1 / 51

SPL HOMOGEN

SPL HOMOGEN. Bentuk umum: Dalam bentuk matrik :. SPL dengan m persamaan dan n variabel. A mn x = 0. pasti ada penyelesaian trivial (sederhana). SPL HOMOGEN. atau. Selalu konsisten. penyelesaian trivial + tak berhingga banyak penyelesaian taktrivial (tidak semuanya nol ).

oakes
Download Presentation

SPL HOMOGEN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SPL HOMOGEN Bentuk umum: Dalam bentuk matrik : SPL denganm persamaandannvariabel. Amnx = 0

  2. pasti ada penyelesaian trivial (sederhana) SPL HOMOGEN atau Selalukonsisten penyelesaian trivial + tak berhingga banyak penyelesaian taktrivial (tidak semuanya nol)

  3. ILUSTRASI: a1x + b1y = 0 (a1, b1keduanyatidaknol) a2x + b2y = 0 (a2, b2keduanyatidaknol) (a) Hanyasolusi trivial (b) Solusibanyak

  4. SPL homogen (m: persamaan, n: variabel) mempunyaikemungkinanpenyelesaian : Amn x = 0 • m > nhanyamempunyaisolusi trivial • m = n jika • m < n mempunyaisolusitidak trivial

  5. Contoh : (Solusi trivial) • Carilahpenyelesaian SPL homogenberikut : 3 a + b = 0 a – b = 0 Jawab : 4 a = 0 3 a + b = 0 3(0)+ b = 0 m = n 3 a + b = 0 a – b = 0 a = 0 b = 0

  6. m = n 2. Carilah penyelesaian SPL homogen berikut : x + 2 y = 0 - x – 2 y + z = 0 2x + 3 y + z = 0 Jawab :

  7. Pada matrik yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matrik A memiliki satu utama (matrik identitas), sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu :

  8. Contoh : (Solusitak trivial) • Carilahpenyelesaian SPL homogenberikutini : 3 a + b + c = 0 5 a – b + c = 0 Jawab : m < n b1(1/3) b21(-5) b12(-1/3) b2(-3/8)

  9. a = - 1 dan b = - 1 Jadi diperoleh : a = - ¼ c dan b = - ¼ c (solusi umum) Misalkan : c = 4 c = -4 c = 1 c = -1 a = 1 dan b = 1 a = - ¼ dan b = - ¼ a = ¼ dan b = ¼ Diperolehsolusitak trivial

  10. 2. Carilahpenyelesaian SPL homogenberikutini: • Jawab : • Bentukmatriks: m< n

  11. Bentukakhireselon-baristereduksi: Terdapat 2 variabelbebasyaitu x2dan x5 Misalkan : x2 = s dan x5 = t, makadiperoleh : solusiumum : dan penyelesaian trivialnya terjadi pada saat s = t = 0.

  12. 3. Carilahpenyelesaian SPL homogenberikutini : x1 + 2x3 + 3 x4 = 0 2x1 + x2 + 3x3 + 3 x4 = 0 x1 + x2 + x3 + x4 = 0 Jawab : m< n ~ Terdapat 2 variabelbebasyaitu : x3dan x4 Misalkan x3 = s dan x4 = t , makadiperoleh:

  13. solusi umum : Solusi trivialnya terjadi pada saat s = t = 0

  14. m = n 4. Carilahpenyelesaian SPL homogenberikutini : x – y + 2 z – w = 0 2x + y – 2 z – 2w = 0 x + 2y – 4 z + w = 0 3 x – 3w = 0 Jawab : ~ ~

  15. Pada matrik terakhir terlihat hanya 2 kolom yang memiliki satu utama atau terdapat 2 baris nol, ini berarti bahwa SPL tidak trivial dengan 2 variabel bebas yaitu z dan w. Dengan memisalkan z =s dan w = t, maka diperoleh penyelesaian umum : OBE pada SPL Homogen hanya dilakukan pada matrik A saja, karena tidak akan mempengaruhi hasil perhitungan.

  16. Metode Jacobi :

  17. Metode Jacobi : x1dan x2disebutbilanganiterasi Ketika n = 4, makabilanganiterasike 4 adalah Hasilakhirdarimetode Jacobi mendekatisolusisebenarnyayaitu : metode Jacobi menyatu ,sehinggadalamkasusini (konvergen)

  18. Metode Gauss – Seidel : denganpolaperhitungan zigzag Dapatdilihatbahwametode Gauss-Seidel padakasusinijugamenyatu, bahkanlebihcepatdibandingkan Jacobi

  19. Metode Gauss – Seidel denganjawabanmenyebar (divergen) Jawabansebenarnyaadalah : (lihatgambar)

  20. Diagonal matrik dominan sempurna Matrik A dikatakan memiliki diagonal dominan sempurna jika : Jika SPL nxnmempunyai diagonal dominansempurnapastimemilikisolusitunggal, sehinggaiterasimetode Jacobi’s maupun Gauss – Seidel mendapatkanhasil yang menyatu (konvergen)

  21. APLIKASI SPL SPL dapatdigunakanuntukmemecahkanmasalah-masalahdibidang, biologi, kimia, fisika, ekonomi, aruslalulintasdan lain-lain. • Aplikasi SPL dalambidangbiologi. • Ahlibiologimenempatkan 3 jenisbakteripadatabungreaksi yang diberitanda Strain I, Strain II dan Strain III. Ada 3 macammakanan yang berbeda (A, B dan C) yang setiapharidisediakanyaitu 2300 satuan A, 800 satuan B dan 1500 satuan C. Masing-masingbakterimengkonsumsisejumlahsatuanmakanansepertiditunjukkandalamtabel 1. Berapabanyakbakterisetiap Strain yang beradadalamtabungreaksi yang menghabiskanmakanan?

  22. Tabel 1. Konsumsimakanan Strain I Strain II Strain III Makanan A 2 2 4 Makanan B 1 2 0 Makanan C 1 3 1 Jawab : Misalkan : x1, x2dan x3 adalahjumlahbakteridari Strain I, Strain II dan Strain III. Bakteri Strain I mengkonsumsimakanan A per-harisebanyak 2 satuan, sehinggajumlah total makanan A yang dikonsumsi per-hariadalah 2 x1. Demikian pula untuk Strain II dan Strain III, mengkonsumsimakanan A per-harisebanyak 2x2dan 4x3

  23. Makanan A yang disediakan berjumlah 2300 satuan, dengan demikian dapat dituliskan persamaan berikut : 2x1 + 2x2 + 4x3 = 2300 Dengan cara yang sama dapat dituliskan persamaan untuk jenis makanan B dan C sebagai berikut : x1 + 2x2 = 800 x1 + 3x2 + x3 = 1500 Jadi terbentuk SPL dengan 3 variabel. Dengan OBE diperoleh : Strain I : 100 Strain II : 350 Strain III: 350

  24. 2. Samasepertisoal 1 namuntabel 1 diubahmenjaditabel 2. Tabel 2. Konsumsimakanan Strain I Strain II Strain III Jumlah Makanan A 1 1 1 1500 Makanan B 1 2 3 3000 Makanan C 1 3 5 4500 Jawab : SPL baru : x1– x3 = 0 x2– 2x3 = 0 Variabelbebas : x3 Misalkan : x3 = t Makax1= t x2 = 1500 – 2t

  25. Pada kenyataannya, jumlah bakteri tidak mungkin negatif. Oleh karenanya, t ≥ 0 dan 1500 – 2 t ≥ 0. Dari kedua ketidaksamaan tersebut diperoleh : 0≤ t ≤750. Dengan demikian terdapat 751 nilai t yang memenuhi dan bentuk persamaannya adalah :

  26. Aplikasi SPL dalambidangkimia. Persamaanreaksikesetimbangan Reaksi gas Hidrogen (H2) denganOksigen (O2) menghasilkan air (H2O) yang ditulisdalampersamaan reaksikesetimbangansebagaiberikut : 2 H2 + O2 Berarti 2 molekulHidrogendengan 1molekul Oksigenmembentuk 2 molekul air. Terjadikesetimbangankarenaruaskiridanruaskananmengandung 4 atom Hidrogendan 2 atom Oksigen 2 H2O

  27. Contoh: • Amonia (NH3) dalamOksigenmenghasilkan Nitrogen (N2) dan air. Tentukanpersamaanreaksikesetimbangankimianya. Jawab : Misalkanjumlahmolekuldariamonia, oksigen, nitrogen dan air adalah : w, x, y dan z. Makapersamaanreaksikesetimbangandapatditulisdalambentuk : wNH3 + xO2 Kemudianbandingkanjumlah atom nitrogen, hidrogendanoksigen yang direaksikandengan yang dihasilkan. yN2+ zH2O

  28. Diperolehpersamaansebagaiberikut : Nitrogen : w = 2y Hidrogen : 3w = 2z Oksigen : 2x = z Jikaditulisdalambentukpersamaan standard, makaterlihat SPL Homogendengan 3 persamaandan 4 variabelsebagaiberikut : w – 2 y = 0 3w – 2 z = 0 2 x – z = 0 m < n Tidak trivial

  29. Jadi : w = 2/3 z x = ½ z y = 1/3 z w = 4 x = 3 y = 2 z = 6 Persamaankesetimbanganditulissebagaiberikut: 4NH3 + 3O2 2N2+ 6H2O

  30. (x3)CO2 + (x4) H2O 2. Selesaikanpersamaanreaksipembakaran gas Propana (C3H8) olehOksigen (O2) berikutini : (x1)C3H8 + (x2)O2 Jawab : Penulisansecaramatriksetiapmolekuladalahsebagaiberikut : C3H8 : , O2 : , CO2 : dan H2O : Jumlah atom C, atom H dan atom O diruaskiriharussamadenganruaskanan. C H O

  31. x3 x4 x1 x2 + + = Maka : Terbentuk SPL Homogen berikut ini :

  32. x3 = 3 dan x2 = 5 x1 = 1 , Hasilnya : x1 = ¼ , x2 = 5/4, x3 = ¾ dan x4 = variabel bebas Ambil : x4 = 4, Maka persamaan reaksi kesetimbangan menjadi : C3H8 + 5O2 3CO2 + 4H2O

  33. Aplikasi SPL dalambidangfisika. SPL dalambidangfisikadifokuskandalammenentukanbesararuslistrik yang mengalirdalamsuaturangkaian. Digunakanhukum Kirchhoff : • Padatitikpersimpangan : Jumlaharus yang masuk = jumlaharus yang keluar • Padasuatu loop : Perhitunganaljabardaritegangan = perhitunganaljabarpenurunantegangan

  34. Berdasarkan hukum Ohm, penurunan tegangan E pada setiap resistor adalah : Dengan : i = kuat arus (ampere) dan R = resistor/hambatan (Ω) E= i R

  35. Contoh : Tentukan i1, i2dan i3padarangkaianberikutini : Jawab : Penyelesaiansoalinididasarkanpadahukum Kirchhoff dan Ohm denganmenggunakan SPL berikutini :

  36. Persamaanditulisdalamnotasimatrikdandiselesaikandengan OBE berikutini :

  37. Aplikasi SPL dalambidangekonomi. SPL dibidangekonomikebanyakandigunakanuntukmenentukanbiayaekuilibriumpengeluarandalamsuatuperiodetertentusehinggapendapatan yang adasesuaidenganpembelanjaannya. Contoh : Setiaptahun, sektorbarangdagangan (A) menjual 80% outputnyakepadasektorjasadansisanyadisimpan. Sedangkansektorjasa (B) menjual 60% outputnyakepadasektorbarangdagangandansisanyadisimpan. Bagaimanacarapenentuanbiayaekuilibriumsetiapsektorpertahunsehinggapendapatanmasing-masingsektorsesuaidenganpengeluaran ?

  38. Sektor Jasa (B) Sektor Barangdagangan (A) Buat daftar pengeluaran masing-masing sektor : Dibelioleh : 0,6 A 0,2 B 0,4 0,8 Kolommenunjukkan output, sedangkanbarismenunjukkanpengeluarannyamasing-masingsektor

  39. Maka SPL yang dihasilkanadalah : A = 0,2 A + 0,6 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (1) B = 0,8 A + 0,4 B 0,8 A – 0,6 B = 0 (2) Dalamnotasimatrik : Bila B = 80, maka A = 60. Jadi, biayaekuilibriumuntuksektorbarangdaganganadalah 60, sedangkansektorjasaadalah 80 Hasilumumnya : A = 6/8 B, dengan B adalah variabelbebas.

  40. Aplikasi SPL dalambidangaruslallulintas Padasuatudaerahterdapatjalanrayasepertigambardibawahini : Angka-angka yang terdapatpadagambarmenyatakanjumlahkendaraan yang melintasijalan. Denganprinsipbahwajumlahmobil yang masukmenujuketitikpersimpangan A, B, C dan D harussamadenganjumlah yang, keluar, tentukanjumlahkendaraanpada x1, x2, x3dan x4!

  41. x1 – x2 = 50 (1) Dengan demikian dapat ditulis SPLnya sebagai berikut : Titik persimpangan A: x1 + 380 = x2 + 430 Titik persimpangan B: x2 + 540 = x3 + 420 Titik persimpangan C: x3 + 470 = x4 + 400 Titik persimpangan D: x1 + 590 = x4 + 450 (2) x2 – x3 = –120 (3) x3 – x4 = –70 (4) x1 – x4 = – 140

  42. Dengan menggunakan OBE dari matrik, diperoleh :

  43. Hasil akhir SPL adalah konsisten dan mempunyai banyak himpunan penyelesaian. Jika diambil : x4= 420, maka : x1= 280 x2= 230 x3= 350

  44. Aplikasi SPL dalam bidang komputer Menganalisa jaringan komputer . Prinsipnya : Aliran masuk = aliran keluar

  45. Dengan menggunakan OBE Gauss-Jordan diperoleh : Hasilakhirmenunjukkan SPL konsistendenganbanyaksolusidanf4 merupakanvariabelbebas. Solusiumum : f1 = 15 – t f2 = 5 – t f3 = 20 + t f4 = t

  46. Soallatihan : • Tentukanpenyelesaian SPL Homogenberikutini: 2x1 – x2 +3x3 – x4= 0 x1 +2x2 – x3 + 2x4= 0 3x1+ x2 – 4x3 + x4= 0 4x1–3x2 – 2x3 + 3x4= 0 • Carinilai x1dan x2denganmetodeiterasi Jacobi dan Gauss-Seidel padapersamaanberikutini: 7x1– x2 = 6 x1– 5x2 = –4 Bandingkanhasil yang diperolehdenganhasil yang eksak (sesungguhnya).

  47. 3. Cari persamaan reaksi dari : NaHCO3 + H3C6H5O7 Na3C6H5O7 + H2O + CO2 4. Buatlah arah arus rangkaian listrik diagram di bawah ini, kemudian tentukan nilai dari masing-masing arus tersebut.

More Related