Kmity, vlny

1. Epot F F stabilní rovnovážná poloha Kmity, vlny Kmity = oscilace: pohyb objektu v blízkosti stabilní rovnovážné polohy Objektu vykonávajícímu oscilace říkáme oscilátor. Nejjednodušší případ oscilátoru: ● Lineární—pohybuje se jenom v jednom směru, polohu označíme x ● Harmonický—síla je úměrná výchylce z rovnováhy a směřuje k rovnováze Vzorcem: Jinými než lineárními harmonickými oscilacemi se nebudeme zabývat. Více harmonických oscilátorů, které na sebe působí oscilace se mohou šířit prostorem a vytvářet vlny (druhá část přednášky).

2. Příklad lineárního harmonického oscilátoru: těleso na pružině Síla: Pohyb: (index „s“ od slova „spring“)

3. Jak dostaneme oscilace matematicky? Dosazení do 2. Newtonova zákona dá diferenciální rovnici Rovnice je ● homogenní, lineární  řešení tvoří lineární prostor, tj. a) řešení vynásobené číslem je zase řešení. b) součet dvou řešení je zase řešení. ● 2. řádu (nejvyšší derivace je druhá)  prostor je 2-rozměrný, tj. řešení bude obsahovat dva parametry. ● s konstantními koeficienty  řešení hledáme ve tvaru s neznámou .

4. Dosazení s využitím derivace exponenciálynásobení  dá Obě strany rovnice můžeme vydělit exponenciálou (je nenulová). Dostaneme tak charakteristickou algebraickou rovnici pro : Ta by měla mít 2 kořeny pro 2-rozměrný prostor řešení diferenciální rovnice. Skutečně: Tímto jsme zavedli úhlovou frekvenci Více o ní na příští straně. Pomocí  můžeme diferenciální rovnici přepsat jako

5. Pro zajímavost: speciální případ „Nejkrásnější rovnice matematiky“ -Sčítání, násobení, mocnění 0, 1, e, i,  vše právě jednou 2 kořeny jak jsme čekali, ale imaginární Vzpomeneme si, že  Obecné řešení: lineární kombinace sinu a kosinu t…2 parametry harmonické funkce…proto harmonický oscilátor Lépe: Také 2 parametry, ale s jasným významem: A je amplituda,  je fázový posun argument harmonické funkce (sin, cos) se nazývá fáze. úhlová frekvence  = změna fáze za jednotku času. souvisí s periodou Ta s frekvencí f:

6. Derivování podle času dá Rychlost: Zrychlení: což je výchozí rovnice pro oscilace. Vidíme, že Graficky: Každá derivace = posun dopředu o čtvrt periody.

7. Souvislost s kruhovým pohybem Úhlová frekvence odpovídá úhlové rychlosti…stejný symbol  Dostředivé zrychlení (viz 1. přednáška): Projekce na osu x: což je opět výchozí rovnice pro oscilace. Graficky: Animace:

8. Energie ● Potenciální (vůči rovnovážné poloze v x = 0): Grafem je parabola. Jako funkce času během oscilací: ● Kinetická: Zachovává se, jak jsme čekali. ● Celková: Ekin Epot Graficky: funkce času a výchylky Kinetická a potenciální energie harmonického oscilátoru se v průměru rovnají: Naopak minule pro kruhovou dráhu v gravitačním poli jsme viděli, že Obecně, pokud se potenciální energie mění se vzdáleností jako n-tá mocnina, platí Pro harmonický oscilátor n = 2, pro gravitační pole n = -1.

9. V okolí minima funkce vypadá jako parabola…proto harmonické oscilace vždy, když je výchylka z rovnovážné polohy dostatečně malá Např. molekula LiH v různýchelektronických stavech: Fig. 1 CASSCF/SOCI potential energy curves for several low-lying electronic states of LiH J.M.H. Lo , M. Klobukowski Computational studies of one-electron properties of lithium hydride in confinement Chemical Physics Volume 328, Issues 1-3 2006 132 - 138 http://dx.doi.org/10.1016/j.chemphys.2006.06.019

10. Příklad Objekt o hmotnosti m se pohybuje hladkým přímým tunelem mezi 2 body na povrchu Země. Ukažte, že pohyb objektu m v tunelu je harmonický a najděte jeho periodu. Řešení: Slupkové teorémy z minula: na objekt ve vzdálenosti r od středu působí síla od všech slupek s menším poloměrem. Jejich celková hmotnost je hmotnost koule o poloměru r: Objekt přitahují silou: Projekce do směru tunelu:

11. …znaménko „–“ protože síla směřuje obráceně než výchylka. Síla je úměrná výchylce…harmonický oscilátor s elastickou konstantou Odtud úhlová frekvence Perioda: ● nezávislá na umístění tunelu. ● tatáž jako perioda orbitu satelitu těsně nad povrchem Země (viz 3. Keplerův zákon minule).

12. Skládání (superpozice) oscilací Rovnice je lineární  součet dvou je zase řešení. Otázka: Jaká bude výsledná amplituda A a fáze  pro amplitudy A1, A2 a fáze 1, 2 vln, které sčítáme? Má tedy platit: Použijeme vztah: Musí platit pro všechna t, tj. musí se rovnat koeficienty u sin(t) a cos(t):

13. Grafická interpretace: sčítání vektorů

14. Tlumení: prostředí obvykle klade odpor K elastické síle přidáme sílu odporu prostředí působící proti rychlosti Toto je nejjednodušší případ: síla odporu je úměrná rychlosti. Pohybová rovnice pak má tvar: Opět homogenní lineární rovnice s konstantními koeficienty  opět hledáme řešení ve tvaru Opět rovnice druhého řádu  opět čekáme dvě řešení charakteristické rovnice pro neznámou .

15. Charakteristická rovnice: Doplnění na čtverec: Řešení: kde jsme zavedli: koeficient tlumení původní frekvence bez tlumení frekvence s tlumením Účinek tlumení: ● zmenšení frekvence z 0 na  ● přidání záporné reálné části -  exponenciální pokles amplitudy

16. Obecné řešení má proto tvar: Graficky:

17. Nucené oscilace Přidáme periodickou vnější (externí) sílu, která bude kompenzovat ztráty kvůli odporu: Budeme proto řešit rovnici a pak z řešení vezmeme reálnou část . Vnější síla  rovnice je nehomogenní. Obecné řešení = obecné řešení homogenní rovnice (už máme—tlumené oscilace) + jedno partikulární řešení nehomogenní rovnice Partikulární řešení budeme hledat ve tvaru A tentokrát není volný parametr, nýbrž ho musíme určit dosazením do rovnice.

18. Dosazení do rovnice dá: A je komplexní číslo…obsahuje amplitudu i fázový posun. Amplituda je daná velikostí čísla A: Výraz pod odmocninou doplníme na čtverec:  Resonance (maximální amplituda) pro: …nižší než frekvence tlumených kmitů  Hodnota amplitudy v maximu: roste s klesajícím , jak ukazuje resonanční křivka:

19. Příklad Prázdný železniční vůz má hmotnost m = 2000 [kg]. Při zatížení nákladem o hmotnosti M=3000[kg] se pružiny kol zkrátí o délku x = 6 [cm]. Koeficient tlumení pružin má hodnotu  = 0,001 [s-1]. Vůz s nákladem jede po kolejnicích délky d=12,56 [m]. • Při jaké rychlosti se vůz začne prudce rozhoupávat vlivem nárazů na spoje kolejnic? • Jaká je přitom amplituda vzniklých oscilací vozu, je-li síla nárazů na spoje kolejnic Fext=30 [N]? Řešení: a) Vůz se začne prudce rozhoupávat, když nárazy na spoje kolejnic vyvolají resonanci pružin. Resonanční úhlová frekvence pružin kde

20. Konstantu pružnosti k určíme z údaje, že při zatížení nákladem hmotnosti M se pružiny zkrátí o x Dosazení dá: Tlumení změní resonanční frekvenci o stomiliontinu! Vliv  na res můžeme zanedbat. K resonanci dojde, když perioda oscilace pružin bude rovná době mezi nárazy kolejnic, tj.

21. b) Tlumení můžeme zanedbat pod odmocninou ale ne před odmocninou. Číselně: Statické zatížení hmotností 3000kg (tj. silou 30 000N) zkrátilo pružiny o 6cm kdežto v resonanci 1000menší síla vyvolala 5větší amplitudu! To je dáno malou hodnotou poměru /0 (viz resonanční křivka). Asi nejdramatičtější případ resonance:

22. 2 oscilátory: mezikrok na cestě k vlnám Stejné hmotnosti, stejné tuhosti postranních pružin k, jiná tuhost prostřední pružiny k´ 2 mody:  prostřední pružina se nenatahuje:  střed pružiny v klidu  celková elastická konstanta =

23. Matematika potvrdí fyzikální intuici: Pohybové rovnice: Součet: Rozdíl: Rovnice harmonických oscilací s úhlovými frekvencemi

24. k k m m m Fn x x xn-1 xn xn+1 Řetězec oscilátorů V rovnováze: Vychýlení z rovnováhy: xn výchylka z rovnováhy n-tého oscilátoru Síla na n-tý oscilátor: síla od (n+1)ho oscilátoru síla od (n-1)ho oscilátoru

25. Pohybová rovnice: Řešení hledáme ve tvaru: Odsud do konce přednášky: rozumí se, že z komplexních čísel bereme reálnou část. Tím jsme zavedli novou proměnnou q zvanou vlnočet (vlnový vektor). q udává změnu fáze na jednotku délky mezi oscilátory …prostorová obdoba úhlové frekvence  Vztah mezi vlnočtem a vlnovou délkou jako mezi úhlovou frekvencí a periodou: Čekáme, že na vlnočtu q bude záviset frekvence  —viz případ dvou oscilátorů: ● Fázový rozdíl byl 0 nebo  (součet nebo rozdíl poloh). ● Frekvence rostla s fázovým rozdílem. Závislosti úhlové frekvence na vlnočtu (q) se říká dispersní relace.

26. Dispersní relace pro řetězec Dosadíme tvar řešení do pohybové rovnice a dostaneme: Frekvence roste s vlnočtem až do maximální hodnoty 20 pro q = /x Vlnočet se někdy (např. tady na obrázcích) značí písmenem k a rovnovážná vzdálenost oscilátorů písmenem a

27. 0 n-tý oscilátor Spojitá limita Máme oscilátory hustěji a hustěji: Místo pořadového čísla oscilátoru n zavedeme spojitou proměnnou polohy x. Výchylka n-tého oscilátoru se tak stane funkcí spojité proměnné x: Výchylka n-tého oscilátoru v lineárním řetězci v čase t Výchylka spojitého lineárního oscilujícího prostředí v místě x a čase t Rozdíly přejdou v prostorové derivace:

28. Pohybová rovnice: Při limitním přechodu zároveň pošleme tak, aby zůstaly konstantní modul pružnosti kx a hustota m/x. Tuto konstantu označíme c2. Tím zůstane konstantní i Pak pohybová rovnice má tvar: Říká se jí vlnová rovnice a je to jedna z nejčastěji se vyskytujících rovnic ve fyzice. Disperzní relace dostane ve spojité limitě tvar:

29. Fyzikální význam c: fáze v čase t+t = Pro q > 0:  Vlna se posunula o ct doprava. Obdobně pro q < 0: vlna se posune o ct doleva. Takže c je rychlost bodu s danou fází (např. maxima, minima, nuly) …fázová rychlost Odtud: Navíc znaménko q určuje směr šíření vlny.

30. Dopplerův jev —změna vlny při pohybu zdroje a pozorovatele Pohyb zdroje: Rychlost zdroje vZ změna vlnové délky Pohyb pozorovatele: vP  Rychlost vlnění vůči pozorovateli je Znaménka: vZ > 0 pokud se zdroj pohybuje k pozorovateli vP > 0 pokud se pozorovatel pohybuje ke zdroji Úhlová frekvence, kterou měří pozorovatel: Frekvence se změní stejným způsobem

31. Skládání (superpozice) vln Jako u oscilátoru: Vlnová rovnice je lineární  Součet dvou řešení je zase řešení. Uvážíme tři případy: ● Dvě vlny s blízkými vlnočty a frekvencemi…grupová rychlost ● Více (až nekonečně mnoho) takových vln…vlnový balík ● Dvě vlny se stejným vlnočtem a frekvencí ale opačným směrem šíření …stojaté vlny

32. Grupová rychlost Vezměme součet dvou řešení s blízkými vlnočty a frekvencemi modulovaná vlna nosná vlna modulační obálka  = Obálka má dlouhou vlnovou délku a dlouhou časovou periodu Obálka se pohybuje grupovou rychlostí: Grupová rychlost je obecně jiná než fázová. Toto je případ, kdy jsou stejné. Pro lineární dispersi

33. Příklad Určete poměr fázové a grupové rychlosti vln ve vodě. Řešení: Z rozměrové analýzy: Odtud fázová rychlost: Grupová rychlost:  Toto je případ, kdy Poměr:

34. Vlnový balík Sečteme více než dvě (až nekonečně mnoho) vln s blízkými vlnočty a frekvencemi: a dostaneme vlnový balík: ● Balík je tím užší, čím více vlnových délek použijeme a naopak je tím širší, čím méně vlnových délek použijeme. relace neurčitosti…fundamentální význam v kvantové mechanice ● Balík vznikne kvůli interferenci: konstruktivní v maximu, destruktivní dál od maxima více o interferenci v optice. ● Pohybuje se grupovou rychlostí.

35. Stojatá vlna Sečteme dvě vlny šířící se v opačných směrech: Oddělí se časová a prostorová závislost…vlna se nepohybuje: K tomu může dojít kvůli okrajovým podmínkám. Tím se zároveň vyberou jen některé vlnové délky.

36. Například výchylka zafixovaná na nulu ve vzdálenosti d: Pak d musí být celočíselný násobek délky půlvlny: Tím se zároveň vyberou jen některé frekvence …viz struna na kytaře nebo vzduch v píšťale. V kvantové mechanice pak uvězněná částice může mít jen některé energie.

37. Příště: optika Světlo jsou vlny. Různé chování podle toho, jestli se pohybuje na vzdálenostech srovnatelných s vlnovou délkou nebo podstatně větších.