江门市杜阮华侨中学杨清孟

柱坐标系与球坐标系 江门市杜阮华侨中学杨清孟

一.柱坐标系

z P(ρ,θ,Z) o y θ Q x 设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0, 0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中 ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞

柱坐标系又称半极坐标系，它是由 平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为

解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为（，，1）. 试一试设点的直角坐标为(1，1，1)，求它在柱坐标系中的坐标. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致

二.球坐标系

z P r φ o y θ Q x 设P是空间任意一点， (r,φ,θ) 在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=r， OP与OZ轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.

z P(r,φ,θ) r φ o y θ Q x 其中空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，

z P(r,φ,θ) r φ o y θ Q x 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标 (r,φ,θ)之间的变换关系为

试一试 设点的球坐标为(2，， )，求它的直角坐标. 点在直角坐标系中的坐标为（－1 ，1 ，－　）.

z z P(x,y,z) P(ρ,θ,Z) o y θ y z Q x x P(r,φ,θ) r φ o y θ Q x

小结数轴平面直角坐标系平面极坐标系坐标系空间直角坐标系柱坐标系球坐标系坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化，从而产生了坐标法.

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