1 8 paskaita. Kašt ų minimizavimas

1. 18 paskaita. Kaštų minimizavimas 19.1 Kaštų minimizavimas 19.3 Gamybos masto grąža ir kaštų funkcija 19.4 Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai 19.5 Pastovieji ir kvazipastovieji kaštai 19.6 Neatgaunami kaštai

2. Įvadas Pelną maksimizuojančios firmos elgseną siekiame studijuoti tiek konkurencinėje, tiek nekonkurencinėje aplinkoje. Paskutiniame paskaitoje pradėjome analizuoti pelną maksimizuojančią elgseną konkurencinėje aplinkoje spręsdami pelno maksimizavimo uždavinį. Tačiau kai kurių svarbių žinių galima įgyti ir einant aplinkiniu keliu. Pelno maksimizavimo uždavinį suskaidysime į dvi dalis. Pirmiausia išnagrinėsime, kaip minimizuoti gamybos kaštus esant tam tikrai gamybos apimčiai, paskui sužinosime, kaip pasirinkti pelningiausią gamybos apimtį. Šioje paskaitoje žengsime pirmąjį žingsnį, kitaip tariant, minimizuosime nustatytos gamybos apimties kaštus.

3. Kaštų minimizavimas Tarkime, yra du gamybos veiksniai, kainuojantys w1 ir w2. Norime rasti pigiausią būdą, kaip pagaminti nustatytą produkto kiekį y. Sunaudotus gamybos veiksnių kiekius pažymėkime x1 ir x2, o firmos gamybos funkciją - f(x1,x2). Tada šį uždavinį galime parašyti: taip, kad f(x1,x2)= y

4. Kaštų minimizavimas (2) Čia vėl galioja tas pat perspėjimas kaip ir praeitoje paskaitoje - privalome įsitikinti, kad, skaičiuodami kaštus, įtraukėme visus gamybos kaštus ir viską matavome ta pačia laiko skale. Kaštų minimizavimo uždavinio sprendinys - minimalūs kaštai būtini norimam gaminio kiekiui - priklausys nuo w1, w2 ir y. Šį sprendinį galime pažymėti c(w1,w2,y). Tai yra mums ypač svarbi kaštų funkcija. Kaštų funkcija c(w1,w2,y) rodo minimalius y produkto kiekio gamybos kaštus, kai veiksniai kainuoja (w1,w2). Kad suprastume uždavinio sprendimą, kaštus ir firmos technologinius apribojimus pavaizduokime tame pačiame brėžinyje. Izokvantos vaizduoja technologinius apribojimus - visus x1 ir x2 derinius, leidžiančius pagaminti y.

5. Kaštų minimizavimas (3) Pavaizduokime visus veiksnių derinius, kainuojančius kažkokius nustatyto dydžio kaštus C. Tokie deriniai tenkins sąlygą: w1x1 + w2x2= C kurią galime pertvarkyti į

6. Kaštų minimizavimas (4) Nesunku pastebėti, kad tai yra tiesė su nuolydžiu –w1/w2 ir vertikaliąja atkarpa C/w2. Keisdami C dydį, gausime visą šeimą tiesių, vadinamų izokostomis. Kiekvienas izokostos taškas kainuoja tokį patį dydį C, o aukštesnė izokosta yra susijusi su didesniais kaštais. Vadinasi, kaštų minimizavimo uždavinį galime suformuluoti kitaip: surasti izokvantos tašką pačioje kiek įmanoma žemiausioje su ja susijusioje izokostoje. Toks taškas pavaizduotas 19.1 paveiksle.

7. 19.1 pav. Kaštų minimizavimas. Gamybos kaštus minimizuojančių veiksnių derinį žymi izokvantos taškas žemiausioje su ja susijusioje izokostoje.

