Vers la dimension 3.

1. Vers la dimension 3. La géométriedans l'espace ne fait qu'étendre les concepts qui vous sont familiers en dimension 2 à la dimension 3. Le plus difficile est d'imaginer et interpréter des figures qui deviennent plus complexes avec l'introduction d'une dimension supplémentaire. Le but de ce petit résumé est de vous mettre le pied à l'étrier en vous proposant une transition en douceur vers la troisième dimension. Cliquez sur les diapos pour tourner les pages.

2. Le repère en dimension 3 En dimension 3, un repère est formé d'un point appelé origine et de 3 vecteurs dits « unitaires ». Chaque vecteur unitaire doit nécessairement ne pas appartenir au plan des 2 autres. En général on nomme l'origine O et les 3 vecteurs i , j,k mais cela n'a rien d'obligatoire. Chaque vecteur est associé à un axe passant par O dont il définit la direction, le sens positif et l'unité de graduation. Les axes déterminent 3 plans xOy, yOz , xOz qui forment un trièdre tout à fait comparable au sommet O d'un tetraèdre ou d'un parallélépipède rectangle (dessins ci contre). Si tous les axes, pris 2 à 2, font entre eux un angle droit, le repère est dit “orthogonal”, sinon il est dit « quelconque ». On voit que sur la représentation d'un repère, il est possible d'apprécier la valeur de l'angle xOz mais il n'en va pas de même des angles xOy et yOz déformés par la perspective. Les vecteurs unitaires sont, en général de longueur différente. Un repère orthogonal dont les vecteurs unitaires sont de même longueur est dit « orthonormé ». La notion de distance dans l'espace n'a de sens que dans un repère orthonormé.

3. Projections en dimension 3 En dimension 3 nous voyons apparaître deux nouveaux types de projections. 1 La projection sur une axe parallèlement à un plan. Pour projeter P sur Oz parallèlement au plan xOy on imagine le plan passant par P et parallèle à xOy. Ce plan coupe Oz en P '. P ' est la projection de P sur Oz parallèlement à xOy. C'est le point recherché. 2 La projection sur un plan parallèlement à un axe. Pour projeter P sur xOy parallèlement à Oz. On imagine la parallèle à Oz passant par P. Elle coupe le plan xOy en P '. P ' est la projection de P sur xOy parallèlement à Oz. C'est le point recherché. Dans un plan (espace de dimension 2) on continue d'utiliser la projection sur un axe parallèlement à un autre axe.

4. Coordonnées d'un point en dimension 3 En dimension 2 les coordonnées d'un point P sont les réels X et Y tels que OP = X i + Y j Donc en dimension 3 nous cherchons les réels X , Y, Z tels que OP = X i + Y j + Z k Pour trouver X, Y Z il nous faut donc décomposer OP en une somme de 3 vecteurs parallèles aux axes. Pour cela nous allons procéder aux projections suivantes 1) projection de P sur xOy parallèlement à Oz, on obtient P ' 2) projection de P ' sur Ox parallèlement à Oy on obtient A 3) projection de P' sur Oy parallèlement à Ox on obtient B. 4) projection de P sur Oz parallèlement à xOy on obtient C. Faisons 2 remarques importantes 1) il faut tracer PC parallèlement à P ' O puisque la figure P P ' O C est un parallélogramme. Pour construire la figure il vaut donc mieux commencer par le tracé de P P ', 2) A, B, C sont aussi les projections de P sur chacun des axes parallèlement à chacun des plans supplémentaires mais le mode de construction que nous avons adopté est plus clair.

5. Coordonnées d'un point en dimension 3 Maintenant que nous avons construit A, B, C , projections de P sur chaque axe parallèlement au plan supplémentaire, faisons les observations suivantes: P ' P égal à OC donc P' P = Z k (Z abscisse de C sur Oz) OP ' = OA + OB = X i + Y j (X abscisse de A , Y abscisse de B)‏ Donc OP = OP ' + P ' P = X i + Y jZ k X ; Y; Z sont les coordonnées du point P. dans le repère choisi.

6. Coordonnées d'un vecteur en dimension 3 Si AB est ce vecteur, il suffit de chercher les coordonnées de A et de B comme on vient de le faire pour le point P. Si les coordonnées de A sont Xa Ya Za et les coordonnées de B Xb Yb Zb Les formules ci contre donnent les coordonnées du vecteur en fonction des coordonnées de son origine et de son extrémité. On retouve des formules analogues à la dimension 2. Si on projette le vecteur sur les axes parallèlement aux plans, on obtient ses composantes selon chaque axe. On obtient le même résultat en projetant le vecteurAB en A' B' sur le plan xOy (parallèlement à Oz) puis en projetant cette image sur les axes Ox et Oy comme indiqué sur le dessin.

7. Le processus analytique en dimension 3 Toutes les règles du calcul analytique en dimension 2 sont aussi valables en dimension 3. Simplement elles portent sur 3 coordonnées (X,Y,Z) au lieu de 2 (X,Y). Notamment : Dans un repère quelconque Formule donnant les coordonnées d'un vecteur en fonction des coordonnées de son origine et de son extrémité. Formule donnant les coordonnées du milieu d'un segment ou du barycentre de n points en fonction des coordonnées des points formant le système. Dans un repère orthonormé Formule donnant la longueur d'un segment en fonction des coordonnées de ses extrémités ou des coordonnées du vecteur le supportant. Formule donnant le produit scalaire et l'expression des lignes trigonométriques qui en découlent en fonction des coordonnées des vecteurs.. Certaines règles doivent être adaptées. Par exemple: z 5 Plan Z = 5 O Plan Z = 0 X = 0 , Y = 0 , Z = 0 ne sont plus les équations des axes mais celles des plans du trièdre formant le repère. X = 3 , Y = -1 ne sont plus des équations de droites parallèles aux axes mais des équations de plans parallèles aux plans d'équation X = 0 , Y=0, Z= 0.

8. Pour démontrer un résultat à l'aide des vecteurs Soit une figure quelconque en dimension 3. On peut utiliser n'importe quel trièdre comme repère, Par exemple (A, AB , AH, AD) constitue un repère. Dans ce repère les points ont les coordonnées suivantes : B (1 ; 0 ; 0 ) C (1 ; 0 ; 1 ) F (1 ; 1 ; 1 ) etc .... En ce qui concerne les coordonnées des vecteurs AB = DC = (1 ; 0 ; 0) AH = CF = (0 ; 1 ; 0)‏ AF = AB + BE + EF = AB + AH + AD = (1 ; 1 ; 1 )‏ F G H E C D B A Il suffit d'exprimer tout vecteur sous la forme X AB + Y AH + Z AD pour avoir ses coordonnées (X ; Y; Z) et utiliser le lois de la géométrie analytique.

9. Une fois qu'on a choisi la base et exprimé tous les vecteurs utiles à notre démonstration dans cette base on peut utiliser soit les règles de la géométrie analytique, soit les règles de la géométrie vectorielle pour démontrer ce qu'on a à démontrer, Par exemple Pour démontrer que P, M, Q sont alignés on démontre que PM = K MQ (proportionnalité des 3 composantes X, Y, Z) Si K = 1 la même relation démontre que M est le milieu de PQ. On peut également nous demander de chercher les coordonnées du barycentre de P, Q, R en leur affectant des poids. Pour démontrer que PQ est perpendiculaire à QR, il faut que le repère initialement choisi soit orthonormé (base de 3 vecteurs orthogonaux 2 à 2 et de longueur égale) et dans ce cas il suffit de démontrer soit que le triangle PQR vérifie le théorème de Pythagore Soit que le produit scalaire PS . QR = 0. On peut aussi utiliser le produit scalaire pour évaluer les lignes trigonométriques de certains angles ou calculer des longueurs. Bref, on procède en dimension 3 comme en dimension 2. R Q M Ne perdons pas de vue que dans un espace de dimension 3, 2 droites sécantes, 2 droites parallèles, une droite et un point, 3 points , déterminent un plan dans lequel on peut utiliser les résultats de lagéométrie plane. P