Calcul et métaphysique dans la geometria sublimior de la première moitié du 18 e siècle

1. Calcul et métaphysique dans la geometria sublimiorde la première moitié du 18e siècle Jeanne Peiffer (CNRS) Luminy, le 17 avril 2007

2. Introduction • Contribution modeste au débat de cette rencontre : qu’est-ce que la géométrie dans la première moitié du 18e siècle ? • Présentation de quelques documents programmatiques, peu voire pas connus pour certains, de Johann Bernoulli à Jean le Rond d’Alembert • Histoire de la géométrie par quelques protagonistes

3. Jacob Hermann à l’Académie de Pétersbourg 1726 • Contexte : inauguration (plusieurs fois reportée) de l’Académie, le 12 août 1726 • En présence de Catherine II, de représentants de la famille impériale, du Sénat, du Saint Synode, de la Cour et des ambassadeurs des puissances étrangères • Adresse en latin sur l’origine et le progrès de la géométrie, publiée dans Sermones in secundo solenni Academiae Scientiarum Imperialis …, éd. Pierre Louis Le Roy, s.d. [1735]

4. Progrès de la géométrie de l’Antiquité au 18e siècle • Pourquoi la géométrie ? Est de toutes les autres parties des mathématiques la plus fondamentale • Récit historique entendu comme une contribution à la recherche : la connaissance de l’histoire permet de repérer des lacunes et de formuler de nouveaux programmes de recherche

5. Périodisation : 3 étapes • La géométrie des anciens de Thalès à Euclide, Archimède et Apollonius • Hiatus, où la géométrie a stagné • La géométrie d’âge moyen, dominée par Descartes • La geometria sublimior préparée par les travaux de Fermat, Wallis et Barrow et inaugurée par la Nova methodus de Leibniz.

6. La maturité de la géométrie : la geometria sublimior • Inventions de Leibniz et Newton • Hommage rendu aux Principia, mais Hermann rappelle qu’on n’y trouve guère de calcul des fluxions rendu public en 1704 seulement • Leibniz a le mérite, en publiant son calcul, d’avoir rendu possible le développement de ses méthodes • Résultats des frères Bernoulli détaillés • L’Analyse des infiniment petits de l’Hôpital qualifiée d’élégant • Querelle de priorité minimisée

7. La méthode de la Phoronomia • Application de la géométrie à la mécanique • Qualifie la méthode qu’il a utilisée d’analyse géométrique : “… Geometricam Analysin sine calculo ex sola figurarum contemplatione assecutus sim” • Rejette l’idée que toute méthode qui n’utilise pas le calcul soit dite synthétique. • On peut recourir à la méthode analytique en utilisant, ou non, un calcul • De même on peut recourir à la synthèse tout en utilisant un calcul.

8. Hermann 1726 (1735), p.90: • “Si quaestionem aliquam ut iam factam consideremus, et deinceps per consequentias usque ad prima principia descendamus, tunc sane methodo Analytica utimur, sive calculus interveniat, sive minus ; sin vero a primis principiis, aliisque certo notis fundamentis pergamus ad conclusiones magis compositas, methodo Synthetica utimur tunc etiam, cum Algebraicum Calculum in auxilium vocamus”.

9. Perception d’Euler, Mechanica, 1736,de la méthode de Hermann • Rédigé à Pétersbourg, alors que Hermann était déjà retourné à Bâle • Décrit, dans la Préface, la genèse de cet ouvrage. • Critique de la Phoronomia et des Principia de Newton qu’il a eu du mal à comprendre à cause de la méthode synthétique qu’ils mettent en œuvre. • Parlant de Hermann : “omnia more veterum synthetice geometricis demonstrationibus est persecutus, atque analysin, qua ad completam harum rerum cognitione pervenitur, celavit”.

10. Genèse de la Mechanica • Euler a traduit analytiquement leurs propositions et sa compréhension s’en est trouvé améliorée : • “Illo igitur tam tempore, quantum potui, conatus sum analysin ex synthetica illa methodo elicere, easdemque propositiones ad meam utilitatem analytice pertractare, quo negotio insigne cognitionis meae augmentum percepi” (Préface). • Y a ajouté nombre de méthodes particulières qui ont beaucoup étendu la mécanique et même l’analyse

11. Analyse hermanienne versus analyse eulérienne • Analyse, en tant que méthode géométrique, s’oppose à synthèse chez Hermann • Ce que Hermann appelle geometria sublimior n’est pour Euler rien d’autre que l’analyse, c’est-à-dire le calcul différentiel et intégral, dans sa version leibnizienne • Pour Euler, l’analyse se détache de la géométrie et commence à désigner une discipline mathématique nouvelle dont il va écrire en 1748 l’Introductio in Analysin infinitorum.

