Funciones Reales de Varias variables

1. UPC UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS Funciones Reales de Varias variables Tema:

2. Funciones reales de dos variables Sea D contenido en RxR. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

3. Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z= k, cte real DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para El cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}

4. DERIVADA PARCIAL RESPECTO X Z Y X

5. Ejemplo: Si Entonces:

6. Otras notaciones z = f(x,y)

7. Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

9. Ejemplo: hallar fx y fy si ,

10. Derivadas parciales de segundo orden

11. Derivadas parciales de segundo orden

12. Ejemplo hallar Si

13. Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

14. DERIVADAS DIRECCIONALES z y x

15. Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u si el límite existe.

16. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

17. Hallar la derivada direccional de f(x,y)=x2-xy+y en la dirección del vector v=(1,2)

18. z y x GRADIENTE

19. Ñ Derivada Direccional en término s del

20. Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento es || f (x0,y0 ) ||.

21. Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en P(x0,y0) es -||f (x0,y0) ||.