Didattica della matematica II semestre

1. Didattica della matematica II semestre • Oggetto di riflessione: • Evoluzione storica • Problematiche didattiche • Attività: • Problem solving • Analisi di protocolli La dimostrazione L’algebra come strumento dimostrativo Attività di avvio alla dimostrazione: -generazione di esempi - …

2. Oggetto di riflessione: • Evoluzione storica • Problematiche didattiche • Evoluzione storica del concetto di dimostrazione • Dallo storia alla riflessione didattica: • Come si insegna la dimostrazione a scuola? • Come dimostrano gli studenti?

3. Dal questionario…

4. In quali contesti si parla di dimostrazione? In ogni ambito della vita reale. Si parla di “dimostrazione” in senso lato: in qualunque ambito con frasi del tipo “questa è la dimostrazione che…” con cui in realtà si intende solo vagamente lo stesso concetto che si usa in matematica. In senso proprio la “dimostrazione” si usa in logica, matematica, a volte in fisica. Nel contesto matematico (dimostrazioni di teoremi, di proprietà geometriche, …), nella logica, nel ragionamento (sillogistico e non). Anche nella vita di tutti i giorni si usa spesso il termine “dimostrare”: credo che, anche nel linguaggio, esistano regole logiche e metodi induttivi che permettono di dimostrare un pensiero, una convinzione. Insomma, ovunque! Non solo in matematica, anche per esempio in attività fisiche, nella manualità, nelle espressioni artistiche. Spesso si sente dire: “il soggetto ha dimostrato di aver acquisito…”

5. In quali contesti si parla di dimostrazione? Si parla di dimostrazione ogni volta che si vuole convincere se stessi o gli altri della verità di una certa affermazione. In tutti gli ambiti nei quali è necessaria una verifica oggettiva di una certa ipotesi. In tutti i contesti scientifici all’interno dei quali è necessario procedere nello studio attraverso certezze.

6. In quali contesti si parla di dimostrazione? • Uso del termine nella lingua comune e nelle scienze • Contesti diversi • Fisica, logica • Funzioni della dimostrazione • - Dimostrazione e verità

7. Che cos’è una dimostrazione in matematica? È un ragionamento corretto attraverso il quale si verifica una tesi partendo da alcune ipotesi. La dimostrazione, in matematica, è un ragionamento logico-deduttivo costituito da una sequenza di proposizioni dedotte una dall’altra sulla base di assiomi e postulati assunti noti. Una successione di fatti veri, ognuno dei quali è dedotto dai precedenti e serve per ottenere i successivi. Un numero di passaggi corretti (…) tramite i quali una certa proposizione può essere ricavata a partire da altre proposizioni ritenute valide.

8. Che cos’è una dimostrazione in matematica? Voler verificare che applicando determinate procedure, regole si arriva ad un particolare risultato. Questa procedura deve essere convincente sia per chi la illustra che per chi ascolta.

9. A che cosa serve la dimostrazione in matematica? A stabilire il valore di verità di un’affermazione. Serve per poter considerare vere certe proposizioni, in modo da giungere successivamente, a partire da queste, a nuove proprietà. A mostrare la veridicità di nuovi risultati. Serve ad avere la certezza assoluta della verità di una asserzione matematica presa nel proprio contesto e correttamente interpretata. A convincere che una particolare ipotesi porta ad una particolare verità e a dubitare di qualsiasi concetto.

10. Quali caratteristiche deve avere una dimostrazione per essere accettabile in matematica? Non deve utilizzare argomenti non ancora dimostrati, ma deve avvalersi solo di concetti precedentemente acquisiti e ritenuti indiscutibili. Deve partire da alcune ipotesi, seguire un ragionamento deduttivo logico e corretto per verificare la tesi.

11. Quali caratteristiche deve avere una dimostrazione per essere accettabile in matematica? Deve partire da ipotesi fondate e riconosciute valide in ambito matematico, evolversi con passaggi logici e precisi. Una dimostrazione deve essere chiara (comprensibile), il più possibile sintetica e deve essere compatibile con quanto già provato per essere accettata. Deve risultare “corretta” ad ogni passaggio, cioè deve rispettare le ipotesi e gli assiomi di partenza e svilupparsi esclusivamente a partire da questi. Una dimostrazione è accettata, inoltre, se non esistono controesempi che la invalidano.