12. Eloge de Jean Bernoulli par D’Alembert 1748 • Comment d’Alembert rend-il compte des travaux effectués dans la première moitié du 18e siècle ? Et notamment de ceux qui prolongent et développent les méthodes leibniziennes ? • Dans son éloge historique de Jean Bernoulli, paru dans le Mercure de France 1748, il n’est question que de géométrie, de “géométrie des infiniment petits” et de “géométrie sublime”. • La géométrie des infiniment petits semble désigner le calcul différentiel leibnizien qui est par ailleurs qualifié de “nouvelle analyse”. • Dans une version ultérieure, de 1753, géométrie remplacé par mathématique

13. Calcul et métaphysique • Dans cet éloge, large place accordée au problème de la brachystochrone que d’Alembert analyse en termes de calcul et de métaphysique • Deux points étant donnés, lesquels soient dans un plan vertical, & ne soient cependant ni dans la même ligne horisontale, ni dans la même ligne verticale, trouver une courbe qui passe par ces deux points, & dont la propriété soit telle qu’un corps pesant descendant le long de sa concavité, mettroit moins de tems à la parcourir qu’il n’en mettroit à parcourir toute autre ligne droite ou courbe, passant par les mêmes points

14. Métaphysique versus calcul • La courbe cherchée n’est pas la droite. D’Alembert entreprend, alors qu’il s’en défend, d’en donner “la raison métaphysique”. • Ce n’est qu’à l’aide d’un calcul très subtil qu’on peut démontrer cette vérité. Tout ce qui est susceptible d’idées précises, n’en souffre point d’autres; présenter des notions vagues pour des démonstrations exactes, c’est substituer de fausses lueurs à la lumière, c’est retarder les progrès de l’esprit en voulant l’éclairer…

15. Calcul comme guide • … mais ce n’est pas assés d’entrevoir une vérité géométrique dans l’éloignement, il faut pour ainsi dire,nous assurer d’elle en la reconnaissant de plus près, & franchir l’intervalle qui nous en sépare ; or le calcul est le seul guide qui puisse conduire dans cette route, faire éviter les obstacles qui s’y rencontrent, ou avertir qu’ils sont insurmontables” • Comparer les deux temps de chute le long de la droite et de la courbe • Cadre de la géométrie appliquée à la physique.

16. Article “géométrie” dans l’Encyclopédie • Histoire abrégée de la géométrie • Objet de la géométrie (corps géométrique portion d’étendue terminée en tout sens) • Division de la géométrie

17. Histoire abrégée de la Géométrie • Fait remonter sa naissance en Égypte. • De là elle passe en Grèce • Rome ignorante des mathématiques • Siècles d’ignorance chez les Chrétiens • Siècles de lumière & de savoir chez les Arabes à qui on doit l’Algèbre • La Géométrie de Descartes • L’application de l’algèbre à la géométrie = le plus grand pas que la géométrie eût fait depuis Archimède • Application de la géométrie à la physique

18. Histoire abrégée de la géométrie • Préparation de la Géométrie de l’infini, qui à l’aide de l’Analyse, devoit faire dans la suite de si grands progrès : Cavalieri, Grégoire de Saint-Vincent, Pascal, Fermat, Barrow • Arithmétique des infinis • Wallis, Mercator, Gregory, Huygens • Invention du calcul différentiel : Leibniz, Newton • Calcul intégral • Application de la Géométrie à la physique : Newton

19. Divisions de la géométrie • En élémentaire & en transcendante • La Géométrie élémentaire considère les propriétés des droites, des cercles, des solides les plus simples • La Géométrie transcendante a pour objet toutes les courbes différentes du cercle • La partie de la Géométrie transcendante qui applique le calcul différentiel & intégral à la recherche des propriétés des courbes … pourroit s’appeler Géométrie sublime

20. Géométrie ancienne et moderne • Géométrie ancienne, celle qui n’emploie point le calcul analytique, ou celle qui emploie le calcul analytique ordinaire, sans se servir des calculs différentiel & intégral • Géométrie moderne, celle qui emploie l’analyse de Descartes dans la recherche des propriétés des courbes, ou celle qui se sert des nouveaux calculs

21. Article analyse • Très bref • La méthode de résoudre les problèmes mathématiques, en les réduisant à des équations • Le grand avantage des Mathématiciens modernes sur les anciens, vient principalement de l’usage qu’ils font de l’Analyse.

22. Pour conclure • Que conclure de ce farrago de textes que je verse au dossier de la question : Qu’est-ce que la géométrie ? • Géométrie semble encore se confondre avec mathématiques • Le champ de la géométrie sublime (ou transcendante), celle qui utilise le calcul différentiel et intégral, ne semble pas se distinguer de celui de l’analyse elle-même instituée par Euler