L.Agélas, R.Masson, R.Eymard

1. Convergence des schémas volume fini de type "O" sur desmaillages 2D et 3D en milieux hétérogènes anisotropes L.Agélas, R.Masson, R.Eymard DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

2. Plan • Introduction • Principe des schémas volume fini de type "O" • Discrétisation spatiale • Définitions de quelques espaces • Formulation variationnelle • Coercivité • Convergence du schéma • Conclusion DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

3. Introduction • MPFA O-méthode, schéma VF largement utilisé dans l’industrie pétrolière pour la discrétisation des flux de diffusion • Avantages : flux explicites, solutions linéaires reproduites, adapté aux coefficients de diffusion discontinus • MPFA O-méthode est défini sur les maillages où le nombre de faces d’une maille partageant un nœud = d • Il existe des variantes • Preuves existantes sur maillages particuliers avec coefficients de diffusion lisses • Une forme variationnelle  MPFA O-méthode • Preuve de convergence sur maillages généraux avec coefficients de diffusion L∞ DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

4. Principe des schémas volume fini de type "O" • Calcul de "demi" flux autour de chaque sommet : zone d'interaction en "0" • u affine dans chaque maille dans la zone d'interaction • Calcul de gradients dans chaque maille de la zone d’interaction • Flux continu sur chaque arête • u continue aux points DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

5. Discrétisation spatiale • la discrétisation est donnée par • , l'ensemble des mailles • , l'ensemble des faces • , l'ensemble des centres de faces • , l'ensemble des nœuds • , l’ensemble des faces intérieures au maillage • , l’ensemble des faces de bord du maillage DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

6. Discrétisation spatiale • = • = • = • = • = • les faces de • mesure de • mesure de • normale à • distance de à DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

7. Définitions de quelques espaces muni du produit interne DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

8. Définitions de quelques espaces • , l'ensemble des fonctions constantes par morceaux sur muni de la norme : • Pour tout on définit l’élément défini par les valeurs DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

9. Formulation variationnelle • on introduit la forme bilinéaire • La formulation variationnelle discrète : DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

10. Formulation variationnelle • La formulation variationnelle discrète est équivalente au schéma volume fini: • Où le flux à la face sortant de la maille est la somme des sous flux DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

11. Formulation variationnelle DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

12. Coercivité • La forme bilinéaire est dite coercive si DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

13. Coercivité • Condition de coercivité : • => • => son existence et unicité • Cas particuliers où la condition est toujours vérifiée : DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

14. Coercivité • Interprétation de la condition sur un maillage trapèzoïdale avec le tenseur de diffusion constant : • La condition de coercivité est équivalente à : DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

15. Convergence du schéma DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007

16. Conclusion • MPFA O-méthode sensible aux mailles très déformées et à l’anisotropie du tenseur de diffusion • Perpectives : schéma volume fini convergeant sur des maillages généraux, pour des coefficients de diffusion anisotropes et hétérogènes DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007