Ensino Superior

1. Ensino Superior Cálculo 1 1.6- Aplicabilidade do Limite Amintas Paiva Afonso

2. Cálculo 1 - Limites Funções e Limites Taxas de variação, definição de limite, limites laterais e técnicas para determinação de limites Prof. Amintas Paiva Afonso

3. Velocidade Média Determinando a velocidade média: Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual a sua velocidade média durante os primeiros 2s de queda? Solução: Experimentos mostram que, ao entrar em queda livre a partir do repouso, próximo da superfície terrestre, um objeto sólido e denso percorrerá y metros nos primeiros t segundos, onde: y = 4,9 t2 A velocidade média da pedra em qualquer intervalo de tempo é a distância percorrida y, dividida pelo tempo decorrido t, neste percurso. Para os primeiros 2s temos: t0= 0 e tf = 2, logo y0 = 0 e yf = 4,9(2)2. Daí,

4. Velocidade Instantânea Determine a velocidade da pedra no caso anterior, no instante t = 2 s. Fazendo a aproximação: y/ t = [4,9(t +h)2 – 4,9t2]/h, onde h está próximo de zero, podemos construir a seguinte tabela:

5. Velocidade Instantânea Determinando a velocidade instantânea algebricamente: Neste caso, podemos calcular a velocidade média da pedra ao longo do percurso t = 2s até um tempo imediatamente posterior t = 2 + h, com h > 0 bem “pequeno”, ou seja, algebricamente temos: Assim, fazendo h 0 descobrimos a velocidade instantânea em t = 2s, isto é, seu valor limite é 19,6 + 4,9(0) = 19,6 m/s.

6. Taxa instantânea Graficamente, a taxa de variação instantânea pode ser feita pelas aproximações dadas na figura abaixo.

7. Definição de limite: Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto talvez em x0. Dizemos que f(x) tem limiteL quando x tende a x0 e escrevemos Se para cada número  > 0 existir um número correspondente  > 0 tal que, para todos os valores de x, Esta definição está ilustrada, graficamente, na figura ao lado.

8. Regras envolvendo limites

9. Exemplos 1 – Funções polinomiais: Os limites podem ser obtidos por substituição, se P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0, então 2 – Funções racionais: Os limites de funções racionais podem ser obtidos por substituição, desde que o denominador não se anule, ou seja, se P(x) e Q(x) são polinômios e Q(c)  0, então 3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador: a) cancelando um fator comum:

10. Exemplos 3 – Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador: b) Criando e cancelando um fator comum: As vezes, não podemos obter o limite diretamente, mas talvez seja pos- sível obtê-lo indiretamente, quando uma função está limitada por duas funções que tenham o mesmo limite no ponto desejado. Teorema do confronto: Suponha que g(x)  f(x)  h(x) para qualquer x em um intervalo aberto, contendo c, exceto possivelmente em x = c. Suponha também que

11. Limites Laterais Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores devem se aproxi- mar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, devemos estudar os limites laterais, para verificar a existência ou não do limite.

12. Relação entre limite e limites laterais Teorema: Uma função f(x) terá limite quando x se aproximar de c, se e somente se, tiver um limite lateral à esquerda e um limite lateral à direita e os dois limites laterais forem iguais, ou seja, Exemplos: 1 – Mostre que y = sen (1/x) não tem limite quando x tende a 0. Solução: a medida que x se aproxima de 0, pela esquerda, seu inverso (1/x)  –. Daí, a função sen (1/x) assume valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Da mesma forma, ao se aproximar de zero, à direita, o inverso (1/x)  +, o que implica na função sen (1/x) assumir valores que se repetem ciclicamente entre -1 e 1. Assim, a função não tem limite nem à esquerda nem à direita de zero e, portanto, não tem limite quando x tende a zero.

13. Exemplos: 2 – Mostre que f() = (sen)/ tem limite igual 1 quando  tende a zero ( em radianos). Demonstração: Se mostrarmos que os limites laterais existem e são iguais a 1, então usando o teorema anterior obteremos o resultado requerido. Começamos com valores positivos para  e menores que /2. Observando a figura ao lado, podemos observar que: Área OAP < área do setor OAP < área do OAT Podemos expressar essas áreas em termos de  da seguinte maneira: