Grundbegriffe der Schulgeometrie

1. Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 10 (M. Hartmann)

2. Längenmaße Ursprünglich Körpermaße 1101 (Heinrich I. von England) Der Fuß als Mittelung von vielen Füßen Ein Fuß entspricht etwa 12 Inch bzw. Zoll • Probleme: • Körpermaße sind weder exakt noch für jeden Menschen gleich. • Regional unterschiedliche Maße behinderten den Handel http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/geschichte/01grundgroessen/laengenmessung/laengeneinheit.htm

3. Normierung der Längeneinheit Erste Vorschläge: Länge des Sekundenpendels 1793 (französische Nationalkonvent) 1 Meter := zehnmillionste Teil des Erdmeridianquadranten Kopien des Pariser Urmeters aus Platin-Iridium Heute als die Länge, die Licht im Vakuum in 1 / 299.792.458 s zurücklegt

4. km hm dam dm cm mm ?? ?? mm ?? ?? nm Ǻ ?? pm 10-12 1000 100 10 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 10-11 Abgeleitete Einheiten • Im Gegensatz zu früheren Längenmaßsystemen werden ergänzende Einheiten heute als Zehnerpotenzen von 1m als abgeleitete Einheiten festgelegt: Selten gebraucht Üblich in Physik und Technik Schulrelevant Lücken m

5. Umrechnung von Längeneinheiten • Methode des Physikers: • Methode in der Schule: • Bitte keine abstrakten Umrechnungszahlen!! • Umrechnung erfolgt auf Basis der Anschauung • Stets qualitative Überlegung voranschalten: Braucht man von der neuen Einheit mehr oder weniger? • Je kleiner die Einheit desto mehr Stücke benötigt man zum Auslegen, je größer … • Die Umrechnung kann mithilfe der flexiblen Interpretation in der Stellenwerttafel mit den Dezimalbrüchen vernetzt werden: mm cm m km dm 3 5 1 351 dm = 0,0351 km = 35,1 m = 35100 mm

6. Fachmathematische Grundbegriffe der Flächeninhaltslehre: • Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1,…,Vnzerlegt, wenn • V = V1U…U Vn • Je zwei der Vielecke V1,…, Vn haben höchstens Randpunkte gemeinsam (Überlappungsfreiheit) • Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn sie in endlich viele Vielecke V1,…,Vn bzw. W1,…,Wn so zerlegt werden können, dass für i= 1,…,n gilt: Vi ist kongruent zu Wi • Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation • Zwei Vielecke heißen ergänzungsgleich, wenn sich durch endlich viele paarweise kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen Vielecken ergänzen lassen • Satz: Zerlegungsgleiche Vielecke sind auch ergänzungsgleich

7. Die vier Axiome des Flächeninhalts • Eine Funktion, die jedem Vieleck V eine reelle Zahl |V| zuordnet, heißt Flächeninhaltsfunktion, wenn gilt: • |V|>0 stets • |V1|=|V2|, falls V1 kongruent zu V2 ist • |V|=|V1|+|V2|, falls V in V1 und V2 zerlegbar ist • |V|=1, falls V das Einheitsquadrat ist • Satz: Es gibt nur eine einzige Flächeninhaltsfunktion. Diese ordnet zerlegungs- bzw. ergänzungsgleichen Vielecken denselben Flächeninhalt zu.

8. Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule • Direkter Flächenvergleich: • Figuren aufeinander legen • Indirekter Flächenvergleich mittels eines • ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck) • Beispiele: • Bankflächen mittels Heft vergleichen • Teilfiguren in Dreiecksparkett mittels der Dreiecke vergleichen • Für ein Wand wir 6kg Farbe benötigt für die andere 9kg… • Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds • genormten Repräsentanten (Einheitsquadrat) • Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch Rückführung des Problems auf Längeneinheit • Warum Einheitsquadrate und nicht z.B. gleichseitige Einheitsdreiecke? • Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und • Abzählen besonders leicht möglich • Propädeutisch: Bestimmung von Anzahlen in Figuren aus Quadraten

