Tema 1 Preliminares de Cálculo

1. Tema 1Preliminares de Cálculo • La Recta Real • Números Reales, Racionales e Irracionales • Orden y desigualdades • Conjuntos • Intervalos de la recta real • Intervalos acotados • Intervalos no acotados • Valor absoluto • Distancia entre dos puntos • El plano cartesiano • Distancia entre dos puntos del plano • La gráfica de una ecuación • Modelos matemáticos • Función real de una variable real • Gráfica de una función • Gráficas de funciones básicas • Clasificación de las funciones. Funciones elementales • Función compuesta • Funciones pares, impares y ceros de funciones • Función inversa Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva

2. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 números enteros La Recta Real Coordenada: nº real que corresponde a un punto de la recta real origen Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva números naturales Tema 1. Preliminares de Cálculo 1

3. -2,6 -2/3 5/4 2,5 -3 -2 -1 0 1 2 3 2 5 =0,4 Recta Real Números Reales, Racionales e Irracionales Números Racionales Pueden expresarse como cociente de dos enteros Números Irracionales No pueden expresarse como decimales finitos ni periódicos 2 e p Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 0 1 2 3 4 2 1,414213562 Decimales finitos Periódicos e  2,718281828 1 3 =0,333...=0,3 p  3,141592654 Tema 1. Preliminares de Cálculo 2

4. Orden y desigualdades a , b IR a es menor que b si b-a es positivo Este orden se denota por la desigualdad a  b Análogamente mayor que  menor o igual que  mayor o igual que  Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Recordar que cuando se multiplica por un número negativo se invierte la desigualdad x 3  -4 x  -12 Tema 1. Preliminares de Cálculo 3

5. Notación El conjunto de todos los x que satisfacen una cierta condición  x : condición sobre x  Un conjunto es una colección de elementos Conjuntos Conjunto de los números Reales IR Conjunto de los números reales positivos xIR : x  0  Conjunto de los números reales no negativos x IR : x 0  Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Unión de dos conjuntos: A  B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos Intersección de dos conjuntos: A  B es el conjunto de elementos de A y de B Tema 1. Preliminares de Cálculo 4

6. Intervalos de la recta real (a, b) =x : a  x  b Intervalo abierto extremos Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva [a, b] =x : a  x  b Intervalo cerrado Tema 1. Preliminares de Cálculo 5

7. Intervalos acotados Notación de intervalos Notación de conjuntos Gráfica Intervalo acotado abierto (a, b) x : a x  b  ( ) x a b Intervalo acotado cerrado [a, b] x : a  x  b  [ ] x a b Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Intervalos acotados [ a, b) x : a  x  b  [ ) x a b ni abiertos ni cerrados (a, b] x : a  x  b  ( ] x a b Tema 1. Preliminares de Cálculo 6

8. Intervalos no acotados Notación de intervalos Notación de conjuntos Gráfica Intervalos no acotados (-, b) x : x  b  ) x b abiertos (a, ) x : x  a  ( x a Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Intervalos no acotados (-, b] x : x  b  ] x b cerrados [a, ) x : x  a  [ x a (-,) x : xIR x Recta real a b Tema 1. Preliminares de Cálculo 7

9. a si a 0 | a | = -a si a 0 Valor absoluto Si a es un número real, el valor absoluto de a es Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Ejemplo: a = -4 | a | = | -4| = - (-4) = 4 Tema 1. Preliminares de Cálculo 8

10. Distancia entre a y b a b | a - b | El punto medio de un intervalo con extremos a y b es el valor medio de a y b a + b Punto medio de (a,b)= 2 Distancia entre dos puntos La distancia entre dos puntos a y b de la recta real es d =| a - b | =| b - a | Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 9

11. El plano cartesiano Sistema de coordenadas rectangular utilizado para representar pares ordenados (x,y) de números reales Eje y Cuadrante II Cuadrante I (x,y) y x y Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Eje x x origen Cuadrante III Cuadrante IV Tema 1. Preliminares de Cálculo 10

12. Distancia entre dos puntos del plano distancia d entre dos puntos (x1,y1) y (x2,y2) del plano y1 (x1,y1) d Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva | y2 - y1| (x1,y2) y2 (x2,y2) x1 x2 | x2 - x1| Tema 1. Preliminares de Cálculo 11

13. Analítica Elaboramos una tabla numérica sustituyendo varios valores de x Numérica x 0 1 2 3 4 y 7 4 1 -2 -5 Perspectivas en el Cálculo El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuación (0,7) 6 Gráfica 3x + y =7 4 (1,4) 2 (2,1) 4 2 (3,-2) Ecuación Solución La gráfica de una ecuación 3x + y =7 (2,1) porque se satisface cunado sustituímosxpor 2 eypor 1 Despejamos y en la ecuación inicial y = 7 - 3x Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 12

14. Ejemplo: Entre 1960 y 1990 se registró la concentración de dióxido de carbono y (en partes por millón) en la atmósfera terrestre Modelo lineal Modelo cuadrático ¿Qué modelo es mejor? ¿Podríamos predecir en el año 2035 la cantidad de CO2 en la atmósfera? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315 310 360 355 350 345 340 335 330 325 320 315 310                                    - - - - - - - - - - - -                            5 10 15 20 25 30 y = 313,6 + 1,24 t y = 316,2 + 0,70 t+ 0,70 t2 Cálculos realizados con el Método de ajuste por Mínimos Cuadrados Descripción de un problema (frecuentemente de la vida real) utilizando una formulación matemática (por ejemplo con una ecuación) con precisión y sencillez Modelos matemáticos Solución: Haciendo t=75 y = 313,6 + 1,24 (75)= 406,6 r2=0,984 y = 316,2 + 0,70 (75)+ 0,70 (75)2=469,95 r2=0,997 Es mejor el modelo cuadrático puesto que la correlación r2 es más próxima a 1 Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 13

15. Ecuación en forma implícita Ecuación en forma explícita Notación de funciones • Sean X e Y dos conjuntos de números reales. • Una función real f de una variable real xde X a Y es una correspondencia que asigna a cada número x de X exactamente un número y de Y. • El conjunto X se llama dominio de f. • El número y se denomina la imagen de x for f y se denota por f(x). • El recorrido de f se define como el subconjunto de Y formado por todas las imágenes de los números de X. Función real de una variable real X Dominio x Y f X X X Recorrido y=f(x) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva : variable independiente x y : variable dependiente Tema 1. Preliminares de Cálculo 14

16. Gráficas de funciones básicas 4 f(x) = x3 f(x) =x 2 2 2 f(x) =x2 1 1 1 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 -1 -1 -1 -2 -2 -2 La gráfica de una función está formada por todos los puntos ( x, f(x) ), donde x pertenece al dominio de f y se denota por f(x). Gráfica de una función x = distancia desde el eje y f(x) = distancia desde el eje x. (x,f(x)) y =f(x) f(x) x Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 15

17. 1 f(x)= x Gráficas de funciones básicas f(x) =x 3 3 2 2 2 f(x) = | x | 1 1 1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 1 1 1 2 2 2 3 4 3 3 -1 -1 -2 -2 f(x) = sen x f(x) = COSx Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva 1 1 p p 2p -p 2p -2p -p -1 -1 Tema 1. Preliminares de Cálculo 16

18. Función polinómica Término constante Clasificación de las funciones. Funciones elementales grado Funciones algebraicas Coeficiente dominante Coeficientes Función racional p(x), q(x) polinomios Funciones radicales.Por ejemplo, Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Funciones trigonométricas Seno, coseno, tangente,... 3 f-1(x) = ex Funciones exponenciales y logarítmicas 2 1 -2 -1 1 2 -1 f(x) = ln x -2 Tema 1. Preliminares de Cálculo 17

19. Ejemplo: Función compuesta Dominio de g f o g Sean f y g dos funciones. La función dada por (f o g)(x)=f(g(x)) se llama función compuesta de f con g. El dominio de es el conjunto de todos los x del dominio de g tales que g(x) pertenece al dominio de f x f(g(x)) g(x) g f Dominio def Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 18

20. La función y=f(x) par si f(-x) = f(x) • La función y=f(x) impar si f(-x) =-f(x) Criterio para funciones pares e impares Funciones pares, impares y ceros de funciones • Si la gráfica de una función f, corta al eje x en el punto (a,0), entoces a se denomina un cero de f • Los ceros de una función f son las soluciones de la ecuaciónf(x) =0 f(x) = 0 (a,0) Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 19

21. Ejemplo: Ejemplo: Son funciones inversas Función inversa Una función g es la inversa de una función f si f(g(x)) = x para todo x en el dominio de g g(f(x)) = x para todo x en el dominio de f La función g se denota por f-1 f -1 f • Dominio de f = Recorrido de f-1 • Dominio de f-1= Recorrido def Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Tema 1. Preliminares de Cálculo 20

22. Bibliografía Cálculo y Geometría Analítica Larson, Hostetler, Edwards. Volumen 1, 1999 (6ª edición), Ed. McGraw-Hill Ejercicios y problemas Matemáticas 1º Veterinaria Curso 2002/2003. Ana Allueva Problemas de Matemáticas para ingeniería técnica agrícola y veterinaria Alejandre, Allueva,González. Tomo 1, 2000 Ed. Copy Center Zaragoza (C/. Doctor Cerrada nº 2) Tema 1. Preliminares de Cálculo 21