Metode proračuna

1. Metode proračuna

2. Linearni statički proračun primjenom ekvivalentnog statičkog djelovanja, • Linearni dinamički proračun spektrima odgovora, • Nelinearna statička metoda postupnog guranja (push over) • Nelinearni dinamički proračun uporabom zapisa ubrzanja u vremenu (time history) Linearni statički proračun primjenom ekvivalentnog statičkog djelovanja ili Metoda bočnih sila

3. Metoda bočnih sila OSNOVNI PERIOD OSCILIRANJA T1 T1= CtH3/ 4 Hvisina zgrade u m, H < 40(m) Ct = 0.085 za čelične okvirne konstrukcije bez dijagonala Ct = 0.075 za armirano-betonske okvirne konstrukcije i čelične okvirne konstrukcije sdijagonalama Ct = 0.050 za sve ostale konstrukcije Za konstrukcije od zidova (betonskih i zidanih) AC ukupna efektivna površina zidova prvog kata zgrade u m2 Ai efektivna površina poprečnog presjeka i-tog zida prvog kata zgrade u m2 lwi dužina i-tog zida prvog -kata zgrade u pravcu paralelnom s traženom silom u m, Alternativno: d horizontalni elastični pomak vrha zgrade u (m) uslijed gravitacijskog opterećenja primijenjenog u horizontalnom smjeru

4. Metoda bočnih sila Ukupna masa računa se prema sljedećoj osnovi: Ukupna težina zgrade Gkj karakteristična vrijednost stalnog opterećenja ″j″ Qki karakteristična vrijednost promjenjivog opterećenja ″i″ ψEi koeficijent kombinacije za promjenjivo opterećenje ″i″ Koeficijent kombinacije za promjenjivo opterećenje ψ2i koeficijenti kombinacije koji predstavljaju ″kvazistalne vrijednosti promjenjivog opterećenja i″ (Eurocode 1) vrijednosti ovisne o kategoriji opterećene površine (Eurocode 1)

5. Metoda bočnih sila RASPODJELA HORIZONTALNE SEIZMIČKE SILE PO VISINI ZGRADE Fi horizontalna sila koja djeluje na i-tom katu Fb ukupna seizmička sila si, sjpomaci masa mi, mj osnovnog perioda mi, mj katne mase mi, mj osnovnog perioda Ako je vlastiti oblik prvog perioda oscilacija približno linearan, horizontalne sile su: zi, zj visinski položaj masa mi, mj mjereno od gornjeg ruba temelja

6. Metoda bočnih sila Za zgrade čiji seizmički odgovor ne ovisi o višim periodima oscilacija što je ispunjeno ako su zadovoljeni uvjeti: (1) osnovni period u 2 međusobno okomita smjera (2) zadovoljavaju kriterije visinske pravilnosti

7. Metoda bočnih sila Poprečna sila baze iz dva nezavisna okomita smjera ako je visina < 10 m Fb = Sd (T1 ) ⋅m⋅λ Sd(T1) - ordinata projektnog spektra T1 - osnovni period oscilacija m - ukupna masa λ - korekcijski faktor λ=0.85 – za T1 < 2Tc i više od 2 kata ostalo λ=1.0

8. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Kod analize vremenskog zapisa nekog potresa izdvajaju se tri fizikalne feličine u funkciji od vremena t: - Pomak tla dg(t) - Brzina tla vg(t) - Ubrzanje tla ag(t) Za štete na građevinama su mjerodavni ubrzanje tla, frekventni sadržaj zapisa kretanja tla i trajanje potresa.

9. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Red veličine maksimalnih pomaka, brzina i ubrzanja tla za umjereno jak potres I = VIII stupanj, M ≈ 6 ÷ 6,5 Dg, max ≈ 0.1 ÷ 0.3 m Vg, max ≈ 0.1 ÷ 0.3 m/s Ag, max ≈ 1.5 ÷ 3.0 m/s2 = 0.15 ÷ 0.30 g

10. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Vertikalno ubrzanje tla 1/3 do 1/1 horizontalnog ubrzanja na istom mjestu. Većina tehničkih propisa: ag, max, vert = 2/3 · ag, max, horiz Frekventni zapis tla: Za sve građevine je mjerodavan frekventni opseg f=0.1Hz ÷ 30Hz Odnosno preko perioda osciliranja T=0,003 s ÷ 10s

11. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Zastupljenost pojedinih frekvencija u vremenskim zapisima kretanja tla ovisi o vrsti i karakteru podloge. - Čvrsta i stjenovita tla f ≈ 3 ÷ 10 Hz (T ≈ 0.1 ÷ 0.3 s ) - Srednje čvrsta tla f ≈ 2 ÷ 8 Hz (T ≈ 0.13 ÷ 0.5 s ) - Mekana tla f ≈ 0.5 ÷ 2 Hz (T ≈ 0.5 ÷ 2.0 s ) - Veoma mekano tlo f ≈ 0.3 ÷ 0.5 Hz (T ≈ 2.0 ÷ 3.0 s ) Za građevine je najnepovoljnije kada se njihove osnovne frekvencije poklapaju sa dominantnim frekventnim opsezima u vremenskom toku ubrzanja tla.

12. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Kod projektiranja konstrukcija potrebno je definirati opterećenje uslijed mogućeg djelovanja potresa. Za inžinjerske potrebe potresa bitna je relacija između maksimalnog ubrzanja tla ag, max i intenziteta potresa I, odnosno magnitude M.

13. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Za inžinjersko vrednovanje zapisa potresa iskazanog u obliku toka ubrzanja za vrijeme trajanja potresa kao i za projektiranje koriste se spektri odgovora (response spectra). Pod pojmom spektri odgovora podrazumjevaju se spektri pomaka, brzine i ubrzanja. U praksi se najviše koriste spektri ubrzanja, a predočeni su u svom jednostavnom “zaglađenom” obliku.

14. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Spektar odgovora se može definirati kao skup maksimalnih odgovora sistema sa jednim stupnjem slobode na pobudu u obliku akcelerograma potresa. Radi se niz linearnih dinamičkih analiza iz kojih se izdvajaju samo maksimalni odgovori i to kao apsolutne vrijednosti. Spajanjem maksimalnih odgovora dobiva se krivulja koja se naziva spektar odgovora. Ulazno opterećenje je akcelerogram potresa. Rezultat proračuna je vremenski tok promjene promatrane veličine za koje se želi proračunati spektar odgovora

15. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Postupak proračuna spektra odgovora

16. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Postupak proračuna spektra odgovora se po koracima može prikazati: - Akcelerogram potresa - Sustav sa jednim stupnjem slobode - Linearna dinamička analiza sustava - Određivanje perioda oscilacije T - Apsolutna vrijednost maksimalnog odgovora - Unos vrijednosti u spektralni diagram

17. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Spektar odgovora je elastičan, jer je dobiven uz pretpostavku o linearnom – elastičnom ponašanju materijala. Akcelerogram El Centro, potres u Imperial Valley, California 1940.g.

18. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Spektar ubrzanja za akcelerogram potresa, u formatu Sa – T Na mjestima vrhova diagrama zagrada (između perioda 0.25 s i 0.65 s) maksimalno spektralno ubrzanje je oko 2.5 puta veče od maksimalnog ubrzanja tla iz akcelerograma koje se označava sa PGA (peak ground acceleration).

19. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Spektri ubrzanja za razne veličine prigušenja Promatrajući gornji spektar ubrzanja gdje se period osciliranja T približava nuli, uočava se da je veličina spektralnog ubrzanja gotovo jednaka apsolutnom maksimalnom ubrzanju tla (PGA) iza akcelerograma koji je poslužio za konstruiranje spektra ubrzanja.

20. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Akcelerogram el Centro, PGA = 3.417 m/s2. dužina zapisa t = 53.74 s

21. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Spektar ubrzanja za akcelerogram El Centro, prigušenje 5%

22. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Akcelerogram Mexico City, PGA = 0.98 m/s2, dužina zapisa t = 180, 1 s

23. Linearni dinamički proračun spektrima odgovora Što su spektri odgovora i kako se određuju Spektar ubrzanja za akcelerogram Mexico City, prigušenje 5%

24. Matematička formulacija spektra odgovora Sustav sa koncentriranom masom, izložen ubrzanju tla

25. Matematička formulacija spektra odgovora Model sustava sa jednim stupnjem slobode Na mjestu pričvrščenja za podlogu sustav je izložen kretanju tla iskazanom u obliku vremenskog zapisa ubrzanja tla – akcelerogram, koje uzrokuju oscilacije koncentrirane mase. Ukupni pomak koncentrirane mase sastoji se: - iz pomaka tla gdje se cijeli sustav pomiče iz prvobitnog u novi položaj, - i pomaka uslijed deformacije konzole (relativni pomak).

26. Matematička formulacija spektra odgovora Oznake na slici su sljedeće: • m koncentrirana masa sustava 1SS, • c prigušenje (konstanta prigušenja) • k krutost (krutost "opruge") • uaapsolutni (ukupni) pomak • u relativni pomak • ugpomak tla • ügubrzanje tla.

