CZY WSZYSTKO MOŻNA POLICZYĆ NA KOMPUTERZE WSTĘP DO ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ

2. CZY WSZYSTKO MOŻNA POLICZYĆ NA KOMPUTERZEWSTĘP DO ZŁOŻONOŚCI OBLICZENIOWEJ Maciej M. Sysło Uniwersytet Wrocławski Uniwersytet UMK w Toruniu syslo@ii.uni.wroc.pl informatyka +

3. Algorytm, algorytmika Algorytm– opis rozwiązania krok po kroku postawionego problemu lub sposobu osiągnięcia jakiegoś celu Pierwszy algorytm – algorytm Euklidesa 300 p.n.e algorytm od Muhammad ibn Musa al-ChorezmiIX w. Algorytmika – dziedzina zajmująca się algorytmami i ich własnościami informatyka +

4. Algorytmy a informatyka Informatyka – jedna z definicji: dziedzina wiedzy i działalności zajmująca się algorytmami Donald E. Knuth: Mówi się często, że człowiek dotąd nie zrozumie czegoś, zanim nie nauczy tego – kogoś innego. W rzeczywistości, człowiek nie zrozumie czegoś (algorytmu) naprawdę, zanim nie zdoła nauczyć tego – komputera. Ralf Gomory (IBM): Najlepszym sposobem przyspieszania komputerów jest obarczanie ich mniejszą liczbą działań (szybszymi algorytmami) informatyka +

5. Czy wszystko można policzyć na komputerze Plan: • Superkomputery, superkomputery a algorytmy • Przykłady trudnych problemów • szukanie trasy objazdu • podnoszenie do potęgi • badanie złożoności liczb • porządkowanie (?) • Problemy, które mają efektywne algorytmy • problemy przeszukiwania zbioru • problemy wyszukiwania w zbiorach nieuporządkowanych i uporządkowanych • schemat Hornera • porządkowanie • Znaczenie zasady dziel i zwyciężaj • Problemy trudne, ponownie informatyka +

6. IBM – początki dużych komputerów Nie będą potrzebne duże komputery, najwyżej 5, Thomas J. Watson, IBM, 1948 informatyka +

7. Rozwój elektroniki informatyka +

8. Jednostki szybkości komputerów FLOPS (FLoting point Operations Per Second) – liczba operacji zmiennopozycyjnych (+/–, *, / na liczbach rzeczywistych) na sekundę KFlops (kilo flops) – 103 MFlops (mega flops) – 106 GFlops (giga flops) – 109 TFlops (tera flops) – 1012 PFlops (peta flops) – 1015 EFlops (exaflops) – 1018 ZFlops (zettaflops) – 1021 YFlops (yottaflops) – 1024 Zakładamy, że dysponujemy komputerem o mocy 1 PFlops, 1 000 000 000 000 000 op/sek informatyka +

9. Superkomputery, 1 – początki Superkomputer – najszybszy komputer w danej chwili Colossus, 1943 – 5 kOPS Z3, 1941 – 20 OPS (oper/sek.) informatyka +

10. Superkomputery, 2 – ostatnie lata Cray-1 (1976) – 250 MFlops Seymour Cray (1925-1996) IBM Blue Gine/L; 2005 – 180 TFlops 2007 – 478 TFlops Earth Simulator (2002) – 35 TFlops informatyka +

11. Superkomputery, 3 – stan z 2010 1st. Jaguar Cray XT – 1.759 PFlops 224162 procesory Opteron AMD macierz procesorów 136th. Galera, TASK, Gdańsk 50 TFlops Byłby 1st. w 2003 roku 2nd. Roadrunner IBM 1.105 PFlops informatyka +

12. Superkomputery, 4 – stan z 2010 Najszybszy procesor PC – Intel Core i7 980XE – 107.6 GFlops Rozproszone komputery – GIMPS (najw. l. pierwsze) – 44 TFlops Google – 300 TFlops Folding@home (proteiny) – 3.8 PFlops Przyszłość (przewidywania): 2010: 1 EFlops (1018) – Cray (?) 2019: 1 EFlops (1018) 2030: 1 ZFlops (1021) – przewidywanie pogody na 2 tygodnie informatyka +

