Tartaglia

1. Tartaglia Lavoro a più mani…

2. Schema per costruire il Triangolo 1 1 1 2 1 1 1 1 3 3 4 1 4 1 6 All’ inizio e alla fine di ogni riga c’ è sempre 1 Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 – 1 Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numeri ( es. 1+1=2 ); 1+2= 3 2+1= 3 1+3=4 3+3=6 3+1=4 A cura di Mgio Melis

3. 3 1 3 1 4 4 Il triangolo presenta una simmetria assiale. La simmetria nel colore è perfetta E ‘evidenziata la proprietà commutativa dell’ addizione 1+3= 4 3+1= 4 Mgio Melis

4. Numeri tetraedrici Sequenza dei numeri naturali Potenze di 2 Numeri dispari Potenze di 11 Numeri quadrati Il momento dell’’esplorazione …… Il triangolo aritmetico è ricco di modelli. Scopriamone alcuni … Numeri esagonali Multipli di 2 Il fiore: un altro modello Numeri di Fibonacci Numeri primi e multipli Numeri triangolari Tartaglia e Sierpinski Mgio Melis

5. Potenze di 11 Se costruiamo le potenze successive di 11, troviamo che: (11)0 = 1 1 (11)1 = 11 1 1 (11)2 = 121 1 2 1 (11)3 = 1331 1 3 3 1 (11)4 = 14641 1 4 6 4 1 Sommando i prodotti parziali della moltiplicazione (con moltiplicatore 11), si eseguono le stesse addizioni che occorrono per costruire le righe del triangolo di Tartaglia. Nel caso di (11)5, questo è impedito dal fatto che nella somma dei prodotti parziali va tenuto conto del riporto; se, però, scriviamo le potenze di 11 in forma polinomiale, si ritrovano sempre i coefficientibinomiali deltriangolo di Tartaglia. A cura di Ivana Niccolai

6. Esempi 11)3=1331= 1*(10)3+3*(10)2+3*(10)1+1*(10)0 (11)4=14641= 1*(10)4+4*(10)3+6*(10)2+4*(10)1+1*(10)0 (11)5=161051= = 1*(10)5+5*(10)4+10*(10)3+10*(10)2+5*(10)1+1*(10)0 (11)6=1771561= = 1*(10)6+6*(10)5+15*(10)4+20*(10)3+15*(10)2+6*(10)1+1*(10)0 ecc. A cura di Ivana Niccolai

7. Il triangolo è usato soprattutto in algebra e probabilità. Una interessante presentazione di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore e una splendida poesia di Grazia Raffa & Ivana Niccolai, visionabile cliccando qui Mgio Melis

8. Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 1/4(di Grazia Raffa e Ivana Niccolai) Nei suoi calcoli non sbaglia: come mente non tartaglia; questo genio alquanto vale anche in … geometria frattale! Il suo triangolo usiamo pure in algebra e troviamo coefficienti di potenza del binomio, in tale scienza, A cura di Ivana Niccolai

9. Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 2/4 nonché in combinatoria, che arricchisce la sua gloria; qui son le combinazioni a formar le condizioni di assestarsi in modo tale atto al triangolo speciale. A cura di Ivana Niccolai

10. Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano3/4 E’ sicuro che – comunque – da lì si procede al dunque e possiam anche ammirare quanto Gauss già seppe fare: distribuendo alla gaussiana vedo aspetto di campana, con palline incanalando la suddetta vien, giocando; A cura di Ivana Niccolai

11. Ode al triangolo di Pascal-TARTAGLIA-Cardano 4/4 Questo triangolo si trova in qualsiasi campo, o prova; lo lodiamo con diletto ritenendolo perfetto. A cura di Ivana Niccolai

12. Le prime righe del triangolo di Tartaglia in…combinatoria 0 0 Ogni combinazioneè sempre uguale alla somma delle due combinazioni che si trovano immediatamente sopra... 11 0 1 0 0 22 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3 4 4 4 4 4 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 A cura di Ivana Niccolai

13. Precisazioni 1/2 Se si usa il triangolo di Tartaglia in combinatoria, si può scrivere: n p per indicare il numero delle disposizioni di n oggetti distinti a p a p, dove: n p == [n*(n-1)*(n-2)*…*(n-p+1)]/p! = n!/[p!*(n-p)!] A cura di Ivana Niccolai

14. Precisazioni 2/2 0 0 = 1, per il principio di permanenza delle proprietà formali. Nel libro«GIOCANDO CON L’INFINITO – Matematica per tutti », di Rozsa Péter, a cura di Corrado Mangione, Prima edizione italiana: aprile 1973, si afferma: “C'è un'unica maniera di ritrarre la mano senza aver preso nulla da una sacca vuota, quindi possiamo considerare 1 il numero delle combinazioni  di zero elementi a partire da zero elementi“. A cura di Ivana Niccolai

