Medición y Transferencia de Riesgos Catastróficos Naturales

1. Medición y Transferencia de Riesgos Catastróficos Naturales Enrique de Alba Universidad de Waterloo, Canadá Jesús Zúñiga San Martín GNP

3. Se necesita un modelo que considere todos los aspectos del proceso Intensidad (frecuencia) Severidad (magnitud, daños) • ERN ha desarrollado uno para México • RS-Mex 2.1

4. * Provided by “ERN, Ingenieros Consultores”

10. i(M)es el número de terremotos con magnitud mayor a M en la fuente sísmica i. = número promedio de eventos, por unidad de tiempo, que producen pérdidas mayores que y en la fuente sísmica i. Tasa de excedencia total de la cartera

11. Distribución de probabilidad de la pérdida de la cartera. .

12. (1) Se demuestra que: Si Wn es el tiempo de espera al n-ésimo sismo, sigue la distribución Gamma (n,v): Además para los tiempos entre sismos P[Ti > t] = e- t o bien Una distribución exponencial con densidad (2)

13. SIMULACIÓN

15. Sismos en un año

16. 6000 5000 4000 a i c n e u 3000 q e r F 2000 1000 0 0 325 650 975 1300 1625 1950 2275 Pérdidas Histograma de Pérdidas por Terremoto Descriptive Statistics: Pérdidas por Terremoto Variable N Mean StDev Min Q1 Median Q3 Max Pérdidas 19637 146.25 361.51 5.17 14.02 38.78 124.38 2500

17. Criterios de Medición • Probabilidad de Ruina • PML • Medidas Tradicionales (VaR, TailVaR,...) • Prima de Riesgo

19. REASEGURO (Transferencia)

20. X1,X2,..., es una secuencia de montos de reclamaciones, y N(t), t  0, es el número de reclamaciones de una aseguradora en el período t. El monto total asegurado de las reclamaciones en este período es Contrato de reaseguro: es una regla mediante la cual cada reclamación individual Xn se divide en dos partes es la parte que paga directamente el asegurador, y es la cantidad cedida (reasegurada). El monto total de reclamaciones X(t) se descompone como sigue:

21. En un contrato de exceso de pérdida el reasegurador cubre la parte de la reclamación que excede del nivel de retención (prioridad) M 0 donde {x}+ = max{x,0}, x  R. La compañía cedente cubre las reclamaciones que no exceden de la prioridad M y paga el monto M cuando Xn > M; • Contrato Cuota-Parte: el reasegurador acepta una proporción a, 0 < a < 1, de cada reclamación individual. La cedente retiene el restante 1 – a, 1 – a = retención

22. El Grupo de Trabajo sobre Evaluación de la Solvencia de los Aseguradores (GTESA) de la Asociación Internacional de Actuarios señala que: “Aunque es necesario el adecuado tratamiento y reconocimiento de los contratos de reaseguro para evaluar su impacto sobre el perfil de riesgo de la compañía cedente, esto resulta complicado por una serie de razones: • A la dificultad de la evaluación riesgo por riesgo, debe añadirse la complejidad de esta estimación para el caso de carteras completas • Los contratos de exceso de pérdida catastróficos cubren carteras con diferentes tipo de riesgos (huracán, terremoto y otros riesgos catastróficos) • La inclusión de límites agregados en los contratos de exceso de pérdida. • A diferencia del reaseguro proporcional, en los contratos de exceso de pérdida puede presentarse la necesidad de reinstalación • Los contratos típicos de reaseguro incluyen coberturas tanto proporcionales como no proporcionales • Otras”

24. 8.9 Una cobertura cuota parte ... significa que la pérdida esperada o cualquier percentil (como el percentil 90) se reducen en el mismo porcentaje. El riesgo de la cartera en sí se reduce en la misma proporción (es decir la parte cedida al reasegurador).

26. q90 q90 mn mb

27. 8.10 El reaseguro de exceso de pérdida establece que cada pérdida que excede un límite fijo llamado prioridad o retención, es cubierta por el reasegurador, hasta cierto límite. Bajo una cobertura de exceso de pérdida con prioridad M y límite de cobertura L, el reasegurador asume la siguiente cantidad, por cada pérdida X de la compañía cedente: Max{0;Min(X-M;L)}. 8.11 El efecto de una cobertura de exceso de pérdida es que trunca la distribución de pérdidas de la cedente en la prioridad,...

28. q90 q90 Reaseguro mb mn

29. 8.16 La distribución de probabilidades de la gráfica ... muestra cómo el 90 percentil de la distribución de probabilidad de las pérdidas se desplaza a la izquierda, indicando una reducción en riesgo. Nótese en particular que la cola de la distribución se reduce materialmente, si no es que incluso se elimina. 8.17 El reaseguro, en particular el reaseguro no-proporcional, puede reducir enormemente o incluso eliminar la cola extrema de la distribución de pérdidas de la cedente. * Se puede complicar porque se aplica en ‘capas’

30. 8.32 ...., la correcta evaluación del impacto en la reducción del riesgo de contratos de reaseguro no-proporcional aún no es posible sin transformaciones matemáticas complejas, que típicamente están fuera del alcance de mecanismos de control del supervisor, o mediante el uso de simulaciones, que son rutinas estándar para modelos de riesgo más complejos en modelos internos. • 8.33 En última instancia, la medición más adecuada de la capacidad de transferencia del riesgo de un contrato de reaseguro o una combinación de varios contratos, es a través de la descripción del riesgo usando datos detallados de pérdidas y exposición. A partir de esta información, posiblemente mezclada con datos de la industria, la compañía puede derivar distribuciones de pérdida validadas y específicas. Estas distribuciones brutas se pueden alimentar a rutinas para transformar las muestras brutas simuladas en una distribución neta aplicando los términos relevantes de reaseguro para cada caso, y al agregar las simulaciones transformadas se puede obtener un resultado neto.

31. Se puede incluir el efecto de un contrato de reaseguro en exceso de pérdida por capas • Se incorporan las reinstalaciones • Se toman en cuenta los costos de reinstalación • Se mide el efecto de un límite • Se evalúa el impacto de un reaseguro ‘mixto’ • ...

32. De hecho, las curvas de pérdida después de aplicar un reaseguro de exceso de pérdida (no-proporcional) calculadas como se ha descrito (o con procedimientos diferentes pero también rigurosos) daría como resultado valores aceptables de los derechos de cobro cierto que tendrían las compañías de seguros si se da la pérdida correspondiente.

33. Mediante métodos de simulación es posible analizar y evaluar los siguientes elementos • La ocurrencia de sismos que afectan al territorio nacional • El impacto de los sismos sobre una cartera de una compañía de seguros • Medida de la transferencia de riesgo de contratos que combinan distintos tipos de reaseguro. • Estadísticas descriptivas de pérdidas brutas, pérdidas netas de reaseguro, retención, etc. • Porcentaje de veces que se agota el reaseguro • Costo anual promedio de las reinstalaciones del reaseguro no-proporcional • Distribución de las reclamaciones, según su magnitud, entre las capas del contrato de reaseguro, • Porcentaje de años en que resultaría necesario contratar reinstalaciones adicionales • …

35. El procedimiento (algoritmo) de simulación es el siguiente: • Se ‘genera’ aleatoriamente un sismo (evento) de las posibles combinaciones fuente/magnitud, de entre los 3,000 que se tienen, usando para ello la Probabilidad de Ocurrencia Anual. • Para la combinación fuente/magnitud seleccionada se genera una pérdida, también aleatoriamente, a partir de la distribución beta especificada por los parámetros (P0, P1, a y b) para ese evento. • Se aplica el esquema de reaseguro • El proceso anterior se repite cuantas veces sea necesario para completar el número de sismos en un año (simulado), y todo esto N veces para tener una muestra de N años. • El valor de N se especifica de manera arbitraria. Para hacerlo se ‘estima’ el tamaño de muestra que garantice confiabilidad, usando el esquema de reaseguro vigente y, se simulan un múltiplo de veces la condición de 1500 años.

36. No. DE COSTO CAPAS PRIORIDAD LIMITE PRIMA ROL REINS (% Prima) - Inferior $ 5,000,000.00 NA NA NA $ 5,000,000.00 1 $ 5,000,000.00 $ 1,035,000.00 20.70% 2 100% $ 10,000,000.00 2 $ 10,000,000.00 $ 1,035,000.00 10.35% 1 100% $ 20,000,000.00 3 $ 20,000,000.00 $ 1,035,000.00 5.18% 1 100% $ 40,000,000.00 4 $ 60,000,000.00 $ 1,620,000.00 2.70% 1 100% $ 100,000,000.00 5 $ 185,000,000.00 $ 2,247,750.00 1.22% 1 100% $ 285,000,000.00 Superior NA NA NA NA EJEMPLO

43. Cifras en Millones de Dólares. Cia. 1 Cia. 2 Cia. 3 Cia. 4 Prima Pura Retenida 43.60 3.51 0.35 4.83 Simulación: Pérdida Bruta 1503.01 171.84 21.62 261.88 1500 PML(RS-Mex) - 1361.60 166.18 21.34 271.88 1500 Pérdida Neta 723.75 45.66 2.26 50.96 1500 Pérdida Bruta 894.41 106.06 11.96 136.91 500 Pérdida Neta 154.27 8.56 1.82 35.59 500 Pérdida Bruta (media) 43.8 3.56 0.34 4.82

44. Análisis Adicionales

45. Conditional Tail Expectation (tail-VaR)

46. Análisis de Valores Extremos donde u is un umbral y Los cuantiles están dados por