12. Quali caratteristiche deve avere una dimostrazione per essere accettabile in matematica? In generale fare uso (e farne uso correttamente) di regole di inferenze valide e fatti già dimostrati, oltre che partire da un insieme di ipotesi non contraddittorie (altrimenti qualunque asserzione può essere dimostrata). Vi sono poi problemi specifici e tecnici su assiomi in parte dibattuti (assioma della scelta) o verificabilità effettiva (dimostrazione del teorema dei quattro colori).

13. Dalla letteratura …

14. Spiegazione:discorso che ha lo scopo di mostrare il carattere di verità di una proposizione o di un risultato • Prova : spiegazione accettata da una comunità. I criteri di accettabilità sono relativi ad una comunità fissata in un momento storico fissato • Dimostrazione: una prova strutturata secondo regole precise, condivise all’interno della comunità dei matematici. (Balacheff, 1987)

15. Un teorema è un enunciato formale condizionale (cioè della forma “se… allora…”) del tipo “se T allora A”, dove: T è l’insieme delle assunzioni, gli assiomi della teoria, ed è costituito da un enunciato o un insieme di enunciati. A è la conclusione e può essere a sua volta nella forma condizionale “BC”, il cui antecedente B si chiama ipotesi ed il conseguente C tesi. Un teorema è un enunciato della forma “se T allora A” in cui A è conseguenza logica di T, ovvero in ogni interpretazione del linguaggio formale in cui sono T ed A, se T risulta vero allora anche A risulta vero. Scorciatoie: “considerazioni e ragionamenti che permettono di prendere in esame ed eliminare in blocco insiemi di possibili interpretazioni, ed eventualmente arrivare a concludere che tutte ricadono sotto il tipo di considerazioni che si sono svolte”. Queste scorciatoie sono le dimostrazioni. Dato un teorema “se T allora A”, si dice che A è un teorema di T. Un teorema è tale all’interno di una teoria (rappresentata dagli assiomi T). (Lolli, 2005)

16. La dimostrazione è “una bolla di accompagnamento che certifica il fatto che A è conseguenza logica di T.” Non ci sono restrizioni sulla maniera di presentare tale “certificato”, il cui formato varia nella storia della matematica ed all’interno delle sottodiscipline: l’unica condizione è che sia un argomento finito, in modo da poterlo comunicare agli interlocutori. Non si può richiedere che la dimostrazione sia convincente o facile da capire, dal momento che tali caratteristiche dipendono da chi legge la dimostrazione stessa. (Lolli, 2005)

17. Teorema di completezza: se A è un teorema di T, allora esiste una derivazione di A da T. La derivazione è una successione finita di formule ciascuna delle quali è ottenuta da qualcuna delle formule precedenti per applicazione di una delle regole del calcolo logico. Se in linea di principio ogni dimostrazione si può “tradurre” in modo formale, non è detto che tutte le dimostrazioni si presentino direttamente in modo vicino alla sistemazione formale. • Si può distinguere tra: • le dimostrazioni formali, ovvero le concatenazioni di passaggi logici, ciascuno dei quali fa riferimento solo ai passaggi precedenti (le quasi-derivazioni) • le dimostrazioni informali, forme argomentative che non si prestano ad una traduzione secondo le regole del calcolo logico, oppure che sono rigorose ma espresse in un linguaggio diverso (per esempio le dimostrazioni semantiche). • Al di fuori della logica, sono chiamate comunemente dimostrazioni le dimostrazioni informali, ovvero quelle che si trovano nei libri di testo o sono presentate all’interno della comunità dei matematici. (Lolli, 2005)

18. Dal questionario…

19. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? Convincere noi che l’abbiamo scritta nel senso che non vi troviamo contraddizioni; una volta fatta bisogna che convinca gli altri nel senso che non ci sia sfuggito qualcosa ma sia effettivamente corretta. Convincere nel senso che i passaggi non devono contenere contraddizioni. Illuminare nel senso che deve far ripensare a quanto si è utilizzato, alle cose che già si sanno e a che cosa ci servono per estendere le nostre conoscenze.

20. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? Sono d’accordo che una dimostrazione debba convincere se stessi e gli altri, anche se al tempo stesso la mia idea di dimostrazione è di qualcosa di talmente rigoroso da non poter essere discutibile. Quindi in un certo senso non deve convincere, basta che esista. Sul fatto che possa illuminare sono d’accordo, può suscitare nuove intuizioni. Più che convincere penso che una dimostrazione in matematica debba illuminare ed essere corretta. Non è necessario che sia “convincente” perché se è corretta afferma la verità.

21. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? Sono perfettamente in accordo con la prima delle due frasi, mentre per la seconda condivido la parte del “convincere” (me e gli altri) ma vorrei precisare l’illuminare. Vedo in questo termine due significati: aprire la strada ad altre dimostrazioni, convincere la persona che può utilizzare l’assunto appena dimostrato. Per la seconda mi chiedo: l’illuminazione è riferita a concetti futuri o mi ha permesso di capire e di convincermi di dimostrazioni e concetti precedenti? Forse entrambi gli aspetti.

22. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? “Convincere” non è la parola giusta per una dimostrazione, si può convincere qualcuno di una cosa anche se non è corretta. Anche illuminare non è del tutto corretto: illuminare su una certa affermazione può svelare relazioni nascoste tra oggetti ma magari non è sufficiente per arrivare alla tesi. Ritengo vere entrambe le affermazioni, ma penso sia necessario specificare il termine “convincere”. Attribuendo al verbo un significato di oggettività (una convinzione, cioè, derivata univocamente da premesse date sulla base di regole logiche e assiomi condivisi da tutti) allora le due affermazioni, pur non definendo cosa sia dimostrazione, contengono una verità. Altrimenti, implicano una soggettività che nulla ha a che fare con la dimostrazione.

23. Cosa pensi delle due seguenti affermazioni: “Una dimostrazione deve convincere se stessi e convincere gli altri”; “Una dimostrazione deve convincere ed illuminare”? In parte non mi soddisfano molto perché fanno riferimento a stati d’animo, che non devono necessariamente essere presi in considerazione … userei al posto di “deve” (sembra una condizione necessaria) un altro verbo. Si tratta di affermazioni (specialmente la seconda) che riguardano qualità assolutamente desiderabili in una dimostrazione, ma non a mio parere assolutamente necessarie per definirla tale. Talvolta la dimostrazione di un fatto evidente può essere oscura, mentre in casi fortunati la dimostrazione di un fatto controintuitivo può essere illuminante. Una dimostrazione poi dovrebbe chiaramente convincere ma può essere valida anche se la sua coerenza è controllata automaticamente. Le affermazioni hanno chiaramente comunque un valore in ambito didattico se interpretate come “Una dimostrazione per essere didatticamente efficace deve…”

24. E.Barbin, 1994: La dimostrazione in matematica: significati epistemologici e questioni didattiche L’insegnamento della matematica e delle scienze integrate, v.17B n.3

25. Idea: rifarsi alla storia ed all’epistemologia della matematica, per meglio affrontare, dopo, le problematiche didattiche • Evoluzione storica → apprendimento da parte degli allievi • Studenti di riferimento: collège francese (scuole medie + biennio superiori)

26. L’evoluzione storica del concetto di dimostrazione • La dimostrazione nell’Antica Grecia • Prima rottura: la matematica del secolo XVII • Seconda rottura: la matematica del secolo XIX

27. Forme di prova, di diverso livello, sono presenti già nella matematica egizia Solo nella Grecia del V secolo a.C. appaiono i primi esempi di dimostrazione Il passaggio dalla prova alla dimostrazione è legato ad una nuova concezione della matematica, che diviene una scienza ipotetico-deduttiva

28. Dagli Elementi di Euclide Proposizione X, CXVII “Nelle figure quadrate la diagonale è incommensurabile in lunghezza con il lato.”