27. Matematička formulacija spektra odgovora Na koncentričnu masu djeluju sljedeće sile: • ku elastična sila (sila naprezanja), proporcionalna relativnom pomaku • ců sila prigušenja, proporcionalna relativnoj brzini • müasila inercije, proporcionalna apsolutnom ubrzanju

28. Matematička formulacija spektra odgovora Uvjet ravnoteže sila: müa + ců + ku = 0 Ukupni pomak tla: ua = u + ug Ukupno ubrzanje mase: üa = ü + üg

29. Matematička formulacija spektra odgovora Diferencijalna jednadžba sustava sa jednim stupnjem slobode: - seizmička sila

30. Matematička formulacija spektra odgovora Dijeljenjem sa masom m prethodna jednadžba se može transformirati u njen standardni oblik: Ovdje su: - kružna frekvencija neprigušenih oscilacija - mjera prigušenja - vlastita frekvencija osciliranja - vlastiti period osciliranja

31. Matematička formulacija spektra odgovora Riješenje diferencijalne jednadžbe – Duhamel-ov integral Uz Gornji izraz u(t) predstavlja vremenski tok relativnog pomaka promatranog sustava sa jednom masom.

32. Matematička formulacija spektra odgovora Za konstruiranje spektra odgovora izdvajamo apsolutne maksimalne veličine pomaka, brzine i ubrzanja sa jednom masom.

33. Matematička formulacija spektra odgovora Maksimalni pomak Uz

34. Matematička formulacija spektra odgovora Maksimalni pomak Spektralni pomak (maksimalni relativni pomak) je:

35. Matematička formulacija spektra odgovora Maksimalna brzina Spektralna brzina (maksimalna relativna brzina)

36. Matematička formulacija spektra odgovora Maksimalno ubrzanje Spektralno ubrzanje (maksimalno apsolutno ili ukupno ubrzanje)

37. Matematička formulacija spektra odgovora U svim prethodnim jednadžbama t je vrijeme trajanja potresa, odnosno dužina zapisa kretanja tla - akcelerograma. Za neki promatrani trenutak t mora se uraditi integracija od početka potresa (točnije početka zapisa) do tog trenutka vremena, a τ je integracijska varijabla (τ < t). Za traženi spektar odgovora izdvaja se uvijek maksimalna vrijednost pojedinog odgovora. Kod izraza za spektralnu brzinu i spektralno ubrzanje zanemaren je po jedan član koji se množi sa stupnjem prigušenja ζ.

38. Matematička formulacija spektra odgovora Pseudoubrzanje Iz jednadžbe za spektralni pomak Sd i spektralno ubrzanje Sa vrijedi jednostavna relacija da je: Sa ≈ ω2 · Sd Desna strana jednadžbe naziva se i spektar pseudoubrzanja Spa, zbog pojednostavljenja, odnosno zanemarenja članova množenih sa prigušenjem ζ. Razlika između pseudoubrzanja Spa i točnog apsolutnog ubrzanja Sa je mala, pogotovo za iznose prigušenja ζ = 2 ÷ 5 %. Jednadžba omogućava praktičnu primjenu kod upotrebe projektnih spektra odgovora.

39. Matematička formulacija spektra odgovora Pseudoubrzanje Maksimalnom naprezanju konstrukcija odgovara maksimalni pomak Umax i odgovarajuća elastična sila Fmax. U trenutku maksimalnog relativnog pomaka brzina je nula, tako da nema sile prigušenja. Za promatrani sustav sa jednim stupnjem slobode, mase m i krutosti k, vrijedi: Fmax = k · umax (¤) , odnosno Maksimalno naprezanje = produktu mase i maksimalnog apsolutnog ubrzanja, odnosno spektralnog ubrzanja.

40. Matematička formulacija spektra odgovora Pseudoubrzanje Spektri ubrzanja dobiveni “točnim” proračunom i prema izrazu (¤), akcelerogram El Centro, prigušenje 5 %.

41. Matematička formulacija spektra odgovora Pseudoubrzina Ukoliko u jednadžbi za spektralnu brzinu, koja predstavlja spektralnu vrijednost relativne brzine, funkciju cosω (t-τ) zamijenimo sa funkcijom sinω (t-τ) dobivamo spektralne vrijednosti pseudobrzine Spr. I ovdje prefiks “pseudo” označava netočnosti koje su uveden ovom zamjenom, kao i zanemarenjem članova množenih sa prigušenjem ζ koji nastaju nakon diferenciranja po vremenu za pomak dobiva se:

42. Matematička formulacija spektra odgovora Pseudoubrzina Postoji jednostavna relacija između spektralnih vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja: (X) Razlike između Spv i Sv su značajne u području manjih frekvencija odnosno dužih perioda osciliranja. Ovo je predočeno na slici gdje isprekidana linija predstavlja spektar brzina dobiven približnom formulom (X). Osin sa povećanjem preioda osciliranja razlike između “točne” i približne spektralne krivulje rastu sa povećavanjem prigušenja, što je i za očekivati s obzirom na zanemarenja koja su predhodila formuli (X).

43. Matematička formulacija spektra odgovora Pseudoubrzina Spektri brzina dobiveni “točnim” proračunom i prema izrazu (X), akcelerogram El Centro, prigušenje 5 %.