Dane Informacyjne :

2. Dane Informacyjne: • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH NR 1 „ELEKTRYK” W NOWEJ SOLI • ID grupy: • 97/56_MF_G1 • Kompetencja: • MATEMATYKA I FIZYKA • Temat projektowy: • LICZBY FIBONACCIEGO • Semestr/rok szkolny: III/2010/2011

3. Inspiracją do stworzenia tej prezentacji był wykład przeprowadzony przez Pana dr Tadeusza Ostrowskiego.

4. Menu • 1. Ciągi • 2. Leonardo Fibonacci • 3. Złota podział i złota liczba • 4. Człowiek • 5. Ciąg w przyrodzie • 6. Sztuka • 7. Ciąg w informatyce • 8. Ciąg w ekonomii • 9. Trójkąt Pascala • 10. Liczby Lucasa • 11. Bibliografia

5. Ciągi

6. Pojęcie Ciągu • Ciągiem nazywamy funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich. Przykład: W ciągu: 1, 4, 9, 25, … wyrazy są kwadratami kolejnych liczb naturalnych dodatnich. Na przykład wyraz a₉ = 9² = 81, a10 = 102 = 100. Ogólnie , n-ty wyraz ciągu ma postać= an = n2. Kiedy mówimy o ciągach, używamy zwykle innych oznaczeń niż do opisu funkcji. I tak ciąg a : N + - R oznaczamy (an). Kolejne wartości funkcji a, czyli wyrazy ciągu: a(1), a(2), a(3),…, oznaczamy odpowiednio: a1, a2, a3, …

7. LiczbyTrójkątne • Mówimy, że liczby trójkątne tworzą ciąg. Ciąg jest określany, jeśli kolejnym liczbom naturalnym dodatnim przyporządkowano wartości: a1, a2, a3,…, które nazywamy wyrazami ciągu. a1 = 1 a2 = 3 a3 = 6 a4 = 10 a5 = 15

8. CiągiMonotoniczne (1) Ciąg rosnący Kolejne wyrazy ciągu o wzorze ogólnym an = n/3 (wykres obok) to: 1/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, 6/3, 7/3, … Każdy wyraz tego ciągu (oprócz pierwszego) jest większy od wyrazu poprzedniego, zatem ciąg (an) jest rosnący. Ciąg (an) nazywamy ciągiem rosnącym, jeżeli dla każdej liczby n € N+ spełniona jest nierówność an + 1 < an (czyli an+1 – an <0).

9. CiągiMonotoniczne (2) Ciąg malejący Kolejne wyrazy ciągu o wzorze ogólnym an = 3/n (wykres obok) to: 3/1, 3/2, 3/3, 3/4, 3/5, 3/6, 3/7,… Każdy wyraz tego ciągu (oprócz pierwszego) jest mniejszy od wyrazu poprzedniego, zatem ciąg (an) jest malejący. Ciąg (an) nazywamy ciągiem malejącym, jeżeli dla każdej liczby n € N+ spełniona jest nierówność an+1 < an (czyli an+1 – an <0).

10. CiągGeometryczny Pole koła K1 jest równe ∏/16 cm2. Pole każdego kolejnego koła jest czterokrotnie większe od pola poprzedniego. Ciąg liczbowy (an) nazywamy ciągiem geometrycznym, jeżeli istnieje taka liczba q, że każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez tę liczbę: an+1 = an x q (dla każdego n € N+ liczbę q nazywamy ilorazem ciągu.

11. Ciąg Arytmetyczny Pani Jola postanowiła kupić sprzęt narciarski za 1500zł. W tym celu w pierwszym miesiącu odłożyła 100zł, a w każdym następnym odkładała po 200zł. W tabelce podano stan oszczędności pani Joli w kolejnych miesiącach. Ciąg liczbowy (an) nazywamy ciągiem arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba r, że każdy wyraz ciągu, oprócz pierwszego, powstaje przez dodanie tej liczby do wyrazu poprzedniego: an+1 = an + r (dla każdego n€ N+ liczbę r nazywamy różnicą ciągu.

12. CiągFibonacciego Ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący. Pierwszy wyraz jest równy 0, drugi jest równy 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten zaczyna się od dwóch jedynek, a każdy następny wyraz jest sumą dwóch poprzednich. Ciąg ten oznaczamy przez (Fn) = (1,1,2,3,5,8,13,21,34,…) Z definicji ciągu widzimy że zachodzi reakcja: MENU

13. Leonardo Fibonacci • Bez większej przesady można powiedzieć, że europejska matematyka po wielu wiekach uśpienia zaczęła się odradzać na przełomie XII i XIII wieku i to za sprawą tego jednego człowieka. Jego ojciec, Guilielmo z rodziny Bonacci, zajmował stanowisko dyplomatyczne w Afryce północnej i Fibonacci tam właśnie się kształcił. Pierwsze lekcje matematyki pobierał u arabskiego nauczyciela w mieście Boużia (dziś algierska Beżaja). W poszukiwaniu wiedzy odwiedził m.in. takie miejsca jak Egipt, Syria, Prowansja, Grecja i Sycylia. Był wówczas ledwie 12- letnim młodzianem. Po powrocie do kraju opublikował w 1202 r. „Liber Abaci”, gdzie opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki. Fibonacci zamieścił tam również np. tablicę, w której pewne liczby zapisane były rzymskimi i jednocześnie indyjskimi cyframi. W 1220 r. wydał „Practica geometriae”, będące połączeniem algebry i geometrii.

14. Prace Fibonacciego • Warto wspomnieć, że Fibonacci zajmował się zadaniami na mieszaninę, których rozwiązanie podane było w formie recept. Celem jednej z grup zadań było np. wyznaczenie próby stopu, złożonego ze znanych ilości danych stopów, tworzących razem stop określonej próby. • Prace Fibonacciego zawierają szereg matematycznych problemów. • Na kolejnym slajdzie znajdują się ich dwa przykłady. Spróbuj je rozwiązać, sprawdź się! Zobacz czy Twoja wiedza dorównuje tej z przed paru wieków!

15. Zadania Fibonacciego Kupiec podczas swojej podróży handlowej do Wenecji podwoił tam swój początkowy kapitał, a następnie wydał 12 denarów. Potem udał się do Florencji gdzie znowu podwoił liczbę posiadanych denarów i wydał 12. Po powrocie do Pizy po raz kolejny podwoił swój majątek, wydał dwanaście denarów i ... został bez grosza. Ile denarów miał na początku? Trzech mężczyzn znalazło sakiewkę zawierającą 23 denary. Pierwszy powiedział do drugiego: ,,Jeżeli dodam te pieniądze do swoich to będę miał dwa razy więcej od ciebie. Drugi podobnie zwrócił się do trzeciego: ,,Ja zaś, jeżeli wezmę te pieniądze będę miał trzy razy więcej od ciebie. W końcu trzeci powiedział do pierwszego: ,,Ja dodając te pieniądze do swoich będę miał cztery razy więcej niż ty. Ile denarów miał każdy z nich? Jeśli masz problem z zadaniem, kliknij na gwiazdkę obok, aby sprawdzić rozwiązanie MENU

16. Liczba φ wyraża stosunek Złoty Podział - (Łac. SectioAurea) dwóch części odcinka podzielonego podziałem złotym. Więc ile wynosi liczba φ? Inne nazwy: podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja

17. Jest to podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. "fi"). φ = (a+b) : a = a : b

18. Złoty podział odcinka a

19. Zastosowanie złotego podziału Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

20. Złota liczba Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów, niezwykle interesującymi własnościami. Wzory: Jest dodatnim rozwiązaniem równania: Jej dokładna wartość: Przybliżenie dziesiętne:

21. Własności złotej liczby Aby podnieść złotą liczbę do kwadratu, wystarczy dodać do niej 1, Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej 1. Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625 89:55=1,61818… 144:89=1,61797 MENU

22. Twarz ludzka jest w całości oparta na złotej liczbie Ludzkie oblicze obfituje w przykłady występowania złotej liczby lub złotej proporcji. Głowa tworzy złoty prostokąt z oczami w jej połowie. Usta, nos i odległości między oczami oraz ustami, a podbródkiem są ustalone wg złotej liczby. Piękno skłania, aby szukać dalej.

23. Piękno człowieka opiera się na złotej proporcji Niebieska linia określa kwadratem źrenice i kąciki ust. Złoty podział z tych czterech niebieskich linii określa nos, czubek nosa, wnętrze nozdrzy, dwie podwyżki górnej wargi i wewnętrzne punkty ucha. Niebieska linia określa również odległość od górnej wargi do dołu podbródka. Żółta linia określa szerokość nosa, odległość między oczami i brwiami oraz odległość od źrenic do czubka nosa. Zielona linia, złoty podział żółtej linii określa szerokość oka, odległość w źrenicy oka od rzęs do brwi i odległość między nozdrzami. Różowa linia, złota część zielonej linii, określa odległość od górnej wargi do nasady nosa i kilka wymiarów oka.

24. Złota liczba określa wymiary profilu ludzkiej twarzy • Nawet patrząc z profilu, człowieka ilustruje złota proporcja. Pierwszy złoty punkt (niebieski) z przodu głowy określa położenie otworu usznego. Wymiary twarzy od góry do dołu także wykazują złotą część, w pozycji brwi (niebieski), nosa (żółty) i ust (zielony i czerwony). Ucho ludzkie odzwierciedla kształt spirali Fibonacciego.

25. Wymiary naszych zębów są także oparte na złotej liczbie Z przodu dwa siekacze w postaci złotego prostokąta, stosunek wysokości do szerokości równy jest złotej liczbie. Stosunek szerokości pierwszego zęba do szerokości drugiego zęba od środka jest równy złotej liczbie phi. Stosunek połowy szerokości uśmiechu do szerokości trzech zębów od środka jest równy phi.

27. Złote proporcje w ludzkim ciele: Biała linia to wzrost. Linia niebieska, złota część białej linii, określa odległość od głowy do palców u rąk. Żółta linia, złoty podział niebieskiej linii, określa odległość od głowy do pępka i łokci. Zielona linia, złota część żółtej linii, określa odległości od głowy do klatki piersiowej (połowa odcinka), szerokość ramion i długość przedramienia. Różowa linia, złota część zielonej linii, określa długość głowy i szerokości brzucha w linii pępka. Druga część różowej linii określa położenie nosa i linii włosów.

28. Powiązanie liczb: 5 i Phi Inną ciekawą relacją złotej sekcji do projektowania części ciała ludzkiego jest to, że znajduje się: - 5 dodatków do tułowia: ręce, nogi i głowa. - 5 wyrostków na każdej z nich, w palcach rąk i nóg oraz 5 otworów na twarzy. - 5 zmysłów: wzroku, słuchu, dotyku, smaku i zapachu. Złoty podział odcinka z kolei opiera się również na liczbie 5. Liczba phi, czyli 1,6180339 ... jest obliczana za pomocą 5, w następujący sposób: 1/2 5 * ½ + ½

29. Twoja ręka to odwzorowanie liczby Phi i serii Fibonacciego Weź rękę od klawiatury lub myszy i spójrz na proporcje palca wskazującego. Stosunek każdej następnej części palca wskazującego do poprzedniej (od czubka do nasady) jest równy liczbie phi, a długości kolejnych części palca to liczby Fibonacciego: 2, 3, 5 i 8. W tej skali, paznokieć to jednostka długości. Co ciekawe, masz 2 ręce, każda to 5 palców, a 8 palców składa się z 3 części. Wszystkie te liczby to liczby Fibonacciego!

30. Liczba phi w rękach i stopach • Twoja ręka tworzy złoty punkt w ręce, jako stosunek przedramienia do dłoni, który jest równy 1.618, czyli zachodzi Złota Proporcja. • Stopa ma kilka proporcji opartych na Phi, w tym: • Środek łuku stopy • Najszersza część stopy • Podstawa linii palców i dużego palca • Górna linia palców i podstawa palca wskazującego. Pamiętaj, że nie każdy ma rozmiary ciała dokładnie w stosunku liczby phi, ale średnie w populacjach zmierzają do Złotej Proporcji i postrzegane są jako najbardziej naturalne i piękne.

31. Proporcje twarzy i zdrowie ludzkie • Doskonałe proporcje twarzy są uniwersalne bez względu na rasę, płeć i wiek. Są one oparte na liczbie Phi. Na przykład, jeżeli szerokość twarzy, policzek przy policzku wynosi 10 cali, to długość twarzy od czubka głowy do dolnej części brody powinna liczyć 16,18 cm. Można wtedy mówić o idealnych proporcjach. Odchylenia od tego ideału mogą spowodować problemy zdrowotne. Procedury naprawcze, które przywracają twarz do tego ideału, mogą poprawić zdrowie. • Badania wykazują, że ludzie z długą twarzą mają zazwyczaj problemy z oddychaniem przez nos. Ich jamy zatok są zazwyczaj wąskie, hamując przepływ powietrza. W konsekwencji, ci ludzie mają tendencję do oddychania przez usta. Czynnikiem może być też chrapanie lub bezdech senny.   • Osoby oddychające ustami często również mają wąskie usta i krzywe zęby. Za pomocą aparatów ortodontycznych można rozszerzyć twarz i usta, co z kolei rozszerza jamy zatok, ułatwiając oddychanie przez nos. • Osoby z krótszą twarzą mają tendencję do nieprawidłowego rozwoju szczęki, co powoduje nadmierny nacisk na wspólne szczęki. Ludzie z krótką twarzą miewają bóle głowy, ponieważ ich szczęki są usytuowane w sposób, który może ograniczyć przepływ krwi do mózgu. Stres może dodatkowo pogorszyć problem, ponieważ ludzie podświadomie zaciskają zęby. Aparat ortodontyczny może wydłużyć twarz, co pomaga zmniejszyć nacisk na stawy szczęki.

32. Spokojne bicie serca to innymi słowy bicie w rytm liczby Phi • Rzucające się w oczy części elektrokardiogramu (EKG) są na fali P, odkształcenia spowodowane przez obecny pochodzący z atrium zespół QRS, pokazują fragment aktywności elektrycznej w komorach, a załamka T, zamykanie się komór. EKG bicia serca człowieka różnią się znacząco od siebie w zależności od wielu czynników. • Studium Bicie serca 2000 zajmowało się badaniem relacji między aspektami fizycznego serca i serca duchowego, czyli duszy człowieka. Poglądy nie sugerują, że bicie serca, które daje relacja Phi w punkcie T w EKG reprezentuje stan bycia, który jest jedynym zdrowym, spokojnym i harmonijnym. Chociaż jest to obszar, który wymaga jeszcze badań i naukowego potwierdzenia, jest to ciekawe spojrzenie na inny potencjalny wygląd liczby Phi w naszym życiu. MENU

33. Ciąg Fibonacciegow populacjach zwierząt W najprostszym przypadku w populacji wyodrębniamy dwie grupy wiekowe: osobników niedojrzałych (w wieku przed reprodukcyjnym); osobników dojrzałych (w wieku reprodukcyjnym). Co ciekawe, model opisujący taką sytuację jest najstarszym znanym modelem populacyjnym i znamy go pod nazwą ciągu Fibonacciego. W I połowie XIII wieku Leonardo z Pizy (Fibonacci, czyli ,,filusBonacci” - syn Bonacciego) zastosował ten ciąg do opisu następującego zagadnienia populacyjnego: ,,Pewien człowiek wziął parę królików i umieścił je w miejscu otoczonym ze wszystkich stron murem. Ile par królików urodzi się z tej pary w ciągu roku, jeśli założymy, że z każdej pary po miesiącu rodzi się nowa para, która staje się płodna po upływie kolejnego miesiąca?”

34. Rozwiązniem tego zadania jest zastosowanie ciągu Fibonacciego Kliknij na zdjęcie, aby powiększyć Ciąg Fibonaciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w  przyrodzie. Można go odnaleźć w wielu jej aspektach, zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych. Zmiany dynamiczne pod tym względem najlepiej charakteryzuje rozmnażanie się królików. Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę - samca i samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla naszego ciągu. Spójrzmy na tabelkę:

35. Okazuje się, że ta błaha z pozoru zależność często odzwierciedlana jest w przyrodzie. Przyjrzyjmy się trutniom. Samiec pszczoły w przeciwieństwie do samicy (królowej, która ma zarówno ojca, jak i matkę - inną królową) powstaje wyłącznie dzięki matce. Jak więc wygląda jego drzewo genealogiczne? Kliknij na zdjęcie, aby powiększyć Jak widać, przodkowie trutnia - jego matka, jej rodzice i dalej, aż po pradziadków, narastajązgodnie z zasadą ciągu Fibonacciego – kolejne pokolenia to suma dwóch poprzednich.

36. Fibonacci a rośliny • Królestwo roślin i świat matematyki są zazwyczaj postrzegane jako nie mające ze sobą nic wspólnego dziedziny. • Doskonałość rozwoju roślin, ich wielorakośćformi różnorodność wzorów niewydają się poddawać matematycznym wzorom. • A jednak…

37. Pierwszymprzykładem obecnościciągu Fibonacciego wprzyrodzie są łuski ananasa,szyszek sosny, kwiaty kalafiora oraz pestki w słonecznikach, w którychtworzą się dwa układy linii spiralnych prawoskrętnychoraz lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejneliczby Fibonacciego.

38. Drugim przykładem są niektóre drzewa oraz rośliny, które rozrastają się według modelu Fibonacciego: Każda gałąź/pęd przez pierwszy rok/miesiąc jedynie wzrasta, zaś w każdym następnym roku/miesiącu wypuszcza jedną młodą gałąź/pęd. Przykładem jest krwawnik,którego pędy rozwijają się zgodnie z ciągiem. W ten sam sposób rozrastają się także gałęzie dębu czy innych drzew.

39. Również kwiaty niektórych roślin są podporządkowane liczbom Fibonacciego. Niektóre gatunki kwiatów posiadają liczbę płatków, odpowiadającą liczbomciągu Fibonacciego.

40. Niezapominajka - 5 płatków

41. Sangwinaria - 8 płatków

42. Starzec jakubek - 13 płatków

43. Astry - 21 płatków

44. Stokrotka - 34 lub 55 lub 89 płatków MENU

45. Sztuka • Muzyka • Malarstwo • Fotografia • Architektura • Poezja MENU

46. Muzyka • Niektórzy muzykolodzy dopatrują się istnienia ciągu Fibonacciego w utworach muzycznych oraz w budowie instrumentów. • Ciąg Fibonacciego przypisuje się proporcjom części w skrzypcach zbudowanych przez Antonio Stradivariego. Przede wszystkim jednak zależności takie występują w utworach muzycznych - najczęściej w proporcjach rytmicznych. Węgierski muzykolog Erno Lendvai wykrył wiele takich zależności w muzyce Beli Bartóka, a przede wszystkim w „Muzyce na instrumenty strunowe, perkusję i czelestę”.

47. W drugiej połowie XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Szczególnie często sięgali do niego kompozytorzy stosujący technikę serialną, np.: Karlheinz Stockhausen „Klavierstück” IX, Luigi Nono „Il canto sospeso” i Christobal Halffter „Fibonacciana”. • Na ciągu Fibonacciego stosowanym równocześnie w przód i wstecz zbudowane jest „Trio klarnetowe” Krzysztofa Meyera. Jednostką miary jest w tym utworze ćwierćnuta, a kolejne odcinki różnią się obsadą. I tak np.: • kolejne odcinki grane przez fortepian mają długość: 89, 55, 34, 21, 13 ćwierćnut • wszystkie instrumenty razem grają: 21, 34, 55, 89, 144 ćwierćnut

48. Phi zapewnia doskonałą wydajność i akustykę w projektowaniu instrumentów muzycznych. Uważa się, że Grecy używali złotego podziału, aby osiągnąć wspaniały dźwięk i doskonałą akustykę. Wiele katedr także korzysta ze złotej sekcji, z tego samego powodu. Katedra Białostocka

49. Stradivarius używał złotego punktu w projektowaniu jego arcydzieła - skrzypiec, których wspaniałe właściwości tonalne są poszukiwane od setek lat. Ciąg Fibonacciego jest bezpośrednio związany z zachodnią skalą muzyki. • Phi daje również doskonałą akustykę w projektowaniu przewodów głośnikowych. SZTUKA

50. Malarstwo • Złoty podział odnajdujemy tutaj w projektowaniu piękna przyrody, może być on również wykorzystywany do osiągnięcia piękna i równowagi w projekcie malarskim. To jest tylko narzędzie i jego stosowanie nie jest regułą. • Francuski malarz impresjonista Georges Seurat Pierre powiedział, że "zaznaczał na płótnie złote punkty"; jak pokazano poniżej.