1 / 31

Pour en finir avec l’infini

Pour en finir avec l’infini. Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2) 6/6/6. Symbole 1 : cycle. Cycles familiers. Cycles naturels des astres (jours, mois, ans) Cycles mécaniques des horloges Cycles biologiques des générations

parry
Download Presentation

Pour en finir avec l’infini

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Pour en finir avec l’infini Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2) 6/6/6

  2. Symbole 1 : cycle

  3. Cycles familiers • Cycles naturels des astres (jours, mois, ans) • Cycles mécaniques des horloges • Cycles biologiques des générations • Cycles scolaires ou universitaires • Cycles de conférences

  4. Cycles en mathématiques • Cinématique : rotation autour d’un point • Géométrie : paramétrage angulaire du cercle • Topologie : revêtement universel du cercle • Algèbre : générateur du groupe des entiers • Algorithmique : instruction de boucle

  5. Automate

  6. Symbole 2 : spirale

  7. Symbole 3 : point de fuite

  8. Fondements de l’analyse L’inverse 1/x échange 0 et l’infini : 1,2,3,…,n,… devient 1,1/2,1/3,…,1/n,… (infiniment petit = infiniment grand) Série infinie dont la somme est finie : 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2n + … = 1 (paradoxe de Zénon)

  9. Symbole 4 : abyme

  10. Dénombrements • Combien y a-t-il d’étoiles ? • Combien y a-t-il de livres ? • Combien y a-t-il de points ? • Combien y a-t-il de nombres ?

  11. L’hôtel de Hilbert L’hôtel est complet, mais il est infini. Arrive un client. Arrive un autocar infini. Arrive une infinité d’autocars infinis.

  12. Il faut passer partout :

  13. Mauvaise réponse :

  14. Bonne réponse :

  15. Autre bonne réponse :

  16. Arithmétique infinie Soit N un cardinal infini : N + 1 = N 2 x N = N + N = N N2 = N x N = N 2N > N (diagonalisation de Cantor)

  17. Représentation des réels Un nombre réel a une infinité de décimales. Exemple : 3,141592653589793238462… Idem en base 2 (arithmétique des ordinateurs). Exemple : 11,00100100001111110110… Donc il y a plus de nombres réels que d’entiers.

  18. Il faut écrire toutes les suites :

  19. Une proposition :

  20. Diagonalisation de Cantor :

  21. Cette suite n’apparaît pas :

  22. Autres diagonalisations Logique : énoncés vrais mais indémontrables Théorème d’incomplétude de Goedel Calcul : problèmes indécidables Machines de Turing Théorie de la complexité algorithmique

  23. La Bibliothèque de Babel (Borges) La Bibliothèque contient tous les livres. Les livres ont tous la même taille, mais : Comment les numéroter, les cataloguer ? La bibliothèque de Babel est-elle infinie ? A quoi sert une telle bibliothèque ?

More Related