29. Dagli Elementi di Euclide Due grandezze si dicono commensurabili se hanno una misura in comune. Due segmenti AB e CD sono commensurabili se esiste un segmento UV che li misura entrambi, cioè se esistono m, n interi tali che AB=nUV e CD=mUV. AB ha con CD la ratio che m ha con n.

30. Dagli Elementi di Euclide Nelle figure quadrate la diagonale è incommensurabile in lunghezza con il lato Per assurdo: Se AB e CD sono commensurabili, AB ha con CD la ratio di n con m (posso supp. n, m primi tra loro) Per il teorema di Pitagora, BD² = 2 AB² Dunque m² = 2n² m risulta pari, quindi n dispari; m pari quindi m=2k 4k² = 2n² quindi 2k² = n² , quindi n pari

31. Questa dimostrazione convince, ma “forza a credere” senza far cogliere il senso del perché la proposizione è vera Caratteristica tipica della dimostrazione nella geometria greca

32. La dimostrazione nella geometria greca • L’origine della dimostrazione è strettamente legata alla comparsa, a partire dal VI secolo a.C., della democrazia come forma di governo • Nella vita politica delle città greche assume grande importanza il dibattito, l’argomentazione volta a contraddire l’avversario: le sue “regole” finiscono col caratterizzare l’attività intellettuale, quindi la filosofia e la matematica • La dimostrazione ha lo scopo di convincerel’interlocutore • Sono preferiti gli argomenti altamente persuasivi (ex: il ragionamento per assurdo) • Sono evitati quegli argomenti che potrebbero risultare “deboli” ed essere rifiutati, come i procedimenti all’infinito

33. La dimostrazione nella geometria greca Dimostrazione come atto sociale, che mira a convincere l’interlocutore: • L’interlocutore ammette un certo numero di punti (postulati) • Ragionamento deduttivo per portare l’interlocutore a consentire

34. La dimostrazione nella geometria greca Però… • Convincere non sempre è facile • Per evitare le obiezioni si evitano gli argomenti “pericolosi” (ex: infinito) e non si indica come la dimostrazione è stata prodotta • Rischio: convincere senza far comprendere • In questo modo si convince chi condivide la razionalità euclidea

35. Commenti degli studenti “Allora il teorema di Pitagora è falso” • C’è comprensione della dimostrazione per assurdo (un argomento va rifiutato) • Ma… quale argomento si rifiuta? Per gli studenti: • AB e CD sono commensurabili (evidenza dalla figura vs segmento “ideale”) • Non colgono che la commensurabilità è l’unico argomento “sotto esame” • Il teorema di Pitagora può essere messo in discussione Razionalità matematica

36. Commenti degli studenti • Insoddisfazione perché l’argomento su cui si basa la dimostrazione (pari/dispari) è lontano da ciò che è in causa (segmenti incommensurabili) • Argomentazione di tipo aritmetico • Dimostrazione artificiosa (per assurdo)

37. Altra dimostrazione della proposizione X, CXVII: metodo della sottrazione successiva Proposizione X,2: Se di due grandezze disuguali veniamo a sottrarre, sempre e vicendevolmente, la minore dalla maggiore, e quella restante non misura mai la precedente, le grandezze sono incommensurabili

38. Altra dimostrazione della proposizione X, CXVII: metodo della sottrazione successiva Si prende E tale che DE=DC. Si ha dunque BD-DC=BE Si prende poi la perpendicolare a a BD in E, che taglia BC in F. Si dimostra che BE=EF=FC. Allora la differenza BC-BE si può scrovere come: BC-BE=DC-FC=BF Ora occorre costruire la differenza BF-BE…

39. Problema dell’infinito, rischio del rifiuto • Procedimento diretto • Procedimento che corrisponde direttamente al criterio di incommensurabilità • Dimostrazione che “illumina”