8. Kaštų minimizavimas (5) Įsidėmėkite, kad jei optimalus sprendinys reikalauja naudoti abu veiksnius ir jei izokvanta yra glodi kreivė, tai kaštus minimizuojantis taškas tenkins sąlyčio sąlygą: izokvantos ir izokostos nuolydžiai sutaps. Vartodami 17 paskaitos terminologiją, tai galime pasakyti ir kitaip - techninė pakeitimo norma turi būti lygi veiksnių kainų santykiui: (19.1) (Esant kraštiniam sprendiniui, kai naudojamas tik vienas iš dviejų veiksnių, ši sąlyga negalios. Jei gamybos funkcija yra "laužyta", tai sąlyčio sąlyga neturi prasmės. Šios išimtys tokios pat kaip ir vartotojo problemos kontekste, todėl joms šioje paskaitoje ypatingos reikšmės neteiksime.)

9. Kaštų minimizavimas (6) (19.1) lygties algebra nesudėtinga. Panagrinėkime bet kokį gamybos pokytį (x1,x2), kuris gaminamo produkto kiekio nepaveiktų. Toks pokytis privalo tenkinti sąlygą MP1(x1*, x2*)x1 + MP2(x1*, x2*)x2 = 0(19.2) Atkreipkite dėmesį, kad x1 ir x2 privalo būti priešingų ženklų; jei padidinsime pirmojo veiksnio kiekį, tai privalėsime sumažinti antrojo kiekį, kad nepasikeistų gamybos apimtis. Jei kaštų minimumas jau pasiektas, tai toks pokytis kaštų sumažinti negali, todėl: w1x1 + w2x2 0(19.3)

10. Kaštų minimizavimas (7) Dabar panagrinėkime pokytį (-x1,-x2). Jis taip pat pagamina tą patį produkto kiekį ir taip pat negali sumažinti kaštų. Iš to išeina, kad: -w1x1 - w2x2 0(19.4) Iš (19.3) ir (19.4) išeina: w1x1 + w2x2 = 0(19.5)

11. Kaštų minimizavimas (8) Iš (19.2) ir (19.5) lygčių išreikšdami x2/x1, gauname: o tai yra kaštų minimizavimo sąlyga, kurią jau išvedėme pasinaudodami geometrija. Atkreipkite dėmesį, kad 19.1 paveikslas šiek tiek primena vartotojo pasirinkimo uždavinį, nagrinėtą anksčiau. Nors sprendimas ir atrodytų toks pat, tačiau iš tikrųjų tai kitoks uždavinys. Vartotojo uždavinyje tiesė vaizdavo biudžetinį apribojimą, o vartotojas judėjo išilgai biudžetinės tiesės, ieškodamas mėgstamiausios padėties. Gamintojo uždavinyje izokvanta reiškia technologinį apribojimą, o gamintojas juda išilgai izokvantos, ieškodamos optimalios padėties.

12. Kaštų minimizavimas (9) Kaštus minimizuojantis veiksnių derinys apskritai priklauso nuo gamybos veiksnių kainų ir pageidaujamos gamybos apimties. Todėl optimalų veiksnių pasirinkimą galime užrašyti x1(w1,w2,y) ir x2(w1,w2,y). Jie dar vadinami sąlyginėmis veiksnių paklausos funkcijomis, arba išvestinėmis veiksnių paklausomis. Jos išreiškia optimalaus firmos veiksnių pasirinkimo priklausomybę nuo kainų ir produkto kiekio esant konkrečiai sąlygai pagaminti produkto kiekį y. Ypač įsidėmėkite skirtumą tarp sąlyginių veiksnių paklausų ir pelną maksimizuojančių paklausų, aptartų ankstesnėje paskaitoje. Sąlyginės veiksnių paklausos rodo kaštus minimizuojantį pasirinkimą, kai yra nustatytas prekės kiekis, kurį reikia pagaminti, o pelną maksimizuojančios veiksnių paklausos - pelną maksimizuojantį sprendimą, kai yra nustatyta prekės kaina.

