Kolmé hranoly, jejich objem a povrch

1. Kolmé hranoly,jejich objem a povrch Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2. Kolmé hranolya jejich vlastnosti boční stěny Kolmé hranoly mají čtvercové nebo obdélníkové boční stěny

3. Kolmé hranolya jejich vlastnosti boční hrany hrany podstavy Kolmé hranoly mají boční hrany navzájem rovnoběžné a kolmé k podstavám

4. Pravidelný hranol- hranol, jehož podstavu tvoří pravidelný mnohoúhelník Pravidelný čtyřboký kolmý hranol Pravidelný šestiboký kolmý hranol

5. H G E F D C A B Na obrázku je čtyřboký kolmý hranol ABCDEFGH. Urči jeho: ABCD • dolní podstavu • horní podstavu • hrany dolní podstavy • boční hrany • boční stěny • stěnové úhlopříčky • tělesové úhlopříčky EFGH AB,BC,CD,DA AE, BF, CG, DH ABFE, BCGF, CDHG, ADHE AF, BE, CF, BG, CH, DG, AH, DE AG, BH, CE, DF

6. Síť hranolu Síť hranolu sestrojíme tak, že všechny jeho stěny zakreslíme do jedné roviny takovým způsobem, že např. po vystřižení z papíru bude možné vytvořit model příslušného hranolu.

7. Kolmé hranolya jejich vlastnosti horní podstava dolní podstava Kolmé hranoly mají dvě rovnoběžné podstavy tvaru mnohoúhelníku

8. 2,5 cm 3 cm 4 cm Úlohy na procvičení • Sestrojte síť krychle s hranou délky 3 cm. • Sestrojte síť kvádru o délkách hran 3 cm; 4 cm a 5 cm. • Sestrojte síť pravidelného čtyřbokého hranolu, je-li podstavou čtverec o délce strany 4 cm a výška hranolu je 6 cm. • Sestrojte síť hranolu vysokého 3,5 cm s podstavou na obrázku:

9. Povrch hranolu- součet obsahů všech jeho stěn- obsah jeho sítě S = 2 . Sp + Spl Sp – obsah podstavy Spl – obsah pláště Stěny hranolu: - horní a dolní podstava - boční stěny = plášť hranolu

10. 5 4 5 8 6 Poradíte si? • Vypočítejte povrch krychle s hranou délky 2,5 cm. • Vypočítejte povrch kvádru s délkami hran 2 dm; 3 dm a 6 dm. • Podstava kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s délkami odvěsen 5 cm a 12 cm a přeponou 13 cm. Výška hranolu je 30 cm. Vypočítejte povrch hranolu. • Vypočítejte povrch hranolu na obrázku, rozměry jsou v m.

11. Řešení úlohy č. 2 Řešení úlohy č. 1 a = 2 dm b = 3 dm c = 6 dm S = 2 . (a . b + a . c + b . c) S = 2 . (2 . 3 + 2 . 6 + 3 . 6) S = 2 . 36 =72 dm2 a = 2,5 cm S = 6 . a . a S = 6 . 2,5 . 2,5 S = 37,5 cm2

12. v a b Řešení úlohy č. 3 Sp = Sp = Sp = 30cm2 Spl = a . v + b . v + c . v Spl = 5 . 30 + 12 . 30 + 13 . 30 Spl = 150 + 360 + 390 Spl = 900 cm2 S = 2 . Sp + Spl =2 . 30 + 900 S = 930 cm2

13. Kvádr: a = 6 m; b = 8 m; c = 5 m S1 = a . b + 2 . a . c + 2 . b . c S1 = 6 . 8 + 2 . 6 . 5 + 2 . 8 . 5 S1 = 48 + 60 + 80 S1 = 188 m2 2 trojúhelníky: S2 = a . va S2 = 6 . 4 S2 = 24 m2 2 obdélníky: S3= 2 . 8 . 5 S3 = 80 m2 Celkem: S = S1 + S2 + S3 S = 188 + 24 + 80 S = 292 m2 5 4 5 8 6 Řešení úlohy č. 4

14. Sp Sp Objem hranolu = obsah podstavy . výška hranolu V = Sp . v

15. Tak se vyzkoušejte… • Vypočítejte objem čtyřbokého hranolu, jehož podstavou je kosočtverec s délkami úhlopříček 8 cm a 5,2 cm. Výška hranolu je 7 cm. • Podstavou trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají délky 6 dm a 0,8 m. Výška hranolu je 200 cm. Vypočítejte objem hranolu. • Kolmý řez trámu je lichoběžník, jehož základny mají délky 16 cm a 20 cm a výška má délku 1,5 dm. Vypočítejte objem trámu, je-li dlouhý 10 m.

