Vom Qubit zur Quantenteleportation

1. Vom Qubit zur Quantenteleportation http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/ franz.embacher@univie.ac.at Fakultät für Theoretische PhysikUniversität Wien Franz Embacher Sexagesimalien 23. Jänner 2008

2. Inhalt • Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten • Wechselwirkungsfreie Messung (das „Bombenexperiment“) • Doppelspalt-Experiment • Unbestimmtheit • Qubits – die Bausteine der Quanteninformation • Quanten-Gickse • Verschränkung • EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung • Quantenspiel • Quantenkryptographie • Quantenteleportation entzaubert • Quantencomputer • Das Problem mit der Quantengravitation

3. Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten • Klassische Physik • Messgrößen (Observable) • Theoretische und experimentelle Befunde: Die klassische Physik kann nicht richtig sein! • Max Planck, Albert Einstein: Energie der Strahlung, Photonen • Niels Bohr, Arnold Sommerfeld, Erwin Schrödinger: Stabilität und Spektrum der Atome

4. Wellen, Messungen und Wahrscheinlichkeiten • Louis de Broglie: Teilchen „verhalten sich wie“ Wellen (Wellenfunktion, y) • Problem der „Deutung“ der neuen Theorie • Max Born, Niels Bohr: Wellenfunktion Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse (Kopenhagener Deutung) Orbitale, Atome, Moleküle, Stabilität der Materie • Wellen können einander überlagern (Superpositionsprinzip)y = y1 +y2 , y = y1 -y2 , y = 2y1 +3y2, ...

5. Wechselwirkungsfreie Messung (der „Bombentest“) • Die Geschichte mit der Bombe...  Der Bombentest • Der Bombentest illustriert die „Quantenlogik“: kein klassisches „entweder – oder“ anwendbar! • Einige Bomben sind scharf und bestehen den Test, d.h. sie explodieren nicht – womit wurde das eigentlich „gesehen“, wenn doch kein Photon beim Zünder war?

6. Doppelspalt-Experiment Beschuss mit einzelnen Teilchen! Annahme: Das Teilchen geht durch einen Spalt  Das Verhalten eines Teilchens, das durch den oberen Spalt geht, hängt davon ab, ob der untere Spalt offen ist!  Widerspruch?

7. Unbestimmtheit • Werner Heisenberg: fundamentale Unbestimmtheit in den Messgrößen • Messgrößen können unbestimmt („unscharf“) sein: • Beliebige Körper: Ort und Impuls • Elektronen: Spinkomponenten in verschiedene Richtungen • Photonen: Polarisationen ( = Verhalten an Polarisatoren mit unterschiedlichen Orientierungen) • Bombentest: Weg des Photons • Doppelspalt-Experiment: Weg des Teilchens

8. Qubits – die Bausteine der Quanteninformation Klassisches Bit: 0und1 bezeichnen Alternativen: 0 1 0 1 kein Strom Strom die Zahl 0 die Zahl 1 Klassische Zustände

9. Qubits – die Bausteine der Quanteninformation Qubit: |0> und|1> bezeichnen Alternativen: Zustandsvektoren (Hilbertraum) |1> |y> |0> |1> Spin up Spin down Pol. Pol. E E |0> 0 1 Paare aufeinander normal stehender Zustandsvektoren bezeichnen Alternativen! a ( ) |y> = a |0> + b|1> = b Messung!

10. Qubits – die Bausteine der Quanteninformation |y> System im Zustand Messung in der Basis {|0> , |1> } Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Messausgänge: |1> |y> 1 b a |0> 2 |0> ........ a 2 |1> ........ b Analoges gilt für beliebige Messungen! a ( ) |y> = a |0> + b|1> = b

11. Qubits – die Bausteine der Quanteninformation |y> System im Zustand Messung in einer „verdrehten“ Basis: Messung in der Basis{|E> , |Z> } Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Messausgänge: |Z> |y> x y |E> 2 |E>........ x 2 |Z>........ y

12. Verschränkung • Alice und Bob, räumlich voneinander getrennt |y> = |0> |0> Produktzustand 1 Alice Bob |y> = |1> |1> Produktzustand 2 Alice Bob verschränkter Zustand (EPR-Zustand) |y> + |y> 1 2 verschränktes Teilchenpaar (EPR-Paar) Alice Bob

13. Quanten-Gickse  Quanten-Gickse • illustrieren die Unbestimmtheit von Messgrößen • Messgrößen sind äquivalent zum Spin von Teilchen • Messgrößen sind äquivalent zur Polarisation von Photonen

14. physikalisch: Polarisationen von Photonenpaaren EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung • Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen: Ist die Quantentheorie unvollständig? • EPR-Paradoxon • John Bell: Konzept für eine Entscheidung durch ein Experiment • Bellsche Ungleichung n(Frauen, Auto) n(Frauen, spanisch) + n(AutofahrerInnen, nicht spanisch) EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung mit Gicksen EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung mit Photonen

15. EPR-Paradoxon und Bellsche Ungleichung • Experiment (Alain Aspect, Anton Zeilinger): Bellsche Ungleichung verletzt! • Individuelle Polarisationen von Photonen eines verschränkten Paareskönnen keine „Eigenschaften“ im herkömmlichen Sinn sein!! echte Unbestimmtheit und/oder Nichtlokalität! • Kopenhagener Deutung: Die quantenmechanische Unbestimmtheit ist nicht lediglich Unkenntnis, sondern tatsächlich ein „keinen-festen-Wert-Haben“! • Dieser Zug der Quantentheorie kann nicht durch eine zugrundeliegende „lokalrealistische“ klassische Theorie erklärt werden (wie Einstein vermutet hat).