9. 3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Homepage/Hartmann/Ubersichtsdarstellungen/flaeche2.swf • Rechteck • 1. Schritt: Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen • 2. Schritt: Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens • 3. Schritt: Formel (Dabei Festlegung von m•m = m² als Flächeninhalt des Einheitsquadrats) • 4. Schritt: Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere • Andere Vier- bzw. Vieleckstypen • Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das Rechteck zurückgeführt durch • Umbauen (insbesondere Idee der Mittenlinie), • Zerlegen (insbesondere Idee der Triangulation) bzw. • Ergänzen • Scheren (auch Cavalieri)

10. Beliebige „krummlinige“ Formen • Vor allem für Grobabschätzung: Ersetzen durch geeignete Vielecke • Auf Karopapier durch Auszählen der Quadrate • Auch einbeschriebenes und umbeschriebenes „Karovieleck“ • Folie mit Karoraster auf Figuren legen • Trapezstreifenmethode • Kreis • 1. Schritt: Grobabschätzung führt bereits zu Ansatz: AKreis= p• r² • 2. Schritt: Genauere Bestimmung des Faktors p an Beispielen. Dazu z.B.: • Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben oder • Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz) • Weitere bzw. ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“ • Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet • Stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her • Für Examen: Fachmathematische p-Bestimmung z.B. mittels Folge ein- bzw. umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Näherungswerte für das Verhältnis aus Kreisumfang und Durchmesser liefern.

11. Die Satzgruppe des Pythagoras • In einem rechtwinkligen Dreieck • sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich dem Quadrat über der Hypotenuse (Satz des Pythagoras) • ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz) • ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz) • Einfache Beweise (fürs Examen): • Zerlegung des rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe in zwei dazu ähnliche Dreiecke • Weitere Beweise: • http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Geometrie_HS/3_Figuren_Koerper/Flaecheninhalt/Pythagoras/Pythagoras.htm • Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung

12. Aufbau des Volumenbegriffs Analog Flächeninhalt!! • direkter Volumenvergleich • ohne Verformung: Kiste in Kiste stellen • mit Verformung • Flüssigkeiten umschütten • Knetmasse verformen • indirekter Vergleich mittels • ungenormten Repräsentanten (z.B. Tetrapack) • genormten Repräsentanten (Einheitswürfel) • 1l := Volumen eines 1dm-Würfels! • Propädeutisch: Anzahl der Würfel in Würfelbauten bestimmen • Achtung es ist dringend notwendig immer w

13. Aktivitäten • Volumenvergleiche bzw. -messungen durch • Wiegen • Vollkörper gleichen Materials verwenden • mit Wasser befüllen • Direktvergleich • Umschütten in drittes Gefäß (z.B. Messbecher) • Wasser verdrängen • Überlaufen lassen • Wasserspiegel ansteigen lassen • Zerlegungen • Bei gerade Säulen analog zu Vielecken

14. Ableitung der Volumenformeln http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Homepage/Hartmann/Ubersichtsdarstellungen/Volumen11.swf

15. Umgang mit Formeln • Intensive formenkundliche Analysen voranstellen • Grundverständnis von Flächeninhalt und Volumen als Anzahl von Einheitsquadraten bzw. –würfeln permanent aufrechterhalten • Formeln nicht zu früh einführen • Zunächst intensive Erfahrung mit Auslegen, dann erst Suche nach schnelleren Verfahren, die das Auslegen überflüssig machen • Analogien herausarbeiten (Länge-Flächeninhalt-Volumen) • Grundidee: Vergleich mit Einheit • S.o. (Analogisieren) • Keine überflüssigen Einzelformeln (Modulares Arbeiten) • Notwendige Schülerkompetenzen: • Anwendungsbereich kennen (insbesondere Erkennen von Figuren und Körperntypen) • Formel anschaulich interpretieren können • auf andere Bezeichnungen übertragen können • Größen einsetzen und mit diesen rechnen können • Formeln umstellen können • Formel in Formel einsetzen können • Zusammengesetzte Körpern bzw. Figuren vielseitig additiv bzw. subtraktiv analysieren können