40. La dimostrazione nel secolo XVII Critiche alla dimostrazione greca: • Troppe dimostrazioni per assurdo • Mancanza di metodi generali • Mancata illustrazione del metodo di scoperta I greci hanno tramandato i risultati ma non la loro “arte”

41. La dimostrazione nel secolo XVII Critiche ai geometri greci (Arnaud & Nicole, 1674): • Aver maggior cura della certezza che dell’evidenza • Convincere gli spiriti anziché illuminarli • Dimostrare cose che non hanno bisogno di essere dimostrate • Dimostrazioni per impossibile, che convincono lo spirito senza illuminarlo, perché “il nostro spirito non è affatto soddisfatto se non sa non solamente che una cosa è, ma anche perché è” • Dimostrazioni dedotte per vie troppo distanti • Mancanza di metodo

42. La dimostrazione nel secolo XVII Critiche ai geometri greci Cartesio: • Le dimostrazioni negli Elementi non descrivono il metodo usato. • Sembra che i risultati siano stati scoperti per caso • I greci hanno preferito far sparire la loro arte dell’invenzione

43. La dimostrazione nel secolo XVII I matematici cinesi: • Apprezzano i risultati degli Elementi, ma non le dimostrazioni (troppo “verbose”) • Distinguono nell’idea di dimostrare: • Convincere e persuadere • Far comprendere

44. La dimostrazione nel secolo XVII Ingegneri-matematici (Galileo, Cartesio, Pascal) • Attenzione alla misura ed al funzionamento dei fenomeni più che alla loro spiegazione • Creare metodi di risoluzione generale per classi di problemi simili (es: il metodo cartesiano) • Inventare nuovi risultati

45. La dimostrazione nel secolo XVII • La dimostrazione ha lo scopo di illuminare e non solo di convincere • Se dimostrare significa illuminare, rendere evidente e certo, allora un metodo che porta alla scoperta ha anche valore dimostrativo. • Importanza dei metodi di scoperta, non solo del metodo deduttivo • Metodo cartesiano: • risolvere problemi geometrici riconducendosi a equazioni algebriche • Analisi e sintesi: • La sintesi strappa il consenso ma non soddisfa • L’analisimostra la via per la quale la cosa è stata inventata

46. Prime riflessioni didattiche • “Dimostrare” può avere diversi significati: • Quale significato per gli studenti? • Quale significato per l’insegnante? • Se dimostrare significa illuminare, illustrare il metodo di risoluzione può avere valore dimostrativo • Se la dimostrazione non ha solo lo scopo di convincere, perché nell’insegnamento si privilegia il metodo deduttivo? • Se una cosa è evidente, per l’allievo non va dimostrata

47. La dimostrazione nel secolo XIX • Nel secolo XVII, l’evidenza è un valore positivo, è fonte di certezza • Arnaud & Nicole criticano gli antichi greci, che dimostrano anche ciò che è evidente • Legendre (1823) definisce un teorema come una verità che diventa evidente per mezzo di un ragionamento detto dimostrazione Ma… • Bolzano (1817) si oppone alla concezione della dimostrazione come “fabbrica di evidenze”

48. La dimostrazione nel secolo XIX Bolzano critica le dimostrazioni che si fondano su una verità geometrica, anche se evidente. Una dimostrazione deve essere un fondamento e ciò che fonda una proposizione è poter stabilire delle relazioni tra questa proposizione ed altre proposizioni.

49. La dimostrazione nel secolo XIX “Rottura” legata alla crisi della geometria euclidea, seguita alla nascita delle geometrie non euclidee Si assiste ad una vera “perdita delle certezze”, cui i matematici cercano di porre rimedio rifondando la matematica su basi più sicure: • Si pretende un maggiore rigore nelle dimostrazioni ed è rifiutatoogni ricorso all’evidenza • Gli assiomi non sono più, come in Euclide, delle verità evidenti e condivise da tutti, ma diventano dei “punti di partenza” liberamente scelti

50. La dimostrazione nel secolo XIX • La nascita delle geometrie non euclidee ha effetto: • sulla geometria, in quanto mostra che è possibile costruire sistