Invariantes operatorios en la resolución de ecuaciones

1. De la aritmética al álgebra Omar A. Cabrera Gladys E. Fusco Invariantes operatorios en la resolución de ecuaciones MATEMÁTICA NATURAL Para los primeros años de la educación media (adolescentes y adultos)

2. Experiencia y propuesta En primeros cursos de escuelas secundarias argentinas (de adolescentes y adultos), hemos enseñado ecuaciones con una metodología basada en justificaciones matemáticas que los estudiantes construyeron en base a conocimientos previos. Proponemos considerar en la enseñanza las tareas invariantes que realiza un experto al resolver ecuaciones (generalmente de manera implícita) y sus invariantes operatorios asociados, justificando así sus acciones. Ello le permite evitar y corregir errores. Intentamos dar un aporte para favorecer el proceso de construcción de justificaciones en los primeros pasos de la enseñanza del álgebra, a fin de evitar o disminuir el fracaso escolar en el área. En colegios de población estudiantil desfavorecida económica y socialmente, obtuvimos resultados aceptables. Pero no pretendemos conocer ni presentar aquí la mejor manera de enseñar a resolver ecuaciones.

3. Tres tareas invariantes en la resolución de ecuaciones • Análisis de la ecuación • Identificación de la operación prioritaria • Control de la validez de las transformaciones Cada tarea se realiza mediante la aplicación de uninvariante operatorio Los invariantes operatorios (introducidos por Piaget) dirigen el reconocimiento, por parte del individuo, de los elementos pertinentes a la situación. Son los conocimientos -contenidos en los esquemas- que constituyen la base, implícita o explícita, para obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las reglas de acción adecuadas.

4. Metodología de las clases • Las clases se desarrollan con un modo heurístico colectivo, lo cual requiere un trabajo tutelar intenso por parte del docente. • Las preguntas del modo heurístico tienen una doble intención educativa: favorecer el descubrimiento de las soluciones por parte del estudiante y evitar la aplicación de reglas sin justificación. • El campo referencial elegido es el de los números naturales porque su operatoria es uno de los dominios construidos en la escuela primaria con mayor firmeza y generalización, lo cual, además de posibilitar significación para el estudiante, favorece la heurística colectiva. • Las propiedades aplicadas implícitamente dificultan la detección temprana de errores. Por ello, se propicia la realización de todas la explicitaciones posibles, aún de los razonamientos supuestamente triviales.

5. PRIMER PROCEDIMIENTO Sustituciones sucesivas

6. Sustituciones sucesivas Esta manera de presentar lasprimeras ecuaciones constituye una práctica docente habitual, naturalmente inducida por la búsqueda de construcciones significativas. Tarea invariante:Análisis de la ecuación • Se interpreta la ecuación como un ejercicio de cálculo numérico con resultado conocido. • Uno de los números participantes es desconocido. Se lo representa con la letra x llamada incógnita. • Resolver la ecuación es averiguar cuál es ese número. Para ello, con un trabajo netamente aritmético, se sustituye la incógnita por distintos números naturales hasta obtener la igualdad numérica verdadera 80=80. Tarea invariante:Identificación de la operación prioritaria • Los cálculos se realizan identificando y respetando las operaciones prioritarias. Esta tarea invariante se realiza aquí implícitamente. Tarea invariante:Control de la validez de la acción • El valor verdadero de la igualdad obtenida permite identificar y validar la solución. Se trata, implícitamente, el primer miembro como una función de variable independiente x: Si x=0 el resultado no es un número natural, si x=1 el resultado es cero, ….. Para x=5 se obtiene la igualdad numérica verdadera 80=80 El invariante operatorio de la tarea es la conservación del valor de verdadde la igualdad, justificación más general en la resolución de ecuaciones. Los alumnos utilizan implícitamente dicho invariante. Por ser, para ellos, una propiedad evidente, la obtención del valor verdadero de la igualdad constituye la justificación del procedimiento. S = {5} Conjunto referencial: N El invariante operatorio es una suma heterogénea de conocimientos sobre propiedades de las operaciones y convenciones de orden de resolución. El invariante operatorio es el concepto de ecuación

