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Semejanza de triángulos

Semejanza de triángulos. ¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?. ¿Son suficientes los datos que tenemos?. La altura de Sara es 1,5 metros. El problema se puede resolver usando Semejanza de Triángulos. Comencemos por entender qué es la Semejanza de Triángulos. A. M. N. B. P. C.

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Semejanza de triángulos

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Presentation Transcript

  1. Semejanza de triángulos

  2. ¿Cómo podemos calcular la altura del árbol?

  3. ¿Son suficientes los datos que tenemos? La altura de Sara es 1,5 metros

  4. El problema se puede resolver usando Semejanza de Triángulos Comencemos por entender qué es la Semejanza de Triángulos

  5. A M N B P C Definición: • Dos triángulos son semejantes si sus tres ángulos son correspondientemente congruentes. mM = 70 mN = 65 mP = 45 mA = 70 mB = 65 mC = 45  ABC MNP

  6. Es importante utilizar adecuadamente la notación de semejanza para dos triángulos. NOTA IMPORTANTE: Al decir que  ABC MNP, implícitamente se está diciendo que el ángulo BAC es congruente con el ángulo NMP. Asimismo el ángulo ABC lo es con MNP, y el ángulo ACB es congruente con el ángulo MPN.

  7. Para identificar si dos triángulos son semejantes se utilizan 3 postulados o criterios de semejanza. Veamos:

  8. C A B A’ C’ B’ Criterios de semejanza • Primer criterio: • AA • Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son congruentes a dos ángulos del otro.

  9. Segundo criterio: LLL Dos triángulos son semejantes si los lados de uno de ellos son proporcionales a los lados homólogos del otro. C A B A’ C’ B’ Criterios de semejanza

  10. C A B A’ C’ B’ Criterios de semejanza • Tercer criterio: • LAL • Dos triángulos son semejantes si dos lados de uno de ellos son proporcionales a dos lados del otro y los ángulos comprendidos entre dichos lados son congruentes.

  11. A E F B C Teorema fundamental de semejanza de triángulos También es útil el siguiente teorema: • Al trazar una paralela a un lado de un triángulo, se forma un triángulo semejante al triángulo inicial. Se deja como ejercicio para el alumno la demostración de este teorema

  12. Se pueden sacar muchas conclusiones cuando se tienen dos triángulos semejantes. ¿Pero ahora cómo nos puede ayudar la semejanza de triángulos a resolver nuestro problema inicial? Veamos:

  13. En dos triángulos semejantes se cumple que sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos son los opuestos a ángulos congruentes. A la razón de uno de los lados con su lado homólogo se le llama constante de proporcionalidad k. En este caso k = 1/2

  14. Lo interesante es que esta proporción se mantiene también para las alturas y las medianas, siempre correspondientes a los lados homólogos de los triángulos semejantes. La razón de los perímetros de ambos triángulos también es igual a la constante de proporcionalidad k. Finalmente, la razón de las áreas de los triángulos semejantes, es igual a la constante de proporcionalidad elevada al cuadrado; es decir a k2.

  15. ¿Podemos ahora resolver el problema? La altura de Sara es 1,5 metros

  16. FIN

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