FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. Sandra Chimal

1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.Sandra Chimal

2. El método de Arquímedes • Las definiciones y procedimientos formales surgen de la investigación de problemas prácticos.

3. Ejemplo: Mapa meteorológico • El mapa ilustra la temperatura máxima T que depende de longitud y latitud. Las curvas del mapa llamadas isotermas, dividen al país en zonas según T.

4. Ejemplo: Funciones de distribución de probabilidad • Un grupo de 10 individuos se usa para un estudio biológico. El grupo contiene 3 personas con sangre tipo 0, 4 con tipo A y 3 con tipo B. Se toma una muestra aleatoria de 5 personas. • Sea X= número de personas del tipo 0 • Y= número de personas del tipo A • Z= número de personas del tipo B • El número de elementos en el espacio muestral son 10C5=252. Z=5-(X+Y)

5. X • Y

6. Ejemplo: Transformación • Función que transforma el cuadrado [0,1]x[0,1] en el paralelogramo formado por los vectores (1,2),(3,1) y (0,0). • Tomando el hecho que las transformaciones lineales llevan paralelogramos en paralelogramos, se desea encontrar una transformación lineal que cumpla con • T(1,0) = (3,1) • T(0,1) = (1,2)

7. esto en base a que {(1,0),(0,1)} y {(3,1),(1,2)} son bases del plano. Entonces a(1,0)+b(0,1)=(1,1) dicha combinación lineal nos lleva a=1, b=1

8. Se tiene

9. Ejemplo. Matriz de producción. • Un fabricante hace 4 tipos diferentes de productos, cada uno requiere 3 tipos de materiales. Se denota a los 4 productos por y a los materiales por La siguiente tabla da el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de producto.

10. Si se produce cierto número de los cuatro productos. ¿Cuántas unidades de cada material se necesitan?

11. Sean el número de artículos fabricados de los 4 productos y sean el número de unidades necesarias de los tres materiales. Entonces

12. La matriz A pude ser vista como la matriz de una transformación lineal .

13. NOTA HISTORICA. Mary Fairfax Somerville (1780-1872). Somerville se interesó por el problema de crear modelos geométricos de funciones de varias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831. Gran divulgadora de los resultados de Laplace.

14. Sonya Kovalevsky (1850-1891). Gran parte de la terminología usada para definir limites y continuidad de una función de dos o tres variables la introdujo el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). El enfoque riguroso de Weierstrass a los límites y a otros temas en cálculo le valió la reputación de “padre del análisis moderno”. Weierstrass era un maestro excelente. Una de sus alumnas fue la matemática rusa Sonya, quien aplicó muchas de las técnicas de Weierstrass a problemas de la física matemática y se convirtió en una de las primeras mujeres aceptada como investigadora matemática.

15. James Joseph Silvester (1814-1897). Matemático inglés que fue el primero que usó el término matriz en 1850, para distinguir las matrices de los determinantes. De hecho, la intención era que el término matriz tuviera el significado de “madre de los determinantes”.

16. El contribuyente más prolífico a la teoría de determinantes fue el matemático francés Augustin-Louis Cauchy (1789-1857). Cauchy escribió una memoria de 84 páginas, en 1812, que contenía la primera prueba del teorema detAB=detAdetB. En1840 definió la ecuación característica de la matriz A como la ecuación polinomial det(A-tI)=0. • Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su libro de texto escrito en 1829, Lecons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite.

17. Vale la pena mencionar aquí algunos matemáticos. La expansión de un determinante por cofactores fue usada por primera vez por un matemático francés, Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Laplace es más conocido por la transformada de Laplace que se estudio en cursos de matemáticas aplicadas. Un contribuyente importante a la teoría de determinantes (segundo después de Cauchy) fue el matemático alemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con él que la palabra “determinante” ganó su aceptación final. Jacobi usó primero un determinante aplicado a las funciones para establecer la teroría de funciones de varias variables. Más tarde, Silvestre llamó a este determinante el “Jacobiano”. Los estudiantes actuales estudian los jacobianos en los cursos de cálculo de varias variables.