7. SEGUNDO PROCEDIMIENTO Construcción implícita de ecuaciones reducidas o intermedias

8. Construcción implícita de ecuaciones mediante señalamientos gráficos Eliminada Eliminada 4 3 S={4} 2 ¿Qué número más 3 da 7? Eliminada 10 1 ¿40 menos qué número da 30? Eliminada Luego de resolver diversas ecuaciones mediante sustituciones de la incógnita, algunos alumnos comienzan naturalmente a “desandar el camino” para ganar tiempo y comodidad, procedimiento que proponemos enseñar formalmente graficándolo con curvas cerradas. 49 7 Tarea invariante: identificación de las operaciones prioritarias ¿40 menos qué número da 10? ¿490 dividido qué número da 10? ¿Qué número elevado al cuadrado da 49? Desandamos el camino eliminando las operaciones numeradas, en el orden inverso la identificación Explicitamos prioritarias de las operaciones

9. TERCER PROCEDIMIENTO Escritura de ecuaciones reducidas

10. Ecuaciones reducidas Desarmamos la ecuación escribiendo ecuaciones reducidas encolumnadas, adelantando la disposición habitual de la resolución mediante “pasajes numéricos” o propiedades uniformes. Numeramos las operaciones en el orden que seguiríamos para resolver las operaciones conociendo el valor de x. 4 3 2 1 Y eliminamos la operación 4 ¿40 menos qué número da 30? Y eliminamos la operación 3 ¿ 490 dividido qué número da 10? x+3=7 Y eliminamos la operación 2 ¿Qué número elevado al cuadrado da 49? S={4} Tarea invariante: Identificación de las operaciones prioritarias Y eliminamos la operación 1 ¿Qué número más 3 da 7?

11. CUARTO PROCEDIMIENTO Construcción de modelos sencillos para accionar mediante comparaciones

12. Ecuación literal Consigna: despejar x Invento para comparar (IPC) Elijo x=2 y construyo una ecuación “igual que la otra" pero con naturales Despejando sin pasajes Tarea invariante:Análisis de la ecuación El concepto de ecuación construido posibilita la creación de un modelo numérico. Las transformaciones observadas en su tratamiento llevan implícitas las otras tareas invariantes de nuestro interés: las operaciones prioritarias y el control de la validez de las acciones, este último, a través de la resolución de cálculos sencillos. Entonces divido D: F ¿24 dividido qué número da 6? 10-3.x = 4 El “desarme escrito” de la ecuación numérica construida (IPC) ya no es medio sino instrumento. 24 y 6 se transformaron en 4. La operación es 24: 6, o sea “dividendo dividido cociente”. ¿10 menos qué número da 4? Entonces resto A – D:F Se postergan técnicas de resolución rápidamente mecanizables para favorecer un proceso de conceptualización. 3.x = 6 La ecuación se va reduciendo en cada paso y se observa una regularidad: la reducción de las ecuaciones consiste en el reemplazo de dos números por un tercero; y existe una operación que los relaciona. Decimos aquí, por primera vez, que se producen transformaciones, abonando el terreno del desarrollo algebraico. Tendemos un puente entre la aritmética y el álgebra sin que se produzca aún ruptura alguna, pues es un puente de ida (coherente con el surgimiento histórico del álgebra a partir de la aritmética) pero también de vuelta (las operaciones aritméticas son matriz y justificación de las acciones literales). 10 y 4 se transformaron en 6. La operación es 10-4, o sea “minuendo menos resta”. Entonces divido (A-D:F):B ¿3 por qué número da 6? x = 2 6 y 3 se transformaron en 2. La operación es 6:3, o sea “producto dividido factor”.

13. El poder mencionar los elementos relacionados con sus denominaciones genéricas (acción resistida por muchos alumnos) favorece un avance en cuatro sentidos: 1º)Identificación del álgebra como una generalización de la aritmética,2º) Desarrollo del nivel de abstracción,3º) Comunicación en el trabajo colectivo,4º) Interpretación de textos. Invento para comparar (IPC) Análisis de la ecuación: Avanzamos acá en el tránsito de la aritmética al álgebra, otorgando más importancia a las relaciones entre elementos de diferentes conjuntos que a los elementos mismos. Los cálculos con enteros negativos y fracciones fueron realizados con calculadoras. En algunos cursos, fue la manera de comenzar el trabajo en esos campos numéricos. Ecuaciones simultáneas Elijo x=2 Minuendo menos resta ¿8 menos qué número da 5? Resolución simultánea de tres ecuaciones con la misma estructura, construyendo un solo IPC (invento para comparar). Nuevamente, el “desarme escrito” de la ecuación construida con naturales pequeños (IPC) es una herramienta para decidir y justificar transformaciones más complejas. Se efectúa así el control de la validez de las mismas, tarea invariante fundamental. Dividendo dividido cociente Al no trabajar con naturales pequeños, se revela aquí con más fuerza la importancia de otra tarea invariante: los cálculos numéricos. ¿18 dividido qué número da 3? Suma menos sumando ¿qué número más 4 da 6?

14. QUINTO PROCEDIMIENTO Los pasajes numéricos de un miembro a otro de la igualdad

15. Los pasajes numéricos Para eliminar una sustracción el sustraendo pasa como sumando Al presentárseles cálculos de difícil resolución mental (x+2343=89765, 567.x= 7938, etc.) algunos estudiantes comienzan a realizar transformaciones equivalentes a los “pasajes numéricos”. Otros siguen prefiriendo los IPC (modelos construidos para trabajar por comparación), actitud que apoyamos: nuestro objetivo es favorecer procedimientos que los alumnos puedan justificar. La doble implicación de las definiciones de sustracción, división exacta y radicación exacta validan así todos los movimientos. Validación 10:2=5 porque 10=5.2 Validación 6-2=4 porque 6=4+2 Suma más sustraendo es igual a minuendo Cociente por divisor igual a dividendo Para eliminar una división el divisor pasa como factor

16. Los pasajes numéricos Podemos evitar la mención de “pasajes numéricos” y hacer referencia directa, en cada transformación, a las relaciones entre los roles que cumplen los distintos números (minuendo, sustraendo, divisor, etc.). Generalmente, los estudiantes terminan hablando (o pensando) en términos de “pasajes”, lo cual no estimamos negativo si son capaces de justificar matemáticamente sus acciones. Realizan “pasajes” o “trasposiciones de términos” aunque hayan aprendido con la aplicación de propiedades uniformes e incluso, pese a la prohibición que decretan en algunos centros universitarios luego de enseñar los procedimientos y justificaciones propios del álgebra.

17. Los pasajes numéricos Conjunto referencial: N 8.(10+x)-3.x = 2.(12-x)+7.x+56 80+8.x-3.x = 24-2.x+7.x+56 No podemos efectuar, en N, -2.x+7.x 80+5.x = 24-2.x+7.x+56 Restamos 8.x-3.x 5.x +80-56 = 7.x+24-2.x Conmutamos sumandos y pasamos 56 5.x+24+2.x = 7.x+24 Pasamos el sustraendo 2.x 5.x+2.x+24 = 7.x+24 Conmutamos los sumandos 24 y 2.x 7.x+24 = 7.x+24 Asociamos 5.x con 2.x y sumamos Queda explicitada la identidad. Si continuamos despejando x: 7.x-7.x = 24-24 0.x = 0 ¿Qué número por cero da cero? Todos los naturales El control de la validez de las soluciones, único control generalmente efectuado, se realiza no sólo para descartar errores sino, también, para corroborar la pertenencia a los dominios funcionales. La focalización de la atención en cada miembro de la ecuación, es propia de la construcción de sendas funciones implícitas. No se conserva el conjunto solución, hecho debido a la conmutación de los sumandos 24-2.x y 7.x del segundo miembro. La nueva ecuación es una identidad con conjunto solución N. Debemos prestar atención a la conservación de los dominios naturales de las funciones de ambos miembros. Las funciones implícitas construidas se conservan. El control de los términos transferidos a cada nueva expresión–otra importante tarea invariante- se puede realizar hallando la imagen de cualquier valor natural admitido por cada función. Por ejemplo, para x=2, se obtiene imagen 90 en los tres primeros miembros. El invariante operatorio correspondiente es la conservación de una identidad. Las restricciones que se presentan al trabajar sólo con naturales complican algunos procedimientos como el desarrollado. Es más apropiado, por conceptualización y comodidad, plantear la resolución de este tipo de ecuaciones mediante tablas comparativas de valores funcionales. Pero sólo los menores que 13 transforman la ecuación inicial en una igualdad numérica verdadera, trabajando en el referencial N. Por lo tanto, el conjunto de las soluciones es: S={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

18. 300 + x . 100 = 700 2 . (x+1) - 7 = 3 2005 + x - 300 = 2006 (2.x + 1) : 3 = 7 La variedad e historia de las situaciones planteadas enriquece el análisis de la ecuación Tarea invariante : análisis de la ecuación Consigna Une con una flecha cada enunciado coloquial con una ecuación que lo represente. • Un cociente es siete. El dividendo es la suma entre el duplo de cierto número desconocido y el número uno. El divisor es tres. ¿Cuál es el número desconocido? • La resta entre el duplo del sucesor de cierto número natural y siete, es tres. ¿Cuál es dicho número? • En cierta juguetería se vendieron en 2006 cien veces más autitos que en 2005. Aún quedan 300 autitos, de un stock inicial de 700. ¿Cuántos se vendieron en 2005? • Jugando a la ruleta en el Casino, gané el doble de fichas de $30 que en el mes de junio. Agregué una ficha más y las repartí entre mis tres amigos. Cada uno recibió siete fichas. ¿Cuántas fichas gané en junio? • En este mes, agosto, cobré un centenar de pesos más que en julio. Luego dupliqué ese sueldo con un negocio inmobiliario pero tuve que pagar $700 de impuestos. Me quedan aún $300. ¿Cuánto cobré en julio? • La tercera parte del producto entre cierto número aumentado en una unidad y el número dos, es igual a siete. ¿Cuál es ese número? • El lunes Juanito se encontró una canica en la calle. Al día siguiente su mamá le regaló una cantidad igual a la que tenía. Juanito le dió entonces siete canicas a su hermano menor, quedándose con tres. ¿Cuántas canicas tenía inicialmente? Tres situaciones distintas son representadas por la misma ecuación. Un concepto se torna significativo a partir de una variedad de situaciones. Las situaciones dan sentido al concepto.

19. Funciones Objetivo del ejercicio: Definir por extensión los conjuntos dominio e imagen de la función f, considerando el conjunto referencial N. • Preguntas: ¿Cuáles son los divisores naturales de 12?: • 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4 • ¿Qué radicandos producen esos divisores?: • y 144, 4 y 36, 9 y 16 • ¿Qué números multiplicados por dos producen esos radicandos?: • 72, 2, 18 y 8 • (ningún factor producirá los números impares 1 y 9) • ¿Qué minuendos producen esos factores?: • 75, 5, 21 y 11 Metodología: Realizando preguntas pertinentes, hallaremos los elementos del conjunto dominio partiendo del análisis de la función y analizando su segundo miembro con la ayuda de curvas cerradas.

20. Funciones Referencial: N 1 1 No existe en N Si el divisor es 1 ¿Cuál es el radicando? Respuesta: 1 ¿Qué número natural por 2 da 1? Respuesta: ninguno

21. Funciones Referencial: N 12 144 72 75 Si el divisor es 12 Respuesta: 144 ¿Cuál es el radicando? ¿2 por qué número da 144? Respuesta: 72 ¿Qué número menos 3 da 72? Respuesta: 75

22. Funciones Referencial: N 12 144 72 75 Así, vamos construyendo los conjuntos Dominio e Imagen de la función f Dom f = { 75, …… Im f = { 1, …...

23. Funciones Referencial: N 2 4 2 5 Dom f = { 75, 5…… Im f = { 1, 6…...

24. Funciones Referencial: N 6 36 18 21 Dom f = { 75, 5, 21, …… Im f = { 1, 6, 2, …...

25. Funciones Referencial: N 3 9 No existe en N Dom f = { 75, 5, 21, …… Im f = { 1, 6, 2, …...

26. Funciones Referencial: N 4 16 8 11 Dom f = { 75, 5, 21, 11 } Im f = { 1, 6, 2, 3 }

27. BASES TEÓRICAS

28. Campo conceptual es un conjunto referencial y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras, contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente, entrelazados durante el proceso de adquisición. La teoría de los campos conceptuales supone que la señal del desarrollo cognitivo es la conceptualización. De allí la importancia que tienen los aspectos conceptuales de los esquemas y el análisis conceptual de las situaciones, para las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas. Vergnaud identifica dos tipos de invariantes operatorios: los conceptos-en-acción (construidos pragmáticamente por los alumnos) y los teoremas-en-acción (propiedades usadas por los alumnos que pueden ser falsas o no). Teoría de los campos conceptuales Gérard Vergnaud

29. Ideas que impulsaron la teoría de Campos Conceptuales • de Gérard Vergnaud • Un concepto no se forma dentro de un solo tipo de situaciones. • Una situación no se analiza con un solo concepto. • c) El dominio de un campo conceptual no ocurre en algunos meses, ni tampoco en algunos años. Las dificultades conceptuales son superadas en la medida en que son detectadas y enfrentadas, pero esto no ocurre de una sola vez. Legado de Vygotsky La importancia de la interacción social, el lenguaje y la simbolización en el progresivo dominio de un campo conceptual. • Aportes de la teoría de Campos Conceptuales de Vergnaud al trabajo de Piaget • Vergnaud tiene en cuenta los propios contenidos del conocimiento y el análisis conceptual de su dominio. • Considera que los esquemas necesariamente se refieren a situaciones, a tal punto que debería hablarse de interacciónesquema-situaciónen vez de interacción sujeto-objeto, como sostenía Piaget. En nuestra experiencia, es muy importante el modo heurístico colectivo y la enseñanza de la nomenclatura básica para facilitar y elevar el nivel de la comunicación.

30. Dr. Aníbal Cortés Centro Nacional de Investigación Científica (CNRS) Université Paris 8 Estudiando los principios que guían el pensamiento de los estudiantes en la resolución de ecuaciones, Cortés clasificó los errores en la resolución de ecuaciones en cinco categorías que pueden generalizarse a todo el cálculo algebraico. Son los errores: • Concernientes a los conceptos de ecuación e incógnita. • En las transformaciones algebraicas idénticas en los dos miembros. • Relacionados a la prioridad de las operaciones. • En la escritura de una nueva ecuación: falta de control. • En los cálculos numéricos. LOS ALUMNOS

31. Dr. Aníbal Cortés Investigando los métodos algebraicos de los expertos (profesores, ingenieros, etc.) modelizó sus automatismos (controlados) en términos de esquemas (schèmes) e instrumentos. El concepto de schème, introducido por Piaget, puede definirse comola organización invariante del comportamiento para una determinada clase de situaciones. La regla de transformación utilizada y el schème asociado constituyen un “instrumento” (Rabardel). Los métodos de resolución son schèmes “instrumentados”, que incluyen tareas de análisis. El experto construye un método particular para cada objeto matemático, realizando el análisis de sus particularidades, la selección de una transformación pertinente y el instrumento disponible. La base de la eficacia de esos métodos de resolución es: la justificación matemática. LOS EXPERTOS

32. Dr. Aníbal Cortés Ese tipo de competencia no puede ser transferida directamente a los alumnos. En los manuales escolares se presentan propiedades con adecuadas justificaciones matemáticas que, de validez tan obvia, son consideradas reglas “evidentes” o “autojustificadas” por los expertos (como las propiedades uniformes), mas no por la mayoría de los alumnos. El uso reiterado de las reglas y la búsqueda de rapidez originan escrituras “económicas” que describen sólo la transformación escrita en el papel (un número pasó de un miembro a otro), generando métodos de resolución ineficaces. Se pierde la justificación matemática. La eficacia de un método depende de los invariantes operatorios construidos. Las propiedades sin justificación (que pueden ser falsas o no) son teoremas-en-acción, uno de los dos tipos de invariantes operatorios que presentó Vergnaud. El pensamiento de los expertos funciona aplicando transformaciones de validez “evidente”, basada en la íntima convicción de que pueden ser justificadas. Por eso, no necesitan explicitar dichas justificaciones. Pero cuando se enfrentan a una situación problemática recurren a la justificación para optar por la transformación adecuada. La justificación posibilita el control de la validez de la transformación. Dicho control finaliza termina cuando la justificación encontrada es una propiedad “evidente”. La escritura de la transformación en los dos miembros de la ecuación es un procedimiento largo que los alumnos abandonan rápidamente. Las justificaciones matemáticas que esas escrituras explicitan, desaparecen también. La enseñanza

33. Dr. Aníbal Cortés Invariantes operatorios Identificó cinco tareas invariantes en la resolución de ecuaciones. Son las que el experto realiza implícita o explícitamente cuando efectúa una transformación. Cadatarea invariantese realiza mediante un invarianteoperatorio. Construir dichos invariantes operatorios a partir de la enseñanza de esas tareas invariantes, es la propuesta principal de esta presentación. Ellos son:

34. Concepto de ecuación Análisis de la ecuación Propiedades de las operaciones y convenciones de orden Identificación y respeto de la operación prioritaria Control de validez de la transformación Conservación del valor de verdad de una igualdad Verificación de la reescritura correcta de términos y signos, conservación de una identidad o del valor de verdad de una igualdad Control de los símbolos transferidos a una nueva expresión Definiciones, algoritmos y propiedades de las operaciones Los cálculos numéricos

35. Tuvimos en cuenta y proponemos considerar: • El modelo cognitivo del experto y su herramienta fundamental: la justificación matemática. • La utilización explícita de las justificaciones más generales: la conservación del valor de verdad y la conservación de una identidad. Son aplicables naturalmente en diversos temas (ecuaciones, inecuaciones, sistemas), permiten relacionarlos entre sí y vincularlos con igualdades numéricas. • Que las justificaciones generales pueden constituir la base y el punto de partida de cualquier proceso particular de justificación de transformaciones. • La construcción de puentes de ida y vuelta entre la aritmética y el álgebra, evitando la enseñanza de propiedades que provoquen una ruptura prematura entre ambas. • La construcción y utilización de modelos numéricos análogos como herramientas de validación y control. Final Nuestra convicción central La enseñanza (explícita, organizada, sistemática) de las tareas invariantes, ayuda al estudiante a construir invariantes operatorios adecuados para justificar sus transformaciones algebraicas y aplicar métodos de resolución con eficacia. Hemos descripto en esta presentación algunas experiencias que tuvieron como objetivo la enseñanza de esas tareas invariantes (fundamentalmente las tres primeras) en los primeros cursos de álgebra.

36. Bibliografía • La teoría de los Campos Conceptuales. Gérard Vergnaud, CNRS y Université René Descartes, Recherches den Didáctique des Mathématiques, 1990. • Análisis y clasificación de los errores en la resolución de ecuaciones. Cortés A., 1.993. • Los principios que guían el pensamiento en la resolución de ecuaciones. Cortés A., Kavafian N, 1.999. • La resolución de ecuaciones e inecuaciones: invariantes operatorios y métodos construidos por los alumnos. A. Cortés y N. Pfaff, 2000. • La Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud, la Enseñanza de las Ciencias y la Investigación en el Área. Marco A. Moreira, Instituto de Física, UFRGS, Porto Alegre, publicado en Enseñanza de las Ciencias, 2002. • Modelo cognitivo de los métodos algebraicos de resolución del experto. Cortés A., 2.003. • Dos tareas invariantes e importantes en la resolución de ecuaciones: el análisis de la ecuación y el control de la validez de las transformaciones. Aníbal Cortés, Nelly Kavafian, 2004. • Tres tareas invariantes en la resolución de ecuaciones. A. Cortés y O. Cabrera, Novedades Educativas Nº170, Bs. As., 2005. Finalizado en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires, el 26-01-09