13. Superkomputery i algorytmy • Algorytmy o różnej złożoności, dla danych o różnych rozmiarach wykonywane na superkomputerze o mocy 1 PFlops (1015). • Algorytmy w dwóch ostatnich wierszach: • odpowiadają rzeczywistym problemom • zwiększenie mocy komputerów niewiele pomoże • cała nadzieja w szybkich algorytmach • Algorytmy wielomianowe (5 pierwszych wierszy) i niewielomianowe. informatyka +

14. Problemy trudne, 1 – najkrótsza trasa premiera Problem: Znajdź najkrótszą trasę dla Premiera przez wszystkie miasta wojewódzkie. Rozwiązanie: Premier zaczyna w Stolicy a inne miasta może odwiedzać w dowolnej kolejności. Tych możliwości jest: 15*14*13*12*11*…*2*1 = 15! (15 silnia) W 1990 roku było: 48*47*46*…*2*1 = 48! (48 silnia) informatyka +

15. Problemy trudne, 1 – najkrótsza trasa premiera Wartości funkcji n! Rosną BARDZO SZYBKO Prezydent Stanów Zjednoczonych ma problem ze znalezieniem najkrótszej trasy objazdu Stanów. Na superkomputerze o mocy 1 PFlops – ile trwa obliczanie n! 15! = 1307674368000/1015 sek. = ok. 0.01 sek. 48! = 1,2413915592536072670862289047373*1061/1015 = 3*1038 lat 25! = 15511210043330985984000000/1015 sek. = 15511210043 sek. = = 179528 dni = 491 lat informatyka +

16. Problemy trudne, 1 – najkrótsza trasa premiera Trudno sprawdzić, jak dobre jest to rozwiązanie w stosunku do najlepszego, bo go nie znamy. Zły wybór • Algorytmy przybliżone szukania rozwiązań: • Metoda zachłanna – najbliższy sąsiad – mogą być bardzo złe • Meta-heurystyki: • algorytmy genetyczne – krzyżowanie i mutowanie rozwiązań • algorytmy mrówkowe – modelowanie feromonów informatyka +

17. Problemy trudne, 2 – liczby pierwsze Problemy dotyczące liczb pierwszych: • Dana jest liczba n – czy n jest liczbą pierwszą (złożoną)? Istnieją teoretycznie efektywne algorytmy, ale gdy n złożona, to nie dają rozkładu na czynniki Istnieją szybkie algorytmy probabilistyczne – odpowiedź jest poprawna z prawdopodobieństwem np. 1 – 1/2100 • Dana jest liczba n – rozłóż n na czynniki Nie jest znana szybka metoda – dobrze dla kryptografii: Klucze RSA: (n, e) – publiczny, (n, d) – prywatny. n – jest znane, i wiadomo, że n = p*q, p, q – pierwsze informatyka +

18. Szyfr RSA Ciekawa – Ewa Nadawca – Alicja Odbiorca – Bogdan Klucz prywatny: n, d Klucz publiczny: n, e Algorytm deszyfrujący M=Pdmod n Algorytm szyfrujący P=Me mod n Tekst zaszyfrowany P Tekst jawny M Tekst jawny M Liczby: n = p*q, p, q – duże liczby pierwsze e – względnie pierwsza z (p – 1)(q – 1) d – spełnia e*d = 1 mod (p – 1)(q – 1) Działania (przy szyfrowaniu): Podnoszenie dużych liczb do dużych potęg i branie reszty z dzielenia (mod) Bezpieczeństwo szyfru RSA – nawet najmocniejszy komputer nie jest w stanie znaleźć d, znając n i e, gdy nie zna rozkładu n = p*q . informatyka +

19. Problemy trudne, 2 – liczby pierwsze Problemy dotyczące liczb pierwszych: • Dana jest liczba n – znajdź wszystkie liczby pierwsze mniejsze od n– sito Eratosthenesa– raczej ciekawostka, mało praktyczna • Poszukiwanie największych liczb pierwszych Największa znana liczba pierwsza (liczba Mersenne’a): 243112609 – 1 Zawiera: 12 978 189 cyfr. Zajmuje 3461 stron. Serwis internetowy: http://www.mersenne.org/ Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS)– moc 44 TFlops informatyka +

20. Problemy trudne, 3 – podnoszenie do potęgi Kryptografia: Szyfr RSA bazuje na podnoszeniu do dużej potęgi dużych liczb, np. 12345678909876543212345678909876543211234567899876543211234567890123456789098765432112345678909876543211234567890987654321 Jak można szybko obliczać takie potęgi? Algorytm szkolny: xn = x*x*x* … * x n – 1 mnożeń Obliczenie małej potęgi: x12345678912345678912345678912345 trwałoby: 3*108 lat informatyka +

21. Problemy trudne, 4 – porządkowanie Problem porządkowania (sortowania) Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x1, x2, ..., xn Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej Przestrzeń możliwych rozwiązań: n! – możliwych permutacji Ale znamy algorytmy wykonujące: n2lub n log nporównań informatyka +

22. Proste problemy i ich efektywne algorytmy Problemy, które są bardzo często rozwiązywane przez komputery, więc potrzebne są szybkie algorytmy: • Poszukiwanie elementów w zbiorze uporządkowanym • Znajdowanie najmniejszego/największego elementu • Znajdowanie drugiego największego elementu w zbiorze • Jednoczesne znajdowanie minimum i maksimum • Porządkowanie elementów • Obliczanie wartości wielomianu – Schemat Hornera informatyka +

23. Poszukiwanie elementu w zbiorze Problem poszukiwania elementu w zbiorze – specyfikacja Dane:Zbiór elementów w postaci ciągu n liczb x1, x2, ..., xn. Wyróżniony element y Wynik: Jeśli y należy do tego zbioru, to podaj jego miejsce (indeks) w ciągu, a w przeciwnym razie – sygnalizuj brak takiego elementu w zbiorze Dwa przypadki: • Nieuporządkowany ciąg liczb x1, x2, ..., xn • Uporządkowany ciąg liczb x1, x2, ..., xn Nasz cel: Jakie są korzyści z uporządkowania? Jak utrzymywać porządek wśród informacji? – wstaw y do ciągu informatyka +

24. Poszukiwanie elementu w zbiorze – przykład Przeszukiwanie książki telefonicznej Poszukiwanie numeru telefonu danej osoby Dane:Nazwiska, adresy, numery telefonów … – książka telefoniczna. Ciąg danych x1, x2, ..., xn– kartki książki z danymi o numerach Wyróżniony element y – nazwisko osoby, której numeru szukamy Wynik: Jeśli osoba y ma numer telefony w książce, to podaj na której stronie, a w przeciwnym razie – sygnalizuj brak danych o y Poszukiwanie osoby o danym numerze telefonu Dane:Książka telefoniczna. Ciąg danych x1, x2, ..., xn– kartki książki z danymi o numerach Wyróżniony element y – numer telefonu osoby, której szukamy Wynik: Jeśli istnieje osoba z numerem telefonu y, to podaj jej nazwisko, a w przeciwnym razie – sygnalizuj brak takiej osoby Książka telefoniczna uporządkowana alfabetycznie nazwiskami Książka telefoniczna nieuporządkowana alfabetycznie numerami informatyka +

25. Poszukiwania w zbiorze nieuporządkowanym Algorytm – Poszukiwanie liniowe Krok 1. Dla i = 1, 2, ..., n, jeśli xi = y, to przejdź do kroku 3. Krok 2. Komunikat: W ciągu danych nie ma elementu równego y. Zakończ algorytm: – wynik: –1 Krok 3. Element równy y znajduje się na miejscu i w ciągu danych. Zakończ algorytm: wynik: i begin i:=1; while (x[i]<>y) and (i<n) do i:=i+1; if x[i]=y thenPrzeszukiwanieLiniowe:=i else PrzeszukiwanieLiniowe:=-1 end Przykład: Dane: ciąg: 2, 5, 1, 4, 10, 7. y = 1 Wynik:i = 3 Pewna niedogodność – sprawdzanie, czy koniec ciągu. informatyka +

