7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Parte 2

1. 7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICAParte 2 7.1 Métodos de Newton-Cotes (Rugiero) 7.2 Método de Romberg (Burden-Faires) 7.2.1 Extrapolação de Richardson 7.2.2 Fórmula de Romberg 7.3 Quadratura Gaussiana (Burden-Faires) 7.4 Integração Dupla (Burden-Faires) 7.5 Método de Monte Carlo (Burian) hoje

2. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes • Na primeira aula de integração vimos as fórmulas de Newton-Cotes, ou seja, método do trapézio, método de Simpson.... • Thomas Simpson (1710-1761) • Note que ele é contemporâneo de Euler e Daniel Bernoulli. • Ele viveu no período do auge do desenvolvimento de métodos para resolução de EDO’s. • Seu principal interesse era a Teoria das Probabilidades.

3. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes • As fórmulas de Newton Côtes não são adequadas para intervalos regulares de integração e polinômios de alto grau. • Quanto o polinômio for de alto grau, em subintervalos onde f(x) é quase-constante, ocorre o fenômeno de Runge • Quando a função varia muito num subinter-valo, o ajuste é ruim devido ao fato da partição ser regular. Assim, dada uma partição teremos fenômeno de Runge ou ajuste ruim, dado o polinômio interpo- lador!!!!

4. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA7.1 - Métodos de Newton-Cotes Repetidos • O Método de Newton-Cotes Repetido ou Generalizado ou Composto consiste em resolver uma dada integral, por partes, através de subintervalos. • A aproximação por partes de uma integral é freqüentemente efetiva.

5. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.1 - Métodos de Newton-Cotes • As fórmulas de Newton-Cotes são expressões para integrais, onde são consideradas várias subdivisões do intervalo de integração, que variam conforme o grau do polinômio ajusta-do nos subintervalos. • Polinômio de grau 1 Regra do Trapézio • Polinômio de grau 2 Regra Simpson 1/3 • Polinômio de grau 3 Regra Simpson 3/8 • Polinômio de grau 4 (Livro Burden-Faires)....

6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2 - Método de Romberg O Método de Romberg utiliza a Regra do Trapézio repetida para obter aproxima-ções preliminares e em seguida aplica um processo de extrapolação de Richardson para melhor a aproxima-ção. Regra Romberg || Trapézio Repetida+Extrapolação Richardson

7. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson A extrapolação de Richardson sempre é utilizada para gerar resultados de alta precisão, quando se usam fórmulas de Newton-Cotes de baixo grau. L.F. Richardson e J.A. Gaunt, The deferred approach to the limit. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, v.226A, p.299-361, 1927.

8. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson Esta técnica pode ser aplicada quando a aproximação inicial tem um erro previsí-vel dependente de um parâmetro, normalmente o tamanho do passo . Suponha que a cada passo, a integral aproxime-se de um valor desconhecido , e que o erro de truncamento tenha a forma: Hipótese: o erro do procedimento é h-dependente

9. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson Definição:”Diz-se que as aproximações de , dependentes de um passo , são de ordem em se , onde é uma constante -independente“ • Método do Trapézio fornece aproximações de ordem 2 • Métodos de Simpson fornecem aproximações de ordem 4

10. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson • Método do Trapézio fornece aproximações de ordem 2 • Métodos de Simpson fornecem aproximações de ordem 4

11. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson • Demonstra-se que o erro da regra do trapézio é uma série infinita de potências de , gerados pela série Taylor da dife-rença entre a função e a reta da interpolação. Assim, fica claro que o erro de truncamento de uma aproximação tem a forma

12. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson Para determinar , como pode ser qualquer, consideremos na expres- são (1), ou seja, Multiplicando (2) por 2 e subtraindo de (1) Observe que substituído por seu valor. Continuando o procedimento obtemos

13. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson Fazendo definimos Segue que a fórmula de aproximação de ordem para M, Substituindo na expressão acima, obtemos a aproximação na ordem seguinte.

14. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.1 – Extrapolação de Richardson A fórmula de aproximação de ordem para M é dada por e assim por diante.

15. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg O primeiro passo do procedimento de Romberg obtém as aproximações repetidas pela Regra do trapézio para RECORDAÇÃO DA REGRA DO TRAPÉZIO REPETIDA

16. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg A Regra do Trapézio Repetida com a notação Nesta notação, a Regra do Trapézio Repetida escreve-se como Note que para k=1 não há termo a ser somado

17. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Introduzindo a notação

18. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Temos a aproximação da Regra do Trapézio em ordem genérica para a integral a ser calculada, ou seja, Comentário: Ainda estamos no passo 1 do Método de Romberg calculando aproximações preliminares via Regra do trapézio.

19. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Exercício: Utilize a Regra do Trapézio Repeti- da para realizar o primeiro passo do esque- ma da integração de Romberg para obter uma aproximação da integral para . Calculando os obtemos:

20. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Calculando

21. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Como o resultado exato da integral é a convergência é bastante lenta! Utilizaremos a extrapolação de Richardson para acelerar a convergência.

22. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Do Método da extrapolação de Richardson, escrevemos a Regra do Trapézio Repetida Como (1) Fazendo na equação acima e multiplicando por 4, obtemos: (2)

23. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Fazendo (2)-(1), eliminamos o termo A extrapolação de Richardson pode ser apli- cada fornecendo resultado para a integral da ordem . Obtemos:

24. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Continuando o procedimento, uma fórmula para a integral a ser calculada, com ordem de aproximação , é dada por A partir de (3) geramos a tabela de Romberg

25. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Tabela de Romberg:

26. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Aplicando no exemplo

27. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Comentários: 1- Somente a primeira coluna exige cálculo de função devido a Regra do Trapézio. O cálculo de função (por exemplo, a partir de uma tabela de dados experimentais) pode ser realizado por interpolaçaõ ou extrapolação spline. A primeira coluna tem alto custo computacional. As demais colunas não envolvem cálculos de função e aceleram a convergência do processo. Esta é a vantagem do método de Romberg.

28. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Comentários: 2- Devemos definir o inteiro n predefinindo o tamanho da tabela de Romberg. Esta abordagem não é ótima, pois podemos já ter atingido a convergência desejada e ainda estarmos preenchendo a tabela de Romberg, como no exemplo dado. 3- Também temos que definir uma tolerância de erro para parar o cálculo. Podemos utilizar este erro como critério de parada. Quando a diferença entre próximos vizinhos for menor que o erro dado, paramos o procedimento numérico.

29. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 7.2.2 – Método de Romberg Exercícios Rugiero capítulo 7: 2, 4, 13. Faça o exercício 13, também, por Romberg. Exercício facultativo: 16