Pitagoras i trójkąty Liliana Źrebiec

1. PitagorasitrójkątyLiliana Źrebiec

2. Kim był Pitagoras? • Ustalenie dokładnej daty urodzin i śmierci Pitagorasa jest zadaniem prawdopodobnie niemożliwym do rozwiązania, gdyż różnice w szacunkach sięgają 10 lat – z taką zatem dokładnością można przyjąć rok580 p.n.e. jako rok jego urodzin i 500 p.n.e. jako rok śmierci.

3. Niewykluczone jednak, że człowiek ten w ogóle nie istniał, gdyż nie zostawił po sobie żadnych pism, a przekazy o jego życiu zawierają bardzo dużo treści legendarnych i jest ich niewiele.

4. Powszechnie przyjmuje się jednak, że Pitagoras urodził się na Samos jako syn kupca. W Krotonie w Wielkiej Grecji założył szkołę pitagorejczyków o charakterze filozoficzno-religijnym. Bractwo religijne Pitagorasa, oprócz mistycyzmu zajmowało się też badaniami naukowymi w zakresie matematyki i nauk przyrodniczych.

5. Brał udział w zawodach bokserskich podczas 48. olimpiady w roku 554 p.n.e., zdobywając tytuł mistrzowski. Sam Pitagoras był wegetarianinem. • Pitagoras zalecał swoim uczniom zadawanie sobie codziennie wieczorem pytań: Jaki błąd popełniłem? Co zdziałałem? Jakiego obowiązku zaniedbałem?

6. Uczniowie Pitagorasa swoje dzieła często przypisywali mistrzowi, dzięki czemu otrzymywały one wyższą rangę i były poparte autorytetem wielkiego filozofa. Podobnie mogło być ze słynnym twierdzeniem Pitagorasa nazwanym jego imieniem. Najprawdopodobniej nie zostało stworzone przez niego, lecz przez jednego z przedstawicieli szkoły pitagorejskiej. • Wśród innych osiągnięć Pitagorasa i jego szkoły wymienia się też: • dowód, że suma kątów trójkąta równa jest dwóm kątom prostym, • wprowadzenie średnich: arytmetycznej, harmonicznej i geometrycznej, • konstrukcje wielościanów foremnych i odkrycie dwunastościanu foremnego.

7. Twierdzenie Pitagorasa • W dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta. a²+b²=c²

8. Geometrycznie oznacza to, że jeżeli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy kwadraty, to suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych tego trójkąta będzie równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej. W sytuacji na rysunku: suma pól kwadratów "fioletowego" i "zielonego" jest równa polu kwadratu "czerwonego".

9. Twierdzenie Pitagorasa w uczniowskiej liryce Anety Wilczak brzmi: "Ten Pitagoras to mądry Grek,ważne twierdzenie nam kiedyś rzekł:Gdy prostokątny to trójkąt jest,to suma kwadratów przyprostokątnych jego,równa się kwadratowi przeciwprostokątnej trójkąta danego.Tymi słowami wyjaśnił nam treść,która w nauce dość ważna jest."

10. Dowody: Liczba różnych dowodów twierdzenia Pitagorasa jest przytłaczająca, według niektórych źródeł przekracza 350. Euklides w „Elementach” podaje ich osiem, kolejne pojawiały się na przestrzeni wieków.

11. Dowód : a,b,c oznaczają długości boków kwadratów A,B,C odpowiednio. Przez środek kwadratu B (o dłuższej przyprostokątnej) prowadzimy dwa odcinki równoległe do boków kwadratu C. Mają one długość c i dzielą się w połowie. Kwadrat B został też podzielony na 4 przystające czworokąty o dwóch kątach prostych. A

12. Następnie przesuwamy je sobie (tj. te dwa odcinki) równolegle tak aby przechodziły przez wszystkie cztery wierzchołki kwadratu B.Te cztery przesunięte odcinki zaznaczone zostały na rysunku kolorem różowym. A

13. Powstały w wyniku tego w kwadracie B cztery trójkąty prostokątne przystające do tego o bokach a, b, c.Każde ramie kwadratu B jest podzielone na odcinek długości a (na czerwono na rys.) i jeszcze dwa odcinki równej długości x. Te 4 przystające czworokąty o dwóch kątach prostych, powstałe w etapie 1 mają boki długości: c/2 ; c/2 ; x ; a+x Gdzie : x=(b-a):2 A

14. "Wklejamy"ponumerowan czworokąty z kwadratu B do C, w sposób pokazany na rysunku. W środku kwadratu C Powstaje kwadrat o boku a i wklejamy tam kwadrat A. A

15. Dowód układanka: Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości a,b i c jak rysunku z lewej. Konstruujemy kwadrat o boku długości a + b w sposób ukazany na rysunku z lewej, a następnie z prawej. Z jednej strony pole kwadratu równe jest sumie pól czterech trójkątów prostokątnych i kwadratu zbudowanego na ich przeciwprostokątnych, z drugiej zaś równe jest ono sumie pól tych samych czterech trójkątów i dwóch mniejszych kwadratów zbudowanych na ich przyprostokątnych. Stąd wniosek, że pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych.

