Processo de Transformação de um Polígono Qualquer em um Triângulo Equilátero de Área Equivalente

1. FRANCISCANO Centro Universitário Franciscano CENTRO UNIVERSITÁRIO Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática Processo de Transformação de um Polígono Qualquer em um Triângulo Equilátero de Área Equivalente Aluna do Mestrado:Merielen Fátima Caramori 2008

2. OBJETIVO Demonstrar a equivalência entre as áreas de um polígono irregular e um triângulo equilátero.

3. CONTEXTO DA ATIVIDADE Esta atividade foi apresentada no Seminário Integrado como parte das Reflexões da Docência, no Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática.

4. DESENVOLVIMENTO DA ATIVIDADE Essa atividade foi desenvolvida seguindo uma sequência de passos para mostrar a transformação de um pentágono irregular num triângulo equilátero de área equivalente.

5. As construções realizadas para o debate seguem as idéias do texto de Antoni Pinyol Fontova : “Equivalencia entre cualquier polígono regular o irregular y um triângulo equilátero” Revista UNO Revista de Didática de las Matemáticas nº44,2007. As construções realizadas serviram de inspiração para o debate sobre as relações geométricas entre duas figuras planas e a discussão sobre a quadratura de figuras planas.

6. Primeiro Passo: Transformar um pentágono irregular num triângulo qualquer.

7. Considera-se um pentágono irregular ABCDE qualquer, como mostrado na figura 1.

8. Em seguida são traçadas as diagonais AD e BD e são traçadas as retas paralelas a AD e BD interceptando a reta r nos pontos F e G, respectivamente

9. Desse modo transformou-se um pentágono irregular num triângulo escaleno FGD, de mesma área.

10. Observa-se que os triângulos ADE e ADF são congruentes pois têm a mesma base e mesma altura. Também são congruentes os triângulos BCD e BGD. Deste modo construiu-se um triângulo FDG com área equivalente à área do pentágono.

11. Segundo Passo: Transformar um triângulo escaleno num triângulo isósceles de mesma área.

12. Para transformar o triângulo escaleno FGD num triângulo isósceles com mesma área, traça-se uma paralela ao lado FG passando pelo vértice D e, a seguir, traça-se a mediatriz do lado FG do triângulo determinando os pontos H e I. Os triângulos escaleno e isósceles possuem áreas iguais.

13. A dificuldade que se apresenta é transformar um triângulo escaleno num triângulo equilátero. Essa transformação não pode ser feita diretamente, portanto vamos transformar o triângulo escaleno num retângulo.

14. Traça-se primeiramente o ponto médio M da altura FC do triângulo. Pelo ponto M traça-se uma reta s paralela à base AB do triângulo. A seguir, traçam-se retas paralelas à altura FC, passando por A e B, respectivamente, determinando os pontos E e D sobre a reta s.

15. Os triângulos MCG e BDG são congruentes pois possuem três ângulos iguais. Dois ângulos são opostos pelo vértice vértices , os ângulos por serem alternos internos e os outros dois pelo paralelismo entre seus lados. Do mesmo modo são congruentes os triângulos AEH e HMC.

16. Desse modo transformou-se o triângulo escaleno ABC no retângulo ABDE de mesma área.

17. Terceiro Passo: Transformar um retângulo num quadrado de mesma área.

18. A partir do retângulo ABCD, pode-se traçar um quadrado de área equivalente. Para isso vamos rebater o lado AD sobre a reta r, determinando o ponto E e determinamos o ponto O, ponto médio do segmento EB.Com centro em O e raio OE traça-se uma semicircunferência. Prolongando o lado AD determinamos o ponto F sobre a circunferência e traçamos o triângulo EFB.

19. Observamos que o vértice F está sobre a circunferência e, das relações métricas de um triângulo retângulo, pode-se concluir que AF x AF=EA x AB. Como a medida de AD é igual a medida de EA, pois é o raio da circunferência menor, a área do quadrado AFGH é equivalente à área do retângulo ABCD.

20. A construção realizada até o momento mostra que é possível transformar um pentágono irregular num quadrado de área equivalente. Este processo é denominado de “Quadratura de Uma Figura Plana”. Nosso propósito é mostrar que é possível transformar um polígono regular ou irregular num triângulo equilátero que é a figura plana regular com menor número de lados.

21. Quarto Passo: Transformar um quadrado num triângulo equilátero de mesma área.

22. Para transformar um quadrado num triângulo equilátero o primeiro passo consiste em construir um triângulo BFE equilátero.

23. A seguir determina-se o ponto G, ponto médio de FH, que corresponde a altura do triângulo BEF. Pelo ponto G traça-se uma reta s paralela à reta r, determinando o ponto J sobre o lado do quadrado. Traçando uma perpendicular à reta r, passando por E, determina-se o ponto I sobre s. O retângulo BEIJ é equivalente ao triângulo equilátero BEF.Com centro em B rebate-se o lado BJ sobre a reta r, determinando o ponto K.

24. A seguir determina-se o ponto médio L do segmento KE. A partir de L, traça-se uma semicircunferência passando pelos pontos K a E. Esta circunferência, ao interceptar o quadrado ABCD determina o ponto M. O segmento BM é o lado do quadrado BMNO, equivalente ao retângulo BEIJ de acordo com a construção realizada anteriormente.. A partir do ponto M traça-se o segmento MF.

25. Prolonga-se o segmento BF, e por C, traça-se uma semi-reta t, paralela ao segmento MF, encontrando o segmento BF no ponto P. Pelo ponto P, traça-se uma semi-reta s paralela ao lado EF do triângulo equilátero BEF, a qual intercepta a prolongação de AB no ponto Q. O triângulo BQP é eqüilátero e é semelhante ao triângulo BEF. O triângulo equilátero BQP é equivalente ao quadrado ABCD.

26. O triângulo BQP possui área equivalente ao quadrado ABCD.

27. CONSIDERAÇÕES FINAIS • Essa apresentação propiciou retomar a discussão sobre: • O conceito de quadratura das figuras planas; • A História da Matemática como uma estratégia para ensinar matemática; • A congruência de triângulos e suas propriedades.

28. Pode-se concluir que: Este tipo de atividade propicia a compreensão do significado das transformações geométricas aplicadas a figuras planas mantendo áreas equivalentes; A utilização de um software de Geometria Dinâmica é de fundamental importância para visualização das construções realizadas.