15. Esempi 1/2 Quanti modi abbiamo di disporre 6 oggetti a 4 a 4? Sono tanti quanti sono i modi di disporne 5 a 3 a 3 più i modi di disporne 5 a 4 a 4 Infatti: 15 = 10 + 5 A cura di Ivana Niccolai

16. Esempi 2/2 Quanti modi abbiamo di disporre 7 oggetti a 3 a 3? Sono tanti quanti sono i modi di disporne 6 a 2 a 2 più i modi di disporne 6 a 3 a 3. Infatti: 35 = 15 + 20 A cura di Ivana Niccolai

17. Il gioco del soldatino A cura di Ivana Niccolai

18. Spiegazione del gioco del soldatino In A si sistema un soldatino; si lancia una moneta: se viene testa, il soldatino va in basso a destra (cioè in C), se viene croce va in basso a sinistra (cioè in B) e così via. A cura di Ivana Niccolai

19. Domande relative al gioco del soldatino • Quante strade portano in B? Quante in C? Quante in E? Ecc. • In quali caselle finali sarà bene scommettere che il soldatino andrà a finire? A cura di Ivana Niccolai

20. Risposte 1) Osservando il numero delle strade che conducono nelle varie caselle, contrassegnate da una lettera dell’alfabeto, si arriva al triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano. 2) Tale triangolo fornisce, qui, una distribuzione casuale del tipo “a campana”. A cura di Ivana Niccolai

21. La tavola di Galton (o quinconce) I II III IV V VI Quinconce (deriva dal latino quincunx, quincuncis): genericamente, nell’antica Roma, frazione di 5/12 dell’unità. A cura di Ivana Niccolai

22. Quinconce di 5 righe di bulloni Ho considerato 32 palline di vetro e il quinconce di 5 righe di bulloni, bulloni ben distanziati tra loro, in modo uniforme e righe così suddivise: I riga : 1 bullone II riga: 2 bulloni III riga: 3 bulloni IV riga: 4 bulloni V riga: 5 bulloni A cura di Ivana Niccolai

23. Come si costruisce • Materiale occorrente: • Cartone di una scatola da scarpe e palline di vetro • Bulloni da sistemare secondo la disposizione data dal triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano • Due alette di cartone da mettere sul retro, perché possa stare inclinata • Coperchio della scatola (in cui sistemare, poi, la tavola di Galton) • Stuzzicadenti da posizionare,opportunamente,in fondo, perdelimitare le vie di uscita A cura di Ivana Niccolai

24. Come si gioca Si fanno partire, una alla volta, le palline di vetro dalla posizione 1 del vertice in alto: esse si distribuiranno, nei vari scomparti delimitati dagli stuzzicadenti, in numero maggiore là dove è più probabile arrivare… Le palline stesse formeranno la “curva di Gauss, a campana” A cura di Ivana Niccolai

25. La sistemazione delle 32 palline Facendo cadere, a una a una, 32 palline ci si aspetta una distribuzione di tali palline nelle seguenti cassette (delimitate dagli stuzzicadenti): I cassetta: 1 pallina II cassetta: 5 palline III cassetta: 10 palline IV cassetta: 10 palline V cassetta: 5 palline VI cassetta: 1 pallina Si nota che 1 – 5 – 10 – 10 – 5 – 1 sono i valori che si rintracciano facilmente nel triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano A cura di Ivana Niccolai

26. Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2 Nella figura, a sinistra, è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa della tavola di Galton A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

27. Una tavola di Galton a sei righe di prismi esagonali 1/2 I bulloni, fissati su un pannello di base, sono sostituiti da prismi esagonali di legno e tutti uguali tra loro. Ponendo nell’imbuto superiore varie biglie, queste scendono nei vari scomparti sottostanti (data la pendenza della base inferiore) e, una volta scese, si distribuiscono seguendo l’andamento della curva di Gauss. Nell’immagine, che si trova nella diapositiva seguente, vengono visualizzati tutti i possibili percorsi che le biglie possono seguire fino alla quarta riga di esagoni (ed è semplice ritrovare il noto “triangolo di Tartaglia”!) A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

28. Tutti i percorsi possibili delle biglie fino alla quarta riga… A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

29. Apparecchio di Bittering 1/2 Nella figura a sinistra è schematizzata, in assonometria, la versione più diffusa dell’apparecchio di Bittering A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

30. Apparecchio di Bittering 2/2 Il materiale per la sua costruzione può essere compensato o legno e occorrono biglie, o pallini di piombo, che inizialmente vengono disposti nello scomparto superiore centrale. Inclinando una prima volta l’apparecchio, questi vanno a occupare i due scomparti centrali e sottostanti a quello di partenza, distribuendosi in essi uniformemente. Si prosegue così di seguito fino a quando i pallini avranno occupato tutti gli scomparti superiori: a questo punto si può constatare facilmente che la distribuzione finale delle biglie è “a campana”, simile a quella ottenuta con la tavola di Galton. A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

