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VaR – Varianz-Kovarianz Methode

VaR – Varianz-Kovarianz Methode. B.Burkhard 19.08.2004. Definition & Methoden. Defintion: VaR mißt den in Währungseinheiten bewerteten Verlust, der während eines bestimmten Zeitraums (bspw. 1 Tag) mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (bspw. 99%) nicht überschritten wird. Methoden:

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VaR – Varianz-Kovarianz Methode

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Presentation Transcript

  1. VaR – Varianz-Kovarianz Methode B.Burkhard 19.08.2004

  2. Definition & Methoden Defintion: • VaR mißt den in Währungseinheiten bewerteten Verlust, der während eines bestimmten Zeitraums (bspw. 1 Tag) mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit (bspw. 99%) nicht überschritten wird. Methoden: • Varianz / Kovarianz – VerfahrenVerteilungsannahme der wichtigsten Einflußfaktoren, um auf das VaR zu schließen • Simulationsverfahren und jeweils anschließende Neubewertung des Portfolios • Historische SimulationSimulation der Einflußfaktoren auf Basis von Beobachtungen in der Vergangenheit • Monte Carlo SimulationSimulation auf Basis einer Verteilungsannahme

  3. Risiko ist Vorhersage über Wertentwicklung des Portfolios (P&L)

  4. Prämissen für VaR-Methoden • Festlegung des Portfolios i.d.R. Gesamtportfolio oder über Risikofaktoren Aktien, Zinsen, Devisen • Identifikation der Marktparameter z.B. Devisenkurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes und (implizite) Volatilitäten • Festlegung eines Beobachtungszeitraums Beobachtungsperiode bestimmt bei der historischen Simulation die Anzahl der Szenarien. Liegt zwischen 90 – 250 Tagen. Bankenaufsicht schreibt 1 Jahr vor, also 250 Tage. • Festlegung eines Liquidationszeitraum Zeitraum bis zur Glattstellung oder bis Hedging, z.B. im Handelsbestand 1 Tag, im Anlagebuch 30 Tage – 1 Jahr. Abhängig von Liquidität der jeweiligen Märkte. Größter Schwachpunkt liegt in der impliziten Annahme, daß das Portfolio während der gesamten Liquidationsperiode unverändert bleibt. • Festlegung eine Wahrscheinlichkeitsniveau VaR ist das Quantil der Verteilung der Wertänderungen i.d.R. zwischen 95%-99%, damit der tatsächliche Verlust während der Liquidationsperiode nur selten das VaR übersteigt.

  5. Parameterisierung • extern / regulatorisch (GS I) • 10 Tag Haltedauer • 99 % Konfidenz-Niveau • gleichgewichtete Volas+Korr. (RiskMetrics) • histor. Betrachtungszeitraum (mind. 250 Handelstage) • intern / Risiko-Steuerung • 1 Tag Haltedauer • 99% Konfidenz-Niveau • exp. gewichtete Volas+Korrelationen (RiskMetrics) • histor. Betrachtungszeitraum (250 Handelstage)

  6. Varianz-Kovarianz-Methode • Verwendung von Kovarianzen ( also Volatilitäten und Korrelationen) der Risikofaktoren und die Sensitivitäten des Portofoliowertes bzgl. dieser Risikofaktoren. • Nur lineare Näherungen für die Risikofaktoren

  7. Risiko und Volatilität der Risikofaktoren • Risiko: Streuung möglicher Werte einer Zufallsgröße • z.B.: Streuung der relativen Änderung r t (Return) eines Währungskurses über einen bestimmten ZeitraumReturn: r t = (S t - S t-1 )/S t-1 S t : Währungskurs zur Zeit t Mittelwert:  = 1/T i ri Varianz: 2= 1/(T-1) i (ri -  )2 • Volatilität: des Returns des Risikofaktors S ( Währungskurs, Aktienkurs, Zins...)

  8. VaR 1 Beispiel FX-Kassa Position • Annahme einer Normal-Verteilung für Risikofaktor (parametrisches VaR) • Bsp.: deutscher Investor ist long Kassa-Position Nominal N=1 Mio USDDefinition: VaR = N x  x  x T1/2 z.B. USD/EUR-Volatilität  : 1.3 % ( aus z.B. RiskMetrics ) Skalierung : 2.33 ( für Konfidenzniveau 99 %) Haltedauer T : 1 TagUmtauschrate EUR/USD : 1.0000 EUR/USD VaR = 1 Mio USD x 2.33 x 0.013 x 1.0000 EUR/USD = 30 290 EUR • Aussage: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit wird der Marktwert der Position sichim Laufe eines Tages um nicht mehr als 30 290 EUR verringern.

