Funciones reales de varias variables

1. UPC UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS Funciones reales de varias variables Tema:

2. Gráficas de algunas superficies http://www.math.umn.edu/~rogness/quadrics/index.shtml

3. Funciones reales de dos variables Sea D contenido en R2. Una función f:D R (x,y) z=f(x,y) es una correspondencia que asocia a cada par (x,y) un único número real denotado por z=f(x,y)

4. Curvas de Nivel: Son aquellas curvas que se generan al hacer z = k, cte. real DOMINIO: Conjunto de pares (x;y) para el cual tiene sentido la regla que define a f. Gráfica de una función: Gf = {(x,y,z)/ z = f(x,y), (x,y) D}

5. Curvas de nivel http://www.math.umn.edu/~nykamp/m2374/readings/levelcurve/

6. DERIVADA PARCIAL RESPECTO X Z Y X

7. Interpretación geométrica de derivada parcial http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/partialderivs.shtml

8. Ejemplo: Si Entonces:

9. Otras notaciones z = f(x,y)

10. Reglas de cálculo: u=f(x,y) v=g(x,y)

12. Ejemplo: hallar fx y fy si

13. Derivadas parciales de segundo orden

14. Derivadas parciales de segundo orden

15. Ejemplo hallar Si

16. Teorema de Clairaut Sea z = f(x,y) una función real de dos variables. Si fxy y fyx son continuas en una región D, entonces fxy = fyx en D .

17. DERIVADAS DIRECCIONALES z y x

18. Interpretación geométrica de derivada direccional http://www.math.umn.edu/~rogness/multivar/dirderiv.shtml

19. Definición: La derivada direccional de f en la dirección dada por el vector unitario u está dada por: si el límite existe.

20. Teorema: Si f tiene sus primeras derivadas parciales continuas entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario u y:

21. Hallar la derivada direccional de f(x,y) = x2-xy+y en la dirección del vector v = (1,2).

22. GRADIENTE z y x

23. Ñ Derivada direccional en término s del

24. Teorema a) El valor máximo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección f(x0,y0). b) La tasa máxima de crecimiento de f en (x0,y0) es || f (x0,y0 ) ||.

25. Corolario a) El valor mínimo de Du f(x0,y0) se alcanza en la dirección de - f(x0,y0) b) La tasa mínima de crecimiento de f en (x0,y0) es -||f (x0,y0) ||.