13. Kaštų minimizavimas (10) Sąlyginių veiksnių paklausų betarpiškai stebėti dažniausiai negalima, jos yra hipotetinis darinys. Tokios paklausos atsako į klausimą, kokius veiksnių kiekius firma naudotų, jeigu norėtų pigiausiai pagaminti nustatytą produkto kiekį. Tačiau jos leidžia atskirti optimalaus produkto kiekio pasirinkimo uždavinį nuo efektyviausių kaštų gamybos metodo pasirinkimo uždavinio.

14. Konkrečių technologijų kaštų minimizavimas Panagrinėkime tobulųjų pakaitalų technologiją. Čia f(x1,x2) = min{x1,x2} ir, norint pagaminti y vienetų produkto, prireiks y vienetų veiksnio x1 ir y vienetų veiksnio x2. Todėl minimalūs gamybos kaštai yra: c(w1,w2,y) = w1y + w2y = (w1 + w2)y Kas bus, jei turėsime tobulųjų pakaitalų technologiją? Kadangi pirma ir antra prekės visiškai pakeičia viena kitą gamyboje, tai aišku, kad firma naudos pigesniąją. Kitaip tariant: c(w1,w2,y) = min{w1y,w2y} = min{w1,w2}y

15. Gamybos masto grąža ir kaštų funkcija Gamybos masto grąžą 17 paskaitoje aptarėme gamybos funkcijos kontekste. Prisiminkite, kad technologija pasižymi didėjančia, mažėjančia ar pastovia gamybos masto grąža, jei f(tx1,tx2) yra didesnė, mažesnė ar lygi tf(x1,x2) visiems t > 1. Pasirodo, yra glaudus ryšys tarp gamybos masto grąžos, kuria pasižymi gamybos funkcija, ir kaštų funkcijos elgsenos. Parankiausia pradėti nuo pastovios gamybos masto grąžos. Įsivaizduokime, kad jau išsprendėme uždavinį minimaliais kaštais pagaminti vieną vienetą prekės ir suradome vienetinę kaštų funkciją c(w1,w2,1). Kaip būtų galima pigiausiai pagaminti y vienetų prekės? Atsakymas labai paprastas: kiekvieno veiksnio sunaudotume y kartų daugiau nei gamindami vieną prekės vienetą. Tai reiškia, kad minimalūs kaštai, reikalingi pagaminti y vienetų prekės, yra c(w1,w2,1)y. Taigi, esant pastoviai gamybos masto grąžai, gaminio kiekio atžvilgiu kaštų funkcija yra tiesinė.

16. Gamybos masto grąža ir kaštų funkcija (2) Kas atsitiks didėjančiai gamybos masto grąžai? Pasirodo, gaminio kiekio atžvilgiu šiuo atveju kaštai padidės mažiau nei tiesiškai. Jei firma nusprendžia prekės gaminti dvigubai daugiau, tai jai kainuos mažiau nei dvigubai brangiau tol, kol veiksnių kainos išlieka pastovios. Tai paprasta didėjančios gamybos masto grąžos pasekmė: firma, visus veiksnius padvigubinusi, gaminio padaro daugiau nei du kartus. Todėl, gaminio kiekį norėdama padvigubinti, firma patirs mažiau nei dvigubai daugiau visų sąnaudų. Tačiau, kiekvieno veiksnio naudodama dvigubai daugiau, ji tiksliai padvigubintų kaštus. Todėl, kiekvieno veiksnio naudojant mažiau nei dvigubai, kaštai padidės mažiau nei dvigubai. Kitaip tariant, gaminio kiekio atžvilgiu kaštų funkcija padidės mažiau nei tiesiškai.

17. Gamybos masto grąža ir kaštų funkcija (3) Jei technologija pasižymi mažėjančia gamybos masto grąža, gaminio kiekio atžvilgiu kaštų funkcija padidės daugiau nei tiesiškai. Jei gaminio kiekis padvigubės, tai kaštų bus patirta daugiau nei dvigubai. Tai atsiranda iš vidutinių kaštų funkcijos elgsenos. Vidutinių kaštų funkcija yra tiesiog vienetiniai kaštai, būtini y kiekiui prekės pagaminti:

