SEMEJANZA

1. SEMEJANZA

2. Descripción: Dos figuras son semejantes cuando tienen la misma “forma”, pero no necesariamente el mismo tamaño La idea de la “misma forma” aparece en las ampliaciones o reducciones.

3. ¿ Qué observas ? 10 cm 5 cm 4 cm 8 cm

4. ¿Cómo expresamos matemáticamente esta idea de la “ misma forma”? • La respuesta es comparando el largo y el ancho de ambas fotografías : Las razones entre el ancho y el largo de cada foto son iguales; es decir: las dos fotografías son: Así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 10 x 4 = 8 x 5 ¿IDÉNTICAS OSEMEJANTES ?

5. Dos figuras son semejantes porque: 1ºTienen la misma forma, por ampliación o por reducción. 2° Tienen diferente tamaño, porque los lados de la figura mayor son una ampliación en forma proporcional de los lados de la figura menor, manteniéndose constante los ángulos.

6. No son figuras semejantes

7. ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras?

8. ¿Qué elementos determinan la semejanza de las figuras? • Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. • Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman “homólogos”.

9. Triángulos semejantes • Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son, respectivamente, igualesysus lados homólogos son proporcionales.

10. Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. A 6m C 5m P 4m B 18m x 3 15m R 12m Q Multiplica cada uno de los lados por 3. Los lados del triángulo se han triplicado.

11. Identificamos algunos elementos : AB BC PQ AC QR PR RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS 11

12. Criterios de semejanza de triángulos • Existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados y todos sus ángulos. • Estos principios se conocen con el nombre de criterios de semejanza de triángulos

13. Existen tres criterios de semejanza de triángulos AA ( ángulo-ángulo) LLL (lado-lado-lado) LAL (lado-ángulo-lado)

14. A´ A a´ a b g B C g´ b´ C’ B´ Si a = a´ , b = b´ Es decir: de lo anterior se deduce que g = g´ Entonces, D ABC semejante con D A´B´C´ Primer criterio : AA • Dos triángulos que tienen los dos ángulos congruentes son semejantes entre sí.

15. P R 65° A 65° 25° 25° C B Q Ejemplo ¿Son los siguientes triángulos semejantes? ¡SI! Por que al tener dos de sus ángulos congruentes, cumplen con el criterio AA

16. A´ A b b´ a a´ c B Es decir: C c´ El cociente obtenido de comparar los lados homólogos entre sí recibe el nombre de razón de semejanza. =K = = a a´ b b´ c c´ C’ B´ Segundo criterio: LLL • Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son semejantes entre sí.

17. P B 1,5 C 3,5 7 5 10 A Q 3 R Ejemplo : Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes Verifiquemos si las medidas de los lados son proporcionales 1,5 3 3,5 7 5 10 = 0,5 = = Efectivamente , así es, ya que los productos la razón entre los lados correspondientes es constante Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio LLL

18. A’ A a a’ a a´ C B c c’ Es decir: C’ B’ a a’ c c’ y a = a’ = Entonces D ABC semejante a D A’B’C’ Tercer criterio:LAL • Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es igual, son semejantes entre sí.

19. D A 9 E 3 C B 4 12 F Ejemplo : ¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes? Veamos si dos de sus lados son proporcionales 4 3 = 9 12 Efectivamente así es, ya que los productos “cruzados” son iguales 3 • 12 = 4 • 9 Efectivamente, porque, tal como se señala en el dibujo, ambos son rectos ¿Los ángulos formados por estos dos lados son congruentes? Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES