Plan du cours Solutions analytiques Fréquences et modes propres – Théorème d’expansion

1. Vibrations des Milieux continus • Plan du cours • Solutions analytiques • Fréquences et modes propres – Théorème d’expansion • Coordonnées généralisées – solution générale • Méthodes d’approximation • Méthode des résidus pondérés (Galerkin) • Méthode variationnelles discrétisées

2. p conditions aux limites d’ordre p Problème aux valeurs propres équation différentielle en espace dépendent de « p » constantes d’intégrations solution non banale si le déterminant du système est nul Pulsations propres solutions de Modes propres solutions de Régime libre p conditions aux limites 2 conditions initiales

3. base modale (ensemble des modes) et orthogonale pour base modale est une base complète Pb. Conditions initiales Régime libre Théorème d’ expansion Si mode multiple alors choix fonction de comparaison vérifie toutes les CL du problème

4. Multiplions les équations par et intégrons sur le domaine Orthogonalité des modes Avec les conditions initiales et Régime libre Projection sur la base modale En pratique on tronque la base modale

5. Méthodologie • Se ramener à des Conditions aux limites homogènes • Résolution du problème homogène • Calcul des pulsations et modes propres • Diagonaliser les équations (TH d'expansion) • Résolution des équations et retour aux déplacements d’équations à un degré de liberté avec Solution générale

6. Équation locale avec Les solutions sont de la forme pour Modes rigides Le problème n’ayant pas de mode rigide  solution pour Exemples : vibration des barres et poutres

7. les C.L les C.L solution non banale si le déterminant est nul Et les modes de vibration associés M norme Orthogonalité des modes Exemple

8. Sur les C.L Analyse directe Sur l’équation Analyse modale Analyse directe avec Analyse modale Solution v(x,t) Exemple Modes de vibration Chargement Ou Réponse dynamique

9. Système physique continu Mise en équations formulation mathématique du problème Formulation mathématique du problème (PTV) Forme Variationnelle (EDP)Formes différentielles Problème aux limites Forme intégrale Résidus pondérés Discrétisation Forme matricielle Méthodes d’approximation ?

10. 1ère forme intégrale Si u solution approchée R(u) : résidu (erreur commise) fonction de pondération Annulation du Résidupondérée sur le domaine Il faut utiliser une approximation qui vérifie les CL Approximation N paramètres de l’approximation Base de fonctions de comparaison (vérifient les CL) 1ère forme intégrale une équation à N inconnues Pour N fonctions de pondération N équations à N inconnues Méthodes d’approximation : résidus pondérés Point de départ

11. 2 principales méthodes Matrices symétriques positives (vibra) Calcul de l’intégrale  calculs plus long Meilleurs résultats Matrices quelconques Calculs rapides (pas d’intégration) Résultats non certains Méthodes d’approximation : résidus pondérés Forme matricielle avec

12. Approximation Pondération « variation » MMC  Lois de comportement Géométrie : déplacement - déformation PTV avec Méthodes d’approximation : Forme variationnelle Point de départ Ecriture matricielle

13. Approximation fonctions de comparaison Forme variationnelle Approximation CA Méthodes d’approximation : Exemple Résidu pondéré

14. Les méthodes d’approximation présentées ici sont le point de départ de toute formulation Eléments finis d’un problème La MEF sera présentée en Deuxième année à l’ECN