18. Gamybos masto grąža ir kaštų funkcija (4) Jei technologija pasižymi pastovia gamybos masto grąža, tai, kaip matėme anksčiau, kaštų funkcija turės pavidalą c(w1,w2,y) = c(w1,w2,1)y. Tai reiškia, kad vidutinė kaštų funkcija bus t.y. vidutiniai gaminio kaštai bus pastovūs ir nepriklausys nuo firmos gaminamo prekės kiekio. Jei technologija pasižymi didėjančia gamybos masto grąža, tai produkto kiekio atžvilgiu kaštai padidės mažiau nei tiesiškai ir todėl vidutiniai gamybos kaštai mažės gaminio kiekiui didėjant. Kai technologija pasižymi mažėjančia gamybos masto grąža, tai vidutiniai kaštai didės gaminio kiekiui didėjant.

19. Gamybos masto grąža ir kaštų funkcija (5) Kaip jau matėme anksčiau, konkreti technologija gali turėti didėjančios, pastovios ir mažėjančios gamybos masto grąžos sritis - gaminio kiekis gali didėti greičiau, vienodai ar lėčiau nei firmos gamybos mastas esant skirtingiems prekės kiekiams. Panašiai ir kaštų funkcija gali didėti lėčiau, vienodai ar greičiau nei firmos gamybos apimtis esant įvairiems prekės kiekiams. Todėl vidutinių kaštų funkcija gali mažėti, būti pastovi ar didėti esant skirtingoms gamybos apimtims. Šias galimybes kitoje paskaitoje ištirsime išsamiau. Nuo šiol mus labiausiai domins kaštų funkcijos elgsena gamybos apimties kintamojo atžvilgiu. Veiksnių kainas dažniausiai laikysime duotomis ir nekintamomis, todėl manysime, kad kaštai priklauso tik nuo firmos sprendimo, kiek gaminti. Likusiose paskaitose kaštų funkciją rašysime tik kaip gamybos apimties funkciją c(y).

20. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai Pagal apibrėžimą kaštų funkcija yra minimalūs kaštai, būtini tam tikram gaminio kiekiui pagaminti. Dažnai būna svarbu skirti minimalius kaštus, kai firma gali rinktis visų gamybos veiksnių kiekius, ir minimalius, kai gali rinktis tik kai kurių gamybos veiksnių kiekius. Trumpą laikotarpį apibrėžėme kaip laikotarpį, kai privalo būti naudojamas bent vieno gamybos veiksnio pastovus kiekis. Ilgu laikotarpiu visi veiksniai gali kisti. Trumpo laikotarpio kaštų funkcija - tai minimalūs kaštai, būtini pagaminti tam tikram prekės kiekiui, pasirenkant vien tik kintamų gamybos veiksnių kiekius. Ilgo laikotarpio kaštų funkcija rodo minimalius kaštus konkrečiam prekės kiekiui pagaminti, pasirenkant visų gamybos veiksnių kiekius.

21. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (2) Tarkime, trumpu laikotarpiu yra iš anksto nurodytas antro veiksnio kiekis , kuris ilgu laikotarpiu gali būti pasirenkamas laisvai. Tada trumpo laikotarpio kaštų funkcija yra apibrėžiama kaip taip, kad

22. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (3) Atkreipkite dėmesį, kad y vienetų prekės minimalūs gamybos kaštai trumpu laikotarpiu apskritai priklausys nuo pastovaus veiksnio nustatyto kiekio ir kainos. Tokį minimizavimo uždavinį nesunku išspręsti, kai turime du veiksnius: randame mažiausią x1 kiekį iš . Tačiau jei turime daug gamybos veiksnių, kintančių trumpu laikotarpiu, tai prireiks sudėtingesnio skaičiavimo sprendžiant kaštų minimizavimo uždavinį.

23. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (4) Trumpo laikotarpio pirmojo veiksnio paklausos funkcija yra kaštus minimizuojantis pirmojo veiksnio kiekis. Apskritai ji priklausys ir nuo veiksnių kainų, ir nuo pastovių veiksnių kiekių, todėl trumpo laikotarpio veiksnių paklausas rašysime taip: Šios išraiškos tiesiog pasako, kad jei, pavyzdžiui, pastato dydis yra pastovus trumpu laikotarpiu, tai darbuotojų skaičius, kurį firma norėtų pasamdyti esant tam tikrai kainų aibei ir gamybos apimčiai, priklausys nuo pastato dydžio.

24. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (5) Šios išraiškos tiesiog pasako, kad jei, pavyzdžiui, pastato dydis yra pastovus trumpu laikotarpiu, tai darbuotojų skaičius, kurį firma norėtų pasamdyti esant tam tikrai kainų aibei ir gamybos apimčiai, priklausys nuo pastato dydžio. Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą trumpo laikotarpio kaštų funkcija yra

25. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (6) Tai tiesiog pasako, kad y prekės kiekio minimalūs gamybos kaštai yra kaštai, kuriuos tenka patirti naudojant gamybos kaštus minimizuojančius veiksnių kiekius. Nors tai ir teisinga pagal apibrėžimą, tačiau vis tiek mums pravers. Ilgo laikotarpio kaštų funkcija šiame pavyzdyje yra apibrėžta taip, kad f(x1,x2) = y.

26. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (7) Čia abu veiksniai gali būti pasirenkami laisvai. Ilgo laikotarpio kaštai priklausys tik nuo gaminamos prekės kiekio ir veiksnių kainų. Ilgo laikotarpio kaštų funkciją užrašome kaip c(y), o ilgo laikotarpio veiksnių paklausas - x1= x1(w1,w2,y) x2= x2(w1,w2,y) Ilgo laikotarpio kaštų funkciją galime užrašyti ir kaip c(y)= w1x1(w1,w2,y) + w2x2(w1,w2,y)

27. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (8) Kaip ir anksčiau, tai rodo, kad minimalūs kaštai yra kaštai, kuriuos patiria firma, naudodama kaštus minimizuojančius veiksnių kiekius. Trumpo ir ilgo laikotarpių kaštų funkcijos yra įdomiai susijusios, ir tuo naudosimės kitoje paskaitoje. Kad būtų paprasčiau, tarkime, jog veiksnių kainos - pastovūs dydžiai, ir užrašykime ilgo laikotarpio veiksnių paklausas: x1 = x1(y) x2 = x2(y)

28. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (9) Tada ilgo laikotarpio kaštų funkcija gali būti užrašyta taip: c(y)= cs(y,x2(y)) Norėdami įsitikinti, jog užrašėme teisingai, pamąstykime, ką tai reiškia. Pagal šią lygtį, minimalūs kaštai, kai visi veiksniai kintami, yra minimalūs, kai antrasis veiksnys yra pastovus, tačiau tokio kiekio, jog minimizuoja ilgo laikotarpio kaštus. Iš to išeina, kad ilgo laikotarpio kintamojo veiksnio paklausa - kaštus minimizuojantis sprendinys - yra x1(w1,w2,y) = x1s(w1,w2,x2(y),y)

29. Ilgo ir trumpo laikotarpių kaštai (10) Ši lygtis rodo, kad kaštus minimizuojantis kintamojo veiksnio kiekis ilgu laikotarpiu yra tas kiekis, kurį firma pasirinktų trumpu laikotarpiu, jei turėtų pastovaus veiksnio kiekį, minimizuojantį ilgo laikotarpio kaštus.