31. Le prime tre fasi di tutti i possibili percorsi delle biglie con le relative probabilità A cura di Ivana Niccolai, con il contributo di Dino Liberatore

32. Il triangolo di Pascal-Tartaglia-Cardano in algebra (x+y)0=1 coefficienti: 1 (x+y)1=1x+1y coefficienti: 1 1 (x+y)2=1x2+2xy+1y2 coeff.: 1 21 (x+y)3=1x3+3x2y+3xy2+1y3 coeff.: 1 3 3 1 (x+y)4=1x4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4 coeff.: 1 4 6 4 1 Ecc. TORNA A cura di Ivana Niccolai

33. Aritmetica modulare e “ Effetto Tartaruga”…

34. Considerando multipli (in giallo) e non multipli (scuri)  dei numeri da 2 a 28 e osservando le prime 165 linee del nostro famigerato triangolo, ecco che cosa si ottiene: Giorgio Pietrocola

35. “I numeri contengono segreti che vale la pena scoprire!” diceva Pitagora ai suoi allievi Modelli, che passione! Colorando le celle del triangolo, i bambini hanno fatto altre scoperte!! Mgio Melis

36. 1 1 1 1 1 2 3 1 1 3 1 6 4 4 1 1 5 1 5 10 10 6 15 20 6 15 1 1 7 21 35 21 7 1 35 1 28 1 56 28 8 1 70 56 8 9 9 84 1 36 36 84 126 1 126 Multipli di 4 1 10 1 120 252 10 45 210 45 210 120 M di 8 Confrontando il modello dei multipli di 8 con quello dei multipli di 4 si nota che sono molto differenti. “Tutti i multipli di 8 sono anche multipli di 4. I multipli di 4 non sono necessariamente multipli di 8”. 1 Multipli di 4 1 1 1 1 2 3 1 1 3 1 6 4 4 1 1 5 1 5 10 10 6 15 20 6 15 1 1 7 21 35 21 7 1 35 1 1 56 28 8 1 28 70 56 8 9 9 84 1 36 36 84 126 1 126 Multipli di 4 1 10 1 120 252 10 45 210 45 210 120 Multipli di 8 Mgio Melis

37. 1 1 1 M di 3 1 1 2 Alcuni multipli di 3 sono anche multipli di 9 1 3 1 3 1 6 4 4 1 1 5 1 5 10 10 6 15 20 6 15 1 1 7 21 35 21 7 1 35 1 28 1 56 28 8 1 70 56 8 9 9 84 1 36 36 84 126 1 126 1 10 1 120 252 10 45 210 45 210 120 1 1 1 M di 9 1 1 2 3 1 1 3 Un numero divisibile per 9 è divisibile anche per 3 1 6 4 4 1 1 5 1 5 10 10 6 15 20 6 15 1 1 7 21 35 21 7 1 35 1 28 1 56 28 8 1 70 56 8 9 9 84 1 36 36 84 126 1 126 1 10 120 252 1 10 45 210 45 210 120 Mgio Melis

38. 6 6 6 84 36 36 84 126 126 120 252 210 210 120 Multipli di 6 Se un numero è multiplo di 2 e di 3, allora è multiplo di 6 M di 3 M di 2 2 3 3 6 6 4 4 10 10 6 6 15 6 20 6 15 21 21 28 56 28 8 70 56 8 9 9 84 84 36 36 36 36 84 84 126 126 126 126 10 120 120 252 252 45 10 210 210 45 210 210 120 120 Mgio Melis

39. M di 2 2 1 1 1 6 4 4 1 1 2 10 10 3 1 1 3 6 20 6 1 6 4 4 1 1 28 5 1 5 56 28 10 10 8 70 56 8 6 84 15 36 20 6 36 84 15 1 126 126 1 10 120 252 10 7 21 210 35 21 210 7 120 1 35 1 28 1 56 28 8 1 70 56 8 9 9 84 1 36 36 84 126 1 126 1 10 120 252 1 10 45 210 45 210 120 Multipli di 10 Se un numero è multiplo di 2 e di 5 è anche multiplo di 10 M di 5 10 10 5 5 20 15 15 35 35 70 120 45 10 10 45 210 210 120 Mgio Melis

40. E’ certo! Non abbiamo scoperto tutti i segreti che questo meraviglioso triangolo nasconde. La ricerca continua ed è aperta ai contributi e alla curiosità cognitiva di ognuno. Sento anche di dire che questa esperienza di lavoro collaborativo con due colleghi che conosco solo ‘virtualmente’ - e che ho imparato a stimare e ad apprezzare - mi ha sicuramente arricchita. Ivana Giorgio Vi ringrazio! Maria Giovanna