26. Poszukiwania w zbiorze nieuporządkowanymz wartownikiem Algorytm – Poszukiwanie liniowe z wartownikiem Takie same kroki algorytmu inna implementacja, czyli komputerowa realizacja: na końcu ciągu: x1x2 x3x4 … xn begin i:=1; x[n+1]:=y; while x[i]<>y do i:=i+1; ifi<=nthenPrzeszukiwanieLinioweWartownik:=i else PrzeszukiwanieLinioweWartownik:=-1 end wstawiamy wartownika – pilnuje końca ciągu xn+1 Nie ma sprawdzania, czy koniec ciągu informatyka +

27. Poszukiwanie w zbiorze uporządkowanymZabawa w zgadywanie liczby Zgadywana liczba: 17 w przedziale [1 : 20] Metoda: połowienia przedziału Kolejne kroki: strzałka wskazuje wybór; kolor czerwony – ciąg do przeszukania: 5 porównań zamiast 20 !!! informatyka +

28. Poszukiwanie przez połowienie Złożoność (1) Liczba kroków w algorytmie połowienia: Ile razy należy przepołowić ciąg o danej długości, aby znaleźć element lub miejsce dla niego? Przykład dla n = 1200 Kolejne długości ciągu: 1200, 600, 300, 150, 75, 38, 19, 10, 5, 3, 2, 1 11 razy dzielono ciąg o długości 1200, by pozostał 1 element Liczba porównań w algorytmach poszukiwania dla n = 1200: • przez połowienie 11 • liniowy 1200 Porównaj, jaka jest potęga uporządkowania !!! informatyka +

29. Poszukiwanie przez połowienie złożoność (2) Dla n = 1200 liczba porównań w algorytmie połowienia wyniosła 11 Pytania: • Jak liczba porównań zależy od n? • Jak dobry jest to algorytm? Liczba porównań dla różnych n: Algorytm poszukiwania przez połowienie jest optymalny, czyli najszybciej przeszukuje zbiory uporządkowane. n liczba porównań 100 7 1 000 10 10 000 14 100 000 17 1 000 000 20 10 000 000 24 logarytm to anagram od algorytm Funkcja logarytm, bardzo ważna w algorytmice ok.log2n informatyka +

30. Poszukiwanie interpolacyjne functionPrzeszukiwanieBinarne(x:tablicax; k,l:integer; y:integer):integer; {Przeszukiwanie binarne ciagu x[k..l] w poszukiwaniu elementu y.} varLewy,Prawy,Srodek:integer; begin Lewy:=k; Prawy:=l; whileLewy<=Prawydo begin Srodek:=(Lewy+Prawy) div 2; if x[Srodek]=y then begin PrzeszukiwanieBinarne:=Srodek; exit end; {element y nalezy do przeszukiwanego ciagu} if x[Srodek]<y thenLewy:=Srodek+1 elsePrawy:=Srodek-1 end; PrzeszukiwanieBinarne:=-1 end Srodek = lewy + (prawy – lewy)/2 Srodek = lewy + (y – x[lewy])(prawy – lewy)/(x[prawy] – x[lewy]) Przeciętny czas interpolacyjnego umieszczania wynosi ok. log log n informatyka +

31. Suwaki logarytmiczne Na wyposażeniu każdego inżyniera do 1972 roku Skala 30 cm Skala 150 cm Skala 12 m informatyka +

32. Znajdowanie elementu w zbiorze Znajdź w zbiorze element o pewnych własnościach: • najwyższego ucznia w swojej klasie – metoda spaghetti • jak zmieni się Twój algorytm, jeśli chciałbyś znaleźć w klasie najniższego ucznia • znajdź w swojej klasie ucznia, któremu droga do szkoły zabiera najwięcej czasu • znajdź najstarszego (lub najmłodszego) ucznia w swojej szkole • znajdź największą kartę w potasowanej talii kart • znajdź najlepszego tenisistę w swojej klasie – nie ma remisów • znajdź najlepszego gracza w warcaby w swojej klasie – możliwe są remisy Podstawowa operacja – porównanie: • dwóch liczb lub kombinacji liczb (data, karty): czy x < y ? • dwóch zawodników: rozegranie meczu informatyka +

33. Znajdowanie elementu w zbiorze Różnica między dwoma problemami: Czy zbiór zawiera y? Dane: Ciąg n liczb x1, x2, ..., xn Wyróżniony element y Wynik: Czy w ciągu jest element y ? Przeszukujemy ciąg aż znajdziemy y, Przeglądamy cały ciąg, by stwierdzić, że nie zawiera y. Uporządkowanie ciągu ułatwia. Znajdź w zbiorze element o pewnych własnościach Dane: Ciąg n liczb x1, x2, ..., xn Wynik: Najmniejsza wśród liczb x1, x2, ..., xn Trzeba przejrzeć cały ciąg. Zakładamy, że ciąg nie jest uporządkowany. informatyka +

34. Specyfikacja problemu Specyfikacja problemu – dokładne opisanie problemu Problem Min – Znajdowanie najmniejszego elementu w zbiorze Dane: Liczba naturalna n i zbiór n liczb dany w ciągu x1, x2, ..., xn Wynik: Najmniejsza wśród liczb x1, x2, ..., xn – oznaczmy ją min Metoda rozwiązania: przeszukiwanie liniowe – od lewej do prawej Algorytm Min – Znajdowanie najmniejszego elementu w zbiorze Krok 1.Przyjmij za min pierwszy element w zbiorze (w ciągu), czyli przypisz min := x1. Krok 2.Dla kolejnych elementów xi, gdzie i = 2, 3, ..., n, jeśli min > xi, to przypisz min := xi. Algorytm Max – prosta modyfikacja: zamiana > na < Wyznaczanie imin– indeksu elementu o wartości min imin := 1 imin := i informatyka +

35. Pracochłonność algorytmu Min • Porównanie – podstawowa operacja w algorytmie Min. • Pracochłonność (złożoność obliczeniowa) algorytmu – liczba podstawowych operacji wykonywanych przez algorytm. • Pytanie: Ile porównań wykonuje algorytm Min? • Odpowiedź: o jedno mniej niż jest elementów, czyli n – 1 Pytania: • Czy można szybciej? • Czy istnieje szybszy algorytm znajdowania min? • A może metoda pucharowa wyłaniania zwycięzcy w turnieju jest szybsza? informatyka +

36. Wyłanianie najlepszego zawodnika w turniejuczyli inny sposób znajdowania max (lub min) Porównania – mecze Tomek Ośmiu zawodników: 7 meczy n zawodników: n – 1 meczy a więc nie jest szybsza Tomek Bartek Jednak jest szybciej. Gdy liczmy równolegle Bartek Tomek Witek Tolek Bolek Bartek Romek Tomek Zenek Felek Witek Tolek informatyka +

37. A może mamy algorytm najlepszy? Podsumowanie: Mamy dwa algorytmy znajdowania min lub max: • przeszukiwanie liniowe • rozegranie turnieju które na zbiorze n elementów wykonują n – 1 porównań Może nie ma szybszego algorytmu? TAK! Hugo Steinhaus tak to uzasadnił: Jeśli Tomek jest zwycięzcą turnieju, w którym startuje n zawodników, to każdy inny spośród n – 1 zawodników musiał przegrać przynajmniej raz, a zatem rozegrano przynajmniej n – 1 meczy. Zatem każdy algorytm musi wykonać przynajmniej n – 1 porównań, czyli nasze algorytmy są najszybsze – są optymalne. informatyka +

38. A jak znaleźć drugiego najlepszego zawodnika w turnieju? Tomek Czy jest nim Bartek? Bo przegrał z Tomkiem? Ale Bartek nie grał z drugą połową! Tomek Bartek ??? Tylko dwa dodatkowe mecze! ??? Bartek Tomek Witek Tolek Bolek Bartek Romek Tomek Zenek Felek Witek Tolek informatyka +

39. Jednoczesne znajdowanie min i max Obserwacja: jeśli x  y, to x kandydatem na min, a y kandydatem na max Algorytm „dziel i zwyciężaj”: Krok 1. Podział na kandydatów na min i kandydatów na max Kandydaci na max max = 8 5 ↑ 5 ? 3 ↓ 3 5 ↑ 2 ? 5 ↓ 2 3 ↑ 3 ? 1 ↓ 1 2 ↑ 2 ? 2 ↓ 2 8 ↑ 4 ? 8 ↓ 4 Porównania parami 3 1 2 2 5 3 4 8 2 5 min = 1 Kandydaci na min Krok 2. Znajdź min i max • Liczba porównań: • algorytm naiwny: n – 1 (min) + n – 2 (max) = 2n – 3 • algorytm dziel i zwyciężaj: n/2(podział)+ (n/2–1)(min) + (n/2–1)(max) • ok. 3n/2 – 2 – jest to algorytm optymalny informatyka +

40. Problem porządkowania (sortowania) Problem porządkowania (sortowania) Dane: Liczba naturalna n i ciąg n liczb x1, x2, ..., xn Wynik: Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej Algorytm: porządkowanie przez wybór – Selection Sort Idea: najmniejszy wśród nieuporządkowanych daj na początek Krok 1. Dla i = 1, 2, ..., n – 1wykonaj kroki 2 i 3, a następnie zakończ algorytm Krok 2. Znajdź k takie, że xk jest najmniejszym elementem w ciągu xi, ..., xn Krok 3. Zamień miejscami elementy xi oraz xk informatyka +

41. Złożoność porządkowania przez wybór Liczba zamian elementów w kolejnych krokach: 1 + 1 + 1 + … + 1 = n – 1 Liczba porównań w kolejnych krokach: (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) + … + 3 + 2 + 1 = ? Przykład n = 6 Pole prostokąta: 5 x 6 Suma = pole czarnych diamentów: 5 x 6 2 Ogólnie suma: (n – 1) x n 2 Liczby trójkątne 5 = n – 1 6 = n informatyka +

42. Sortowanie przez scalanie – scalanie Scalanie – z dwóch uporządkowanych ciągów utwórz jeden uporządkowany Algorytm scalania. Scal. Dane: dwa ciągi uporządkowane Wynik: scalony ciąg uporządkowany Krok: do tworzonego ciągu pobieraj najmniejszy element z czoła scalanych ciągów Scalane ciągi Scalanie 1 3 5 7 10 12 1 3 5 7 10 12 1 2 6 9 11 15 17 20 1 2 6 9 11 15 17 20 Scalony ciąg 1 1 2 3 5 6 7 9 10 11 12 15 17 20 informatyka +

43. Sortowanie przez scalanie – scalanie Scalane ciągi Scalone ciągi, w innym miejscu informatyka +

44. Sortowanie przez scalanie – opis Rekurencyjne wywołania na podciągach Metoda dziel i zwyciężaj Algorytm porządkowania przez scalanie MergeSort(l,p,x) Dane:Ciąg liczb xl, xl+1, …, xp Wynik:Uporządkowanie tego ciągu liczb od najmniejszej do największej. Krok 1.Jeśli l < p, to przyjmij s:=(l+p) div 2 i wykonaj trzy następne kroki. { s w połowie ciągu} Krok 2.MergeSort(l,s,x) – sortowanie pierwszej połowy ciągu Krok 3. MergeSort(s+1,p,x) – sortowanie drugiej połowy ciągu Krok 4. Zastosuj algorytm Scal do ciągów (xl, …, xs) i (xs+1, …, xp) i wynik umieść w ciągu (xl, …, xp). informatyka +