16. Dowód przez podobieństwo • Jest to jeden z dowodów podanych przez Euklidesa, wykorzystuje on podobieństwo trójkątów. Zauważmy, że na rysunku obok trójkąty: "duży" – ΔABC, "różowy" – ΔADC i "niebieski" – ΔDBC są podobne. Niech | AB | = c, | BC | = a i | AC | = b. Można napisać proporcje: Stąd: i po dodaniu stronami:

17. Twierdzenie odwrotne Jeśli dane są trzy dodatnie liczby a,b i c takie, że a² + b² = c², to istnieje trójkąt o bokach długości a,b i c, a kąt między bokami o długości a i b jest prosty. Najprawdopodobniej twierdzenie to wykorzystywane było w wielu starożytnych kulturach Azji (Chinach, Indiach, Babilonii) i Egipcie do praktycznego wyznaczania kąta prostego. Wystarczy bowiem zbudować trójkąt o bokach długości 3, 4 i 5 jednostek, aby uzyskać kąt prosty między bokami o długościach 3 i 4.

18. Dowód Weźmy dowolny trójkąt ABC o bokach odpowiednio: | BC | = a, | AC | = b, | AB | = c spełniający warunek: a² + b² = c² . Naszym zamiarem jest pokazanie, że jest to trójkąt prostokątny. W tym celu weźmy inny trójkąt KLM taki że: | KL | = a, | KM | = b oraz Trójkąt KLM jest prostąkątny zatem dla niego możemy skorzystać z twierdzenia piragorasa i obliczyć bok LM :

19. Uogólnienie Jeśli zbuduje się figury podobne na bokach trójkąta prostokątnego, to suma pól powierzchni dwóch mniejszych będzie równa polu powierzchni największej figury.

20. Przykłady: Kwadraty na bokach trójkąta ostrokątnego Jeżeli trójkąt jest ostrokątny różnoboczny, to suma pól kwadratów zbudowanych na jego krótszych bokach jest większa od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

21. Kwadraty na bokach trójkąta rozwartokątnego: Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny różnoboczny, to suma pól kwadratów zbudowanych na jego krótszych bokach jest mniejsza od pola kwadratu zbudowanego na najdłuższym boku.

22. DOWÓD: a² = h²+ x² c² = h² + ( x + b )² = = h² + x² + 2bx + b² zatem c² = a² + b² +2bx szacując wyniki otrzymujemy: c²=a²+b²+2bx >a²+b ² stąd c² > a² + b²

23. Trójkąty egipskie • Trójkąt egipski jest trójkątem prostokątnym o stosunkach długości boków 3:4:5. Znany był w starożytnym Egipcie (stąd nazwa), w piramidzie Cheopsa znajduje się komnata królewska o wymiarach: 3, 4, 5.

24. Trójkąt pitagorejski to trójkąt prostokątny, którego długości boków są liczbami naturalnymi. Najwcześniej znanym trójkątem pitagorejskim był trójkąt o bokach długości 3, 4, 5 tak zwany trójkąt egipski. Trójkę liczb naturalnych a, b, c wyrażających długości boków trójkąta prostokątnego nazywa się trójką pitagorejską. Jeśli dwie spośród liczb a, b, c mają wspólny podzielnik, to ma go też trzecia liczba.

25. Pitagoras wymyślił też prawidłowość dotyczącą znajdywania liczb całkowitych dla trójkątów pitagorejskich. Wyraża się ona wzorem: (2n + 1)² + (2n² + 2n)² = (2n² + 2n + 1)² Gdzie n oznacza dowolną liczbą naturalną.

26. Źródła: • http://portalwiedzy.onet.pl/1239,,,,pitagoras,haslo.html • http://pl.wikipedia.org/wiki/Twierdzenie_Pitagorasa • http://www.pitagoras.of.pl/ • http://www.matematyka.ukw.edu.pl/omega/pitagoras/index.html • http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jk%C4%85t_prostok%C4%85tny • http://www.matmaserwis.scholaris.pl/artykuly/tr_pit.html