  9. VaR 2 VaR von mehreren Produkten, Korrelationen Risikofaktoren verändern sich nicht unabhängig voneinander, sondern sind korreliert ein Maß für die Korrelation ist der Korrelations-Koeffizient  es gilt: -1 <= 1  = 1:vollständige Korrelation zwischen A und B A steigt--> B steigt auch = -1:vollständige Anti-Korrelation zwischen A und B A steigt--> B sinkt  = 0:keine Korrelation zwischen A und B A steigt--> B steigt oder sinkt

  10. VaR 3 VaR von mehreren Produkten Beispiel 2 Produkte aus der Def. der Varianz: (1+2) = (1) + (2) + 2 (1) (2) ==> VaR (1+2) = [ VaR(1)2 + VaR(2)2 + 2 VaR(1) VaR(2) ] 1/2 Grenzfälle: =1 VaR (1+2) = VaR(1) + VaR(2) nur im Fall vollständig (positiv) korrelierter Produkte ist das Gesamtrisiko gleich der Summe der Einzelrisiken= -1 VaR (1+2) = VaR(1) - VaR(2) Differenz der Einzelrisiken (für VaR(1)=VaR(2) ist VaR(1+2) =0 !)= 0 VaR (1+2) = [ VaR(1)2 + VaR(2)2 ] 1/2 Für alle  <1 ist das Gesamtrisiko kleiner als die Summe der Einzelrisiken: Korrelationen führen zur "Risiko-Diversifikation" !

  11. VaR 4 Beispiel 2 Devisen Kassa-Positionen • Bsp.: deutscher Investor long Kassa-Position Nominal N=1 Mio USD short Kassa-Position Nominal N= -1.5 Mio CADz.B. USD/DEM-Volatilität  : 1.3 % CAD/DEM-Volatilität  : 1.2 % Korrelation USD-CAD: 0.9 Skalierung : 2.33 ( für Konfidenzniveau 99 %) Haltedauer T : 1 TagUmtauschrate EUR/USD : 1.0000 EUR/USDUmtauschrate EUR/CAD : 0.7000 EUR/CADVaR(USD) = 1 Mio USD x 2.33 x 0.013 x 1.0000 EUR/USD = 30 290 EURVaR(CAD) = 1.5 Mio CAD x 2.33 x 0.012 x 0.7000 EUR/CAD = 29 358 EUR VaR(USD+CAD) = 13 368 EUR • Da die Positionen effektiv gegeneinander stehen ist das Portfolio-Währungs-Risiko gegenüber den Einzelrisiken stark reduziert.

  12. Annahmen • Jede Variable wird als Zufallsgröße mit bekannter Verteilung aufgefaßt. • die Wertänderung einer Position über eine Liquidationsperiode L ist normalverteilt. • die Mittelwerte (Trends) einzelner Parameter sind im Zeitablauf konstant • die Volatilitäten einzelner Parameter sind ebenfalls konstant • die Werte einzelner Parameter weisen im Zeitablauf keine Autokorrelation auf • die Korrelation zwischen verschiedenen Parameter ist im Zeitablauf konstant • Fazit: VaR ist eine Risiko-Kennzahl, die insbesondere unter normalen Marktbedingungen wertvolle Aussagen liefert und die den gesetzlichenAnforderungen gerecht wird.Für die tägliche Praxis muß sie jedoch durch komplementäre Risiko-Kennzahlen (z.B. Stress-Tests für "worst case ") ergänzt werden.

  13. Methoden zur Risikomessung Überblick Idee: generiere eine Veränderung Risikofaktoren (Szenario) und bestimme die Wertveränderungdes Portfolios (Neubewertung)Vorteile:- volle Bewertung-gute Kommunizierbarkeit (bei Stress) -nicht normalverteilte Risiko- faktoren(bei MC)- berücksichtigt extreme FälleNachteile: - Auswahl Szenarien subjektiv (beiStress)- keine Korrelationen (bei Stress) Idee: bestimme den maximalenVerlust des Portfolios bei gegeb.Konfidenz-Intervall (z.B. 99%) undgegebener Haltedauer (z.B. 1 Tag) Vorteile:- berücksichtigt Information über Ver-halten des Marktes in der Vergang-heit in statistischer Form (Volatilitäten,Korrelationen)- Resultat ist ein Betrag, der mit anderen Risiken vergleichbar istNachteile:-Modellannahmen ( siehe hinten)-keine extremen Risiken (fat tails !)

  14. Stress-Tests 1Bsp. USD Kassa-Position • z. B. Portfolio aus Produkten, die nur auf einen Risikofaktor sensitiv sind(z.B. eine Kassa-Position in USD)1. Identifizierung des Risikofaktors: USD/EUR-Rate SUSD/EUR2. Bewertung des Portfolios mit heutiger Rate SUSD/EUR3. Szenario: Rate fällt an einem Tag um 6%4. Neubewertung mit neuer Rate SUSD/EUR new = 0.94 x SUSD/EUR5. Differenz zum ursprünglichen Marktwert gibt Wertveränderung unter dem gewählten Szenariozahlenmäßig: heute long 1 Mio USD, SUSD/EUR =1.0000 EUR/USD -> PVold = 1.0 Mio EUR Szenario: SUSD/EUR new = 0.9400 EUR/USD -> PVSzenario = 0.94 Mio EUR Wertveränderung unter Szenario: - 60 000 EUR

  15. Stress-Tests 2Auswahl von Szenarien • Vielzahl von Risikofaktoren (evt. Gruppenbildung) • komplizierte Bewertungsverfahren (sehr zeitaufwendig) • gleichzeitige Veränderung mehrerer Risikofaktoren (Szenario-Matrizen für z.B. Wechselkurs und Wechselkurs-Volatilität bei FX-Optionen) • kritisch: Auswahl von Szenarien (auch extreme Änderungen der Risikofaktoren, z.B. 19.10.87: S&P 500 -20.4 % an einem Tag) • Empfehlungen der Derivatives Policy Group:Zinsen: parallel shift of +/- 100 BP, Volatilität +/- 20 % yield curve twisting +/- 20 %Aktien: Index-Shift von +/- 10%, Volatilität +/- 20 %Währungen: FX-rate Shift +/- 6%, Volatilität +/- 20 %

  16. Bsp. Backtesting Gegenüberstellung von Risikoprognose und Performance Im-Performance VaR-Prognose für den nächsten Tag

  17. Performance • realisierte Gewinne/Verluste • realisierte cash flows • carry • interest earnings • funding costs • Provisionsergebnis •  unrealisierte Verluste • GuV nach HGB = HGB P&L •  unrealisierte Gewinne • Handelsergebnis = betriebswirtschaftliche Performance

  18. Prognosegüte (Backtesting) • § 41 GSI: Prüfung der Prognosegüte mittels täglichem Vergleich der potentiellen Risikowerte mit den tatsächlichen Wertveränderungen • "Backtesting" • Zur Bemessung des Zusatzfaktors sind bei 250 Arbeitstagen die Ausnahmen zu zählen(Stand: 2000)

  19. Internet-Adressen zum Thema • http://www.gloriamundi.org/ All about Value at Risk • www.risknews.net • http://www.contingencyanalysis.com/index.htm (mit weiteren Links) • http://www.riskbook.com/ • http://www.iir.de/ • http://www.investopedia.com/default.asp • http://www.lombardrisk.com/ • http://www.riskmetrics.com/ • http://www.risknet.de/ • http://www.rmce.de/topic_risikomanager.asp • http://www.derivativesmodels.com • http://www.unriskderivatives.com/ • http://www.unriskderivatives.com/download/whitepaper.pdf (Accuracy does matter: High-End Numerical Techniques for the Robust Pricing of Structured Financial Instruments) • http://www.statslab.cam.ac.uk/ • http://www.mathfinance.de/

  20. Literatur-Empfehlungen (Auswahl) • Bankweites Risiko-Management:Joel Bessis Risk Management in Banking , John Wiley 1998Roland Eller, Handbuch Derivativer Instrumente, Schäffer Poeschel 1996 • Handel, Derivate, Bewertung :I. Uszcapowski, Optionen und Futures verstehen , Beck-DTV 1995Roland Eller, H.P. Deutsch, Derivate und Interne Modelle, Schäffer 1998John C. Hull, Options, Futures and other derivatives, Prentice-Hall 1989M. Mattoo, Structured Derivatives, Pitman Publishing 1997 • Methoden zur Risiko-Messung:Philippe Jorion, Value at Risk, McGraw-Hill 1997Kevin Dowd, Beyond Value at Risk, Wiley 1998

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