Análisis de Fourier para señales continuas II

1. Análisis de Fourier para señales continuas II Francisco Carlos Calderón PUJ 2009

2. Objetivos • Representar señales continuas como suma de exponenciales complejas. • Definir la transformada de fourier de tiempo continuo y estudiar algunas de sus propiedades. • Analizar señales y SLIT continuos utilizando la transformada de Fourier.

3. La transformada continua de fourier • La serie de fourier es de utilidad cuando la señal a ser representada es periódica. • Cuando la señal no lo es, se debe recurrir a una generalización de esta serie de fourier. Señal periódica • Señal no periódica

4. La transformada continua de fourier Partiendo del desarrollo en series de fourier de señales periódicas de : Señal periódica Se toma el limite cuando Como entonces puede verse como Por lo que De igual manera nw0 será una variable continua w • Señal no periódica http://www.socr.ucla.edu/htmls/SOCR_Games.html

5. La transformada continua de fourier • Aplicando lo anterior en: • Se llega a:

6. La transformada continua de fourier • Puede escribirse la anterior ecuación así: • Que forman la pareja transformada de fourier

7. La transformada continua de fourier • Una señal no periódica tendrá un espectro continuo en lugar de uno discreto

8. La transformada continua de fourier • Del inicio del capítulo 4 en el programa se encontró que para “cualquier” señal periódica existía un correspondiente grupo de coeficientes cn para el caso continuo no periódico, puede encontrarse una correspondencia así:

9. La transformada continua de fourier • Para cada señal que posea una X(w), esta será única y representa una transformación de x(t). • Por notación:

10. Convergencia de la Transformada Continua de Fourier Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias • Condición 1. • x(t) debe ser absolutamente integrable. Ejercicio: Una señal periódica es absolutamente integrable? PE sen(x) • Condición 2. • x(t) debe tener un número finito de máximos y mínimos durante cualquier intervalo finito Ejemplo No cumple 2, pero cumple 1

11. Convergencia de la Transformada Continua de Fourier • Condición 3. • x(t) debe tener un número finito de discontinuidades finitas cualquier intervalo finito de tiempo. Además cada una de estas debe ser finita • Ejemplo Las condiciones de Dirichlet son suficientes, pero no necesarias

12. Propiedades de la transformada continua de fourier • Usando la notación: • Y sean

13. Propiedades de la transformada continua de fourier • Linealidad: • Desplazamiento de tiempo: • Conjugación

14. Propiedades de la transformada continua de fourier • Escalamiento en tiempo: • Multiplicación “modulación”: * Es el operador convolución

15. Propiedades de la transformada continua de fourier • Diferenciación e integración: • Dualidad

16. Propiedades de la transformada continua de fourier • Convolución: • Relación de Parseval

17. Referencias • Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman. S y Srinath. M. 2ª edición cap 4 • Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 4 • Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ • Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ • Apuntes de clase Prof. Andrés Salguero PUJ