30. Pastovieji ir kvazipastovieji kaštai 18 paskaitoje atskyrėme pastoviuosius ir kvazipastoviuosius veiksnius. Už pastoviuosius veiksnius reikia mokėti, nesvarbu, kiek pagaminama prekės ir ar iš viso gaminama. Už kvazipastoviuosius reikia mokėti tik tada, jei firma nusprendžia gaminti teigiamą prekės kiekį. Panašiai galime apibrėžti ir pastoviuosius bei kvazipastoviuosius kaštus. Pastoviejikaštai yra susiję su pastoviaisiais veiksniais: nuo gamybos apimties jie nepriklauso ir juos reikia sumokėti, nesvarbu, kiek ir ar iš viso gaminama. Kvazipastovieji kaštai nuo gamybos apimties taip pat nepriklauso, tačiau juos reikia sumokėti tik tada, kai firma nutaria gaminti teigiamą prekės kiekį. Pagal apibrėžimą, ilgu laikotarpiu pastoviųjų kaštų nėra. Tačiau ilgu laikotarpiu kvazipastoviųjų kaštų galime rasti. Jei yra būtina išleisti iš anksto nustatytą pinigų sumą prieš pagaminant bet kokį prekės kiekį, tai kaštai yra kvazipastovieji.

31. Neatgaunami kaštai Neatgaunami kaštai yra pastoviųjų kaštų atmaina. Šią sąvoką lengviausia paaiškinti tokiu pavyzdžiu. Tarkime, nusprendėte išsinuomoti patalpas metams. Nuoma, kurią įsipareigojote mokėti, yra pastovieji kaštai, nes jūs privalote ją mokėti nepriklausomai nuo prekės kiekio, kurį nuspręsite pagaminti. Sakykim, nutarėte atnaujinti patalpas - jas perdažyti ir nupirkti baldus. Dažų kaštai yra pastovieji, bet jie yra ir neatgaunami. Baldų kaštai, kita vertus, nėra visiškai neatgaunami, nes baldus įmanoma perparduoti, kai jų jau nebereikės. Tik skirtumas tarp naujų ir senų baldų kainos yra neatgaunamas. Išdėstykime smulkiau: pasiskolinote 20,000 litų metų pradžioje už 10 procentų palūkanų. Pasirašėte nuomos sutartį ir iš anksto sumokėjote 12,000 litų nuomą už ateinančius metus. Išleidote 6,000 litų baldams ir 2,000 litų dažams. Metų gale turite grąžinti 20,000 litų paskolą ir 2,000 litų palūkanų bei parduoti naudotus baldus už 5,000 litų.

32. Neatgaunami kaštai (2) Jūsų bendrieji neatgaunami kaštai susideda iš 12,000 litų rentos, 2,000 litų palūkanų, 2,000 litų dažų ir tik 1,000 litų už baldus, nes 5,000 litų pradinių išlaidų baldams yra atgaunamos. Skirtumas tarp neatgaunamų ir atgaunamų kaštų gali būti gana reikšmingas. 100,000 litų išlaidos dviems krovininiams automobiliams atrodo kaip didelė pinigų suma, bet jei jie gali būti parduoti naudotų automobilių rinkoje už 80,000 litų, tai tikrieji neatgaunami kaštai yra tik 20,000 litų. 100,000 litų išlaidos labai specializuotos paskirties presui, turinčiam nulinę perpardavimo vertę, yra visiškai kitokios, nes šiuo atveju visos išlaidos yra neatgaunamos. Paprasčiausia išvengti klaidų, visas išlaidas matuojant kaip srautus: kiek verslas kainuos per metus? Taip yra mažiau galimybių užmiršti kapitalinių įrengimų perpardavimo vertę ir daugiau galimybių aiškiai atskirti neatgaunamus ir atgaunamus kaštus.

33. Santrauka • c(w1,w2,y) kaštų funkcija matuoja minimalius tam tikro prekės kiekio gamybos kaštus esant tam tikroms veiksnių kainoms. • Firma, darydama sprendimus, privalo paklusti kaštų minimizavimo elgsenos suvaržymams, kuriuos galima stebėti. Sąlyginės veiksnių paklausos funkcijos privalo turėti neigiamą nuolydį. • Masto grąžos efektas, kuriuo pasižymi gamybinė funkcija, ir kaštų funkcijos elgsena yra glaudžiai susiję. Didėjanti masto grąža reiškia mažėjančius vidutinius kaštus, mažėjanti masto grąža - didėjančius vidutinius kaštus, o pastovi masto grąža - pastovius vidutinius kaštus. • Neatgaunamų kaštų atgauti negalima.