Il Triangolo di Tartaglia

1. La matematica può essere definita come la scienza in cui non sappiamo mai di che cosa stiamo parlando, né se ciò che diciamo è vero. Bertrand Russell Il Triangolo di Tartaglia

2. Prima di elencare le sue magie … Parliamo un pò del “mago” Nel 1500, nasce a Brescia, da una povera famiglia, Niccolò Fontana, che rimane orfano di padre all’ età di sei anni. Deve il suo soprannome “Tartaglia” alla ferita causatagli dai soldati francesi nel Duomo durante il “Sacco di Brescia”, in quella che è la risposta dell’ esercito francese alla Lega Santa, istituita nel 1511 da Papa Giulio II con Venezia, Spagna e Inghilterra per liberare l’Italia dagli stranieri. Privo di un professore che potessi insegnargli a leggere e scrivere, studiò da autodidatta. Nel 1518 si trasferisce a Verona e negli anni ’30 si forma una famiglia, sostentandosi con lezioni private e pubbliche, offrendo consulti come sperto di calcoli, cambi e misurazioni… di molti problemi sia teorici che pratici. Nel 1534, trasferitosi a Venezia, insegna matematica e si dedica alla pubblicazione delle sue opere, divilgando anche alcune opere classiche del sapere matematico. Morì il 13 Dicembre 1557 a Venezia.

4. Anche se Tartaglia fu il primo ad esplorarlo nel suo testo “General trattato di numeri et misure” (1556), un secolo dopo Blaise Pascal lo caratterizzò con nuove proprietà fino a quel tempo sconosciute e lo rappresentò usando la forma di un triangolo rettangolo Il triangolo di Tartaglia è una costruzione, per ottenere i coefficienti binomiali, ossia i coefficienti dello sviluppo del binomio (a+b) elevato ad una qualsiasi potenza n. Ma non fu interamente opera sua. Omar Khayyam, conosciuto in occidente come uno dei maggiori poeti persiani, nell’opera “Algebra” espone una regola da lui trovata per trovare le potenze successive di un binomio. Ancora più antico (XIII secolo) è il triangolo di un matematico cinese Chu- Shih-Chieh che apre l’opera proprio col triangolo di Tartaglia, intitolandolo “Tavola del vecchio Metodo dei sette quadrati moltiplicatori”

5. Sviluppo delle potenze del binomio: (a+b)n 0 1 (a+b) 0 = 1 1 1 1 (a+b)1 = 1a + 1b = a + b 2 1 2 1 (a+b) 2 = 1a2 + 2ab + 1b2 3 1 3 3 1 (a+b)3 = 1a3 + 3a2b +3ab2 + 1b3 4 1 4 6 4 1 (a+b)4 = 1a4 + 4a3b + 6a2b2 +4ab3 + 1b4 5 1 5 10 10 5 1 (a+b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a3b2 +10a2b3 + 5ab4 + 1b 6 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)6 = 1a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + 1b6 1. Coefficenti Binomiali Gli elementi del triangolo di Tartaglia sono detti coefficienti binomiali poiché coincidono con i coefficienti delle potenze di un binomio. Ogni elemento del triangolo si può individuare con due numeri ovvero il numero di riga ed il numero di posto (il numero di posto può essere al massimo uguale al numero di riga +1)

6. 2. I numeri di Fibonacci C'è un metodo per ottenere dei numeri che se rapportati tra loro danno come risultato un numero che si avvicina sempre più al numero d'oro man mano che i numeri diventano grandi. Questi numeri sono quelli appartengono alla serie di Fibonacci, una serie in cui ogni termine si ottiene dalla somma dei due precedenti. I primi elementi sono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597.... Dal triangolo di tartaglia si possono ricavar i numeri di Fibonacci, basta sommare i numeri delle diagonali come evidenziate nella figura: così dalla prima riga otteniamo 1, dalla seconda ancora 1, poi 2, 3, 5, 8, 13, 21…

7. 3. Numeri Triangolari I numeri triangolari sono quei numeri che sono uguali alla somma di una sequenza di numeri consecutivi a partire da 1. E’ dato quindi dalla somma di un numero naturale n e di tutti i suoi precedenti. Ad esempio, 10 e 15 sono numeri triangolari perchè 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 Sono detti anche numeri figurati, perchè si possono rappresentare così: 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5

8. 4. Potenze del 2 La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2. Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente 15 e che la somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo precedono. 8 2 16-1= 15 16= 8

9. Inoltre notiamo che all’interno del Triangolo notiamo una serie di altre figure triangolari più piccole: Se il Triangolo è sufficientemente ampio si riescono ad individuare altre configurazioni In questo modo scopriamo che il risultato è una sorprendente serie di triangoli simili. In questo caso i numeri pari sono stati sostituiti da punti neri e i numeri dispari da punti rossi. Tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.

10. A cura di Antea Terradura Roberta Mascaro Classe IV Ginnasio Istituto Salesiano S. Antonio di Padova