CERCUL

1. CERCUL Cum exprimăm proprietăţile cercului în limbaj matematic? Cum descoperim, într-o configuraţie geometrică, proprietăţile cercului şi cum le adaptăm situaţiilor practice?Care sunt relaliile cercului cu alte construcţii geometrice?

2. Definiţie. Fie O un punctîn plan şi r un număr real pozitiv, mulţimeapunctelordin plan, situate la distanţa r faţă de O se numeştecerc de centru O şirază r (punctul O centrulcercului).Notaţie: C(o,r) • Elemente: • Razacercului este distanţa de la O la un punct de pecerc – [OP]. • Segmentuldeterminat de douăpuncte ale unuicerc se numeştecoarda – [AB]. • Coarda care conţinecentrulcercului se numeştediametru – [CD]. • Capetelediametrului se numescpunctediametralopuse – C şi D. • Cercurile care au razeegale se numesccercuri congruente.

3. Portiuneadintr-un cercdeterminata de douapunctedistincte ale cercului se numestearc de cerc. • Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor P din plan pentru care OP<r se numeşte interiorul cercului.Int C(O,r) ={P/OP<r} • Fiind dat C(O,r) mulţimea punctelor Q din plan pentru care OQ>r se numeşte exteriorul cercului cercului.Ext C(O,r) ={Q/OQ>r}

4. Se numestedisc de centruOsirazar multimeapunctelorcerculuiC (O,r)reunita cu interiorulcercului. Not:D(O,r)=C (O,r)∩IntC(O,r) Un unghi care are varful in centrulcercului se numesteunghi la centru. Multimea punctelor de pe cerc situate in interiorulunghiuluiAOB reunite cu A si B se numeste arc mic si se noteaza AB Mulţimeapunctelor de pecerc situate înexteriorulunghiuluiAOB, reunite cu A si B se numeste arc mare si noteaza ACB, unde C IntAOB .

5. Punctele A si B se numesccapetelearcelor. Daca A si B sunt capetele unui diametru, arcele se numesc semicercuri. Masuraarculuimicesteegala cu a° ; masuraarcului mare este egala cu 360° − a° ; masuraunuisemicerceste 180° . Douaarcesuntcongruentedaca au aceeasimasura. TEOREMA 1 La arcecongruentecorespundcoardecongruente(in acelasicercsau in cercuricongruente). Reciproca. La coarde congruente corespund arce mici congruente( in acelasi cerc sau in cercuri congruente) TEOREMA 2 Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc, atunci diametrul perpendicular pe coarda AB imparte coarda si arcele in douaparticongruente.

6. TEOREMA 3 Daca doua coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci distantele de la centru la coardesuntegale. TEOREMA 4 Daca A si B sunt doua puncte distincte ale unui cerc si punctul M apartine arcului determinat de ele, atunci masura arcului AB esteegala cu masuraarcului AM plus masuraarcului MB TEOREMA 5 Daca [AB] si [CD] sunt doua coarde paralele ale unui cerc, iar punctele A si C sunt situate de aceeasi parte a diametrului perpendicular pecoardeatunci: arcelemici AC si BD sunt congruente ; coardele AC si BD suntcongruente.

7. DEFINITIE Unghiul BAC se numesteunghiinscris in cercul C(o,r) daca A,B si C apartin cercului C(o,r). Unghiurile BAC, MPQ si STV sunt unghiuri inscrise in cerc. Arcelemici BC, MQ, respectiv SV suntarcecuprinseintrelaturileunghiurilorinscrise. DEFINITIE Spunem ca triunghiul ABC esteinscris in cercdacavarfurile sale apartincercului.

8. TEOREMA 1 Masura unui unghi inscris in cerc este jumatate din masura arcului cuprins intre laturile sale. TEOREMA 2 Masura unui unghi cu varful pe cerc, avand una din laturi secanta, iarcealaltalaturatangentacercului, estejumatate din masura arcului de cercinclus in interiorulunghiului. UNGHI CU VARFUL IN INTERIORUL CERCULUI Unghiul cu varful in interiorul cercului ATC ( care este congruent cu DTB fiindunghiuriopuse la varf) are ca masurajumatate din sumamasurilor arcelor cuprinse intre laturile sale.

9. UNGHI CU VARFUL IN EXTERIORUL CERCULUI Unghiul cu varful in exteriorulcercului, unghiulAPB are ca masura jumatate din diferenta arcelor cuprinse intre laturile sale. POZITIILE RELATIVE ALE UNEI DREPTE FATA DE UN CERC. 1) Dreaptasecantafata de un cercestedreapta care are douapunctecomune cu cercul: A si B.

10. 2) Dreaptatangenta la cercestedreapta care are un singurpunctcomun cu cercul: T. Dreaptatangenta la cercesteperpendicularaperaza in punctul de intersectie al ei cu cercul. 3) Dreapta exterioara cercului este dreapta care nu are punctecomune cu cercul. DEFINITIE Un poligon convex cu toate laturile si toate unghiurile congruente se numestepoligonregulat. (Exemple cunoscute patratul, triunghiul echilateral.) TEOREMA Oricepoligonregulat se poateinscrieintr-un cerc

11. DEFINITIE Segmentuldus din centrulcerculuicircumscrisunuipoligonregulat, perpendicular pe latura poligonului, se numeste apotema CALCULUL ELEMENTELOR IN POLIGOANE REGULATE Vomcalculalatura l siapotema a in functie de raza R a cercului circumscris.

12. LUNGIMEA CERCULUI. LUNGIMEA ARCULUI DE CERC. Valoarea raportului dintre lungimea unui cerc si lungimea diametruluisau se noteaza cu π . Acestaeste un numarirationalpecare il aproximam cu 3,14. Lungimea cercului este deci: L = 2πR ARIA DISCULUI. ARIA SECTORULUI DE CERC Aria unuicerc de raza r se calculeaza cu formula: A =πR²

13. APLICATII 1. Un cerc are raza R= 6cm. Atuncilaturapatratului este….. 2. Apotemaunuitriunghiechilateral are 4cm. Aria hexagonuluiregulat este 3. Un patrat are diagonala 12 cm. Razacercului inscris in acestpatrat este : 4. Masuraunghiuluiunuipentagonregulat este……. 5.O coarda a unuicerccuraza de 20 cm are lungimea de 32 cm. Calcuatidistanta de la centrulcercului la coarda. 6.In figura apare un sfert de disc in care este inscris patratul ODCE. Dacarazadiscului este R=16cm, calculati aria portiuniihasurate 7. Patrulaterul ABCD este inscris intr-un cerc de centru O si raza R. Dacamasurilearcelor AB, BC si CDsunt de 1200, 1000 si respectiv 800, sa se afle : a) masurileunghiurilorpatrulaterului ; b) masurileunghiurilor formate de laturicudiagonalelepatrulaterului

14. Bibliografie