª Aula

1. 2ª Aula Modelação da dinâmica de populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem. Equação da logística.

2. O que é um modelo? Os modelos matemáticos melhoram com a idade..... BEST – IST, 2006

3. Princípio de conservação Taxa de acumulação num volume de controlo O que se produz menos o que se destrói Ao que entra menos o que sai = +

4. Volume isolado • Se βfor uma concentração uniforme no volume: • Escrevendo fontes/poços por unidade de volume:

5. Dinâmica de populações (n=0) => decaimento/crescimento de ordem zero (evolução linear) (n=1) => 1ª ordem (exponencial) …….. No caso de (n=1) => 1ª ordem: A soluçãoanalítica é: c K>0 c0 No caso de (n=1) => 1ª ordem: K >0 implica crescimento exponencial K<0 decaimento assimptótico para zero. K<0 t

6. Decaimento de 1ª ordem • Normalmente admite-se que: • A mortalidade bacteriana fecal tem decaimento de 1ª ordem, quantificado pelo T90, • Os pesticidas têm decaimento de 1ª ordem, quantificado pelo tempo de “semi-vida”. • Como calcular o k? => => T90=1 hora => k=-6.4E-4/s. No caso do tempo de semi-vida seria idêntico com ln(0.5)

7. Solução “Logística” • A solução designada por “Logística admite que o crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que há uma população máxima. • K deverá ser variável. c Cmax C0 t

8. Solução Numérica (explícito) Discretizando a derivada temporal obtém-se: Se usarmos um método explicito vem:

9. Comparação numérico e analítico Ver folha Excel “dinâmica de populações”

10. Solução Numérica (explícito) Se usarmos um método explicito vem: Se k<o então o parênteses pode ser negativo se o intervalo de tempo for elevado. Nesse caso a nova concentração ficaria negativa e o método ficaria instável. A condição de estabilidade é: Nesta passagem o sinal da desigualdade troca quando de divide por k<0

11. Solução Numérica (implícito) Se usarmos um método implícito a equação fica: Neste caso o método pode instabilizar no caso de k>0:

12. Critérios de estabilidade • Quando temos mortalidade, se o método for explícito o número de indivíduos que morre é função do valor que tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo se pode dizer para a concentração). • Quando temos natalidade o problema coloca-se com o método implícito porque fisicamente o número de filhos é proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a dizer que “os filhos já nasceriam trazendo filhos ao colo”.

13. Generalizando poderemos dizer que: • As fontes devem de ser calculadas explicitamente e os poços implicitamente. Se isso for possível evitam-se instabilidades no modelo. • Se o modelo for estável qual deve de ser o passo temporal? O menor possível para que a solução numérica não se afaste da solução analítica. x c K>0 implícito c0 explícito K<0 t

14. Considerações Finais • Os modelos baseados em decaimentos de primeira ordem podem ser realistas para propriedades que não se produzem no meio ambiente. • Os modelos baseados em crescimentos de primeira ordem são pouco realistas. • A equação da logística pode dar-lhes algum realismo. • O ideal é os modelos reproduzirem os processos de produção e de decaimento. O modelo de Lotka-Volterra é o mais simples que tenta atingir este objectivo.

15. ModeloPresa-Predador (Lotka-Volterra) • Na equação: Só a logística é quelimita o crescimento. Na realidadeaparecesempre um predadorquecresce com a presa. Equações de Lotka-Volterra

16. Problemas do modelo de Lotka Volterra • Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo menos 3 variáveis de estado: • Nota: As derivadas passaram a totais para descrever o caso de o fluido estar em movimento. • Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...

17. Forma geral das Equações Nestas equações adicionamos o transporte difusivo.