Séries de Fourier

1. Séries de Fourier Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus et de cosinus. An=0 1(4/) 1+ 3 (4/3) 1+ 3+5 (4/5) Continu / Fondamental / harmoniques 1+ 3+ 5 + 7 (4/7)

2. Quelques exemples de signaux périodiques Sinusoide Rectangle périodique Triangle périodique Dent de scie

3. Séries de Fourier complexe De {An,Bn} à Xn en utilisant la notation complexe A

4. Pour un cosinus ? Pour un sinus ? Le spectre du signal Pour ça ? T=5t Regraduons l ’axe des n en fréquence ...

5. Transformée de Fourier des signaux continus périodiques Signal périodique  Spectre discret

6. Et la puissance d ’un signal périodique ? Identité de Parseval Densité Spectrale de Puissance

7. Du périodique au non-périodique

8. Transformée de Fourier des signaux continus Regraduons en f

9. Représentation de la TF |X(w)| Module / Argument Parties réelle & imaginaire Arg(X(w))

10. Quelques propriétés de Transformée de Fourier • Linéarité • X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)] • x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire • x(t) réel pair  X(f) réel pair • x(t) réel impair  X(f) imaginaire impair • x(t)*y(t)X(f).Y(f) et x(t).y(t)X(f)*Y(f) ! • x(t)*d(t-t0)= x(t-t0)  X(f) exp(-2jp f t0) • x(t) exp(2 j p t f0)  X(f-f0) • x*(t)  X*(-f) • x(at)  |a|-1 X(f/a) • dnx(t)/dtn (2 j p f )n X(f)

11. Quelques signaux et leur Transformée de Fourier • d(t) 1 • 1(t)½ d(f) + 1/(2 j p f ) • cos(2pf0t)[d(f-f0) +d(f+f0)]/2 • sin(2pf0t)[d(f-f0) -d(f+f0)]/2j • Sd(t+nT)FeSd(f+kFe) avec Fe=1/T • Rect(t)2a.Sinc(pfa)

12. représentation des signaux en temps 1 0.5 amplitude 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps (sec) représentation des signaux en fréquence 1 0.8 amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fréquence (Hz)

13. représentation des signaux en temps 1 0.5 amplitude 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps (sec) représentation des signaux en fréquence 1 0.8 amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fréquence (Hz)

14. représentation des signaux en temps 1 0.5 amplitude 0 -0.5 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 temps (sec) représentation des signaux en fréquence 1 0.8 amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 30 fréquence (Hz)

15. représentation des signaux en temps 1 amplitude 0.5 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 temps (msec) représentation des signaux en fréquence 1 0.8 amplitude 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fréquence (MHz)

16. représentation des signaux en temps 2 amplitude 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 temps (msec) représentation des signaux en fréquence 10 0 Énergie (dB) -10 -20 -30 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fréquence (MHz)

17. [e] PSD [e] 0.4 50 40 0.2 30 (dB) 0 20 10 -0.2 0 0 50 100 0 1 2 3 4 5 t (ms) f (kHz) DFT

18. Et l ’énergie d ’un signal ? Identité de Parseval Densité Spectrale d ’Energie

19. Transformée de Fourier & Systèmes Un SLTI va être caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t) La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f) x(t) h(t) y(t)=x(t)*h(t) TF TF TF X(f) H(f) Y(f)=X(f) . H(f) L ’inverse est aussi vrai

20. Bande passante et largeur de bande • Bande passante • Caractérise un système • Module de la rép. en fréquence • Définie à -3dB (1/2) (Pm/2) • Largeur de bande • Caractérise un signal • Densité Spectrale • Espace des fréquences utiles !

21. Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés Fréquence d ’échantillonnage Fe=1/Te La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique Le spectre est représenté de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Rque : pour des signaux discrets, on pose Te=1=Fe, (et n=t) Transformée de |X(f)| x (t) e Fourier 0 t 0 1 NTe f Te

22. X (f) Transformée de Fourier xe (t) e 1 f 0 0 1 NTe 2NTe NTe Te Tranformée de Fourier des signaux échantillonnés périodiques Fréquence d ’échantillonnage Fe=1/Te, Période du signal NTe, Fréquence du signal F=1/NTe La transformée de Fourier est discrète et donne un spectre périodique et discret Le spectre est constitué de N raies, il est représenté de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 Rque : pour des signaux discrets, on pose Te=1, (et n=t)

23. Du continu au discret, on échantillonne • Échantillonnage idéal... • ...Transformée de Fourier... •  ... périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel <=> Périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> Périodisation temporelle

24. X(f) Transformée de Fourier (CCFT) x(t) 0 T t f Périodisation Echantillonnage Transformée de Fourier (CDFT) X (f) en fréquence e x (t) T 0 T 2T 0 1 2 f T T Tourne ...

25. Transformée de Fourier (DCFT) X(f) x (t) e t 0 NT 0 1 f T Périodisation Echantillonnage Transformée de Fourier (DDFT) X (f) en fréquence e x (t) Te 1 f 0 NT 2NT 0 1 N T T et retourne ...

26. Et le numérique ? L ’avant ? L ’après ? Te ? Un signal numérique est fini (N points), pour faire sa TF, on le périodise implicitement On rajoute éventuellement des 0 (Nz), pour avoir une TF sur (N+Nz) points.

27. Les différentes TF

28. Propriétés

29. CCFT connues

30. CCFT généralisées connues

31. DCFT connues

32. CDFT connues

33. DDFT connues