16. 5,2 cm 8 cm Řešení úlohy č. 1 Podstava – kosočtverec: u1 = 8 cm ; u2 = 5,2 cm Sp = Sp = Sp = 20,8 cm2 V = Sp . v V = 20,8 . 7 V = 145,6 cm3 Objem daného hranolu je 145,6 cm3.

17. 6 dm 8 dm Řešení úlohy č. 2 Podstava – pravoúhlý trojúhelník: a = 6 dm; b = 8 dm Sp = Sp = Sp = 24 dm2 V = Sp . v V = 24 . 20 V = 480 dm3 Objem daného hranolu je 480 dm3.

18. 16 cm 15 cm 20 cm Řešení úlohy č. 3 Lichoběžník: a = 20 cm c = 16 cm v = 15 cm Sp = Sp = Sp = 270 cm2 V = Sp . v V = 270 . 1000 V = 270 000 cm3 V = 270 dm3 Objem trámu je 270 dm3.

19. Hmotnost tělesa - vypočítáme tak, že jeho objem vynásobíme hustotou látky, ze které je těleso zhotoveno m = V .  m … hmotnost tělesa V … objem tělesa  - hustota látky

20. Opět malá rozcvička… • Hala má rozměry 50 m, 12 m a 6,4 m. Jaká je hmotnost vzduchu v hale, jestliže hmotnost 1 m3 vzduchu je 1,293 kg? • Vypočítej hmotnost dřevěného kvádru s rozměry 4,5 dm, 35 cm a 0,2 m, je-li hustota dřeva 700 kg/m3. • Vypočítej hmotnost skleněného trojbokého hranolu, jehož podstavu tvoří rovnoramenný trojúhelník o délce základny 5,6 cm a k ní příslušné výšce 6,5 cm, jestliže výška hranolu je 8,9 cm. Hustota skla je 2,2 g/cm3. • Vypočítej hmotnost čtyř betonových kvádrů, na kterých je postaven můstek. Rozměry kvádrů jsou 0,8 m, 1,1 m a 2,5 m. Hustota betonu je 2 000 kg/m3.

21. Řešení úlohy č. 1  = 1,293 kg/m3 m = V .  m = 3 840 . 1,293 m = 4 965,12 kg Kvádr: a = 50 m b = 12 m c = 6,4 m V = a . b . c V = 50 . 12 . 6,4 V = 3 840 m3 Hmotnost vzduchu v hale je přibližně 5 tun.

22. Řešení úlohy č. 2 Kvádr: a = 0,45 m b = 0,35 m c = 0,2 m V = a . b . c V = 0,45 . 0,35 . 0,2 V = 0,0315 m3  = 700 kg/m3 m = V .  m = 0,0315 . 700 m = 22,05 kg Hmotnost dřevěného kvádru je 22,05 kg.

23. Řešení úlohy č. 3 Podstava: a = 5,6 cm va = 6,5 cm Sp = Sp = Sp = 18,2 cm2 v = 8,9 cm V = Sp . v V = 18,2 . 8,9 V = 161,98 cm3 m = V .  m = 161,98 . 2,2 m = 356,356 g Hmotnost skleněného kvádru je 356,356 gramů.

24. Řešení úlohy č. 3 Kvádr: a = 0,8 m b = 1,1 m c = 2,5 m V = a . b . c V = 0,8 . 1,1 . 2,5 V = 2,2 m3 1 kvádr:  = 2 000 kg/m3 m = V .  m = 2,2 . 2 000 m = 4 400 kg 4 kvádry: 4 . 4 400 = 17 600 kg Hmotnost betonových kvádrů je 17 600 kg.

25. Na shledanou!