16. typisch quantenmechanische Situation Quantenspiel • 3 KandidatInnen, getrennt, jedeR bekommt eine Frage: • Geschmack ... süß oder sauer?  1 oder –1 • Temperatur ... heiß oder kalt?  1 oder –1 • Aufgabe: • Falls GTT, TGT oder TTG ... Das Produkt der Antworten soll 1 sein. • Falls GGG ... Das Produkt der Antworten soll –1 sein. • Gibt es eine sichere Strategie?  Quantenspiel

17. Quantenspiel • Strategiezettel: • Kandidat 1: T ... x1 G ... y1 (x1 und y1 ... 1 oder –1) • Kandidat 2: T ... x2 G ... y2 (x2 und y2 ... 1 oder –1) • Kandidat 3: T ... x3 G ... y3 (x3 und y3 ... 1 oder –1) • Anforderungen an die Strategie: • GTT ..... y1 x2 x3 = 1 • TGT ..... x1 y2 x3 = 1 • TTG ..... x1 x2 y3 = 1 • GGG .... y1 y2 y3 = –1 • Folgerung: y1 y2 y3 (x1)² (x2)² (x3)² = 1 •  y1 y2 y3 = 1 ... Widerspruch zu GGG!

18. Quantenspiel Verschränkte Teilchen haben eine solche Strategie! „GHZ-Zustand“ G und T entsprechen Messungen von Polarisationen mit unterschiedlich ausgerichteten Polarisatoren.  Nichtlokalität

19. Quantenkryptographie • Das BB84-Protokoll (Bennet und Brassard, 1984):Alice und Bob erzeugen einen Schlüssel, den nur sie kennen.Alice geht aus von einer Liste von Zufallszahlen 01101001... und präpariert Zustände in einer von 2 Basen 0 1 oder 0 1 und schickt sie an Bob. Bob misst in einer beliebigen Basis. Danach werden die verwendeten Basen offengelegt. Wann immer die gleiche Basis verwendet wurde, kennen beide die entsprechende Zahl, d.h. sie verfügen gemeinsam über eine Folge 010001... , mit der dann die Nachricht verschlüsselt (und durch einen klassischen Kanal versandt) wird.

20. Quantenkryptographie • Das Problem beim BB84-Protokoll: „Man-in-the-middle attack“ Ein Lauscher (Eve) fängt die von Alice versandten Qubits ab, misst in einer beliebigen Basis und schickt die Qubits weiter. Danach haben Alice und Eve den richtigen Schlüssel und Bob einen falschen! Eve kann die von Alice geschickte Botschaft entschlüsseln, während Bob nur Unsinn herausbekommt!Abhilfe: Alice und Bob vergleichen einige Kontroll-Bits öffentlich.Dadurch kann Eve entdeckt werden.Diese Methode ist aber nicht absolut sicher: Eve kann beispielsweise durch Zufall (25%) ein einzelnes Bit des Schlüssels (und daher der Nachricht) unentdeckt „mithören“.  Zur Idee der Quantenkryptographie

21. Quantenteleportation entzaubert  Teleportation mit Gicksen  Theorie der Teleportation  Teleportation in Bildern • Informationsübertragung durch einen klassischen Kanal (mit maximal Lichtgeschwindigkeit) ist nötig!Keine instantane Informationsübertragung möglich! • Wenn Bob versucht, den unbekannten Zustand herauszufinden, bevor er Alices Messresultat erfährt, läuft der Gefahr, bei Verwendung der falschen Basis den Zustand zu zerstören!In Quantenzuständen kann daher weniger Information gespeichert werden als auf den ersten Blick vermutet!

22. Quantenteleportation entzaubert • Gemischte Zustände: • Wird ein Zustand aus einer der Urnen gezogen, so ist im Nachhinein durch Messung nicht feststellbar, aus welcher! • Die beiden Ensembles sind nicht unterscheidbar! Sie stellen denselben „gemischten Zustand“ dar: • Ähnlich ist Bobs Situation, bevor er Alices Messresultat erfährt!

23. Quantencomputer • Richard Feynman, David Deutsch: Parallelrechnung in den Zweigen („Partialwellen“) einer Überlagerung • Wie viele elementare Rechenschritte sind nötig, um herauszufinden, ob zwei Zahlen (die jeweils 0 oder 1 sind) gleich sind?cl ... 2 / qu ... 1 • Wie viele Ablesungen sind nötig, um eine Nummer in einem Telefonbuch einer Millionenstadt zu finden?cl ... 500000 / qu ... 1000  Quantencomputer

24. Quantengravitation • Quantentheorie: Schrödingergleichung Anfangswertproblem:Wellenfunktion zur Zeit t = 0 vorgegeben Wellenfunktion zur Zeit t wird berechnet! • Allgemeine Relativitätstheorie: Die Variable ist die Geometrie von Raum und Zeit! Eine Gleichung der Form macht keinen Sinn, da t erst durch Geom bestimmt wird!

25. Quantengravitation • Eine formale Quantisierung der ART führt auf die Wheeler-DeWitt-Gleichung: • Interpretationsprobleme: • Wie kommt das Phänomen der Zeit zustande? • Was ist eine Messung? • Rechnerische Probleme: • Formal negative Wahrscheinlichkeiten • Schlimme Unendlichkeiten

26. Danke... ... für eure Aufmerksamkeit! Diese Präsentation gibt‘s im Web unter http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/Quantentheorie/sexagesimalien/