45. Sortowanie przez scalanie DEMO 2 1 2 9 5 0 dziel 2 1 2 9 5 0 dziel dziel 2 1 9 5 0 2 dziel dziel 1 5 2 9 scal scal 5 9 1 2 scal scal 0 5 9 1 2 2 scal 0 1 2 2 5 9 informatyka +

46. Sortowanie przez scalanie DEMO Posortowana jest już pierwsza połowa ciągu i w trakcie sortowania drugiej połowy, scalane są dwa podciągi z pierwszej części drugiej połowy, uporządkowane wcześniej rekurencyjnie tą samą metodą Posortowana pierwsza połowa ciągu Scalane ciągi Wynik scalania dodatkowym miejscu informatyka +

47. Proste problemy i ich efektywne algorytmy • Poszukiwanie elementów w zbiorze: • nieuporządkowanym n porównań optymalny • uporządkowanym n log n optymalny • Znajdowanie najmniejszego/największego elementu • n – 1 porównań optymalny • Znajdowanie pierwszego i drugiego największego elementu w zbiorze • n + log2n – 2 optymalny • Jednoczesne znajdowanie minimum i maksimum • 3n/2 – 2 optymalny • Porządkowanie elementów • n 2– przez wybór; n log n – przez scalanie – optymalny • Schemat Hornera • n mnożeń i n dodawań optymalny informatyka +

48. Problemy trudne, 2 – liczby pierwsze, ponownie Problemy dotyczące liczb pierwszych: • Dana jest liczba n – czy n jest liczbą pierwszą (złożoną)? • Dana jest liczba n – rozłóż n na czynniki Algorytm kolejnego dzielenia: i : = 2; whilei*i <= n do begin if n modi = 0 then return 1 {n dzieli się przez i} i := i + 1 end; return 0 {n jest liczbą pierwszą} Złożoność: n1/2 mnożeń (*) i dzieleń (mod) Wniosek: jeśli liczba jest np. 10200, to złożoność 10100 – to trwałoby lata nawet na Cray Szyfr RSA jest bezpieczny! informatyka +

49. Problemy trudne, 3 – podnoszenie do potęgi, again Kryptografia: Chcemy obliczać: 12345678909876543212345678909876543211234567899876543211234567890123456789098765432112345678909876543211234567890987654321 Algorytm szkolny: xn = x*x*x* … * x n – 1 mnożeń Obliczenie małej potęgi: x12345678912345678912345678912345 – 3*108 lat Algorytm rekurencyjny, korzysta ze spostrzeżenia: • jeśli m jest parzyste, to xm = (xm/2)2 • jeśli m jest nieparzyste, to xm = (xm –1)x (m – 1 staje się parzyste). Przykład: m = 22 x22 = (x11)2 = ((x10) x)2 = ((x5)2x)2 = (((x4)x)2x)2 = (((x2)2x)2x)2 = x22 • Kolejne mnożenia: x2, x4 = (x2)2, x5 = (x4)x, x10 = (x5)2, x10x = x11, (x11)2 = x22 Liczba mnożeń: 6 zamiast 21 informatyka +

50. Podnoszenie do potęgi – łatwy problem Potega(x,n) { xn } if n=1 thenPotega:=x elseif n – parzyste then Potega:=Potega (x,n/2)^2 {xn = (xn/2)2} elsePotega:=Potega (x,n–1)*x {xn = (xn–1)x} Złożoność (liczba mnożeń): liczba bitów w rozwinięciu n – podnoszenie do kwadratu – ok. log2n plus liczba jedynek w rozwinięciu n – mnożenie przez x – nie więcej niż log2n Razem: nie więcej niż 2*log2n Długość rozwinięcia binarnego liczb: A zatem, obliczenie x12345678901234567890123456789012345 algorytmem rekurencyjnym to ok.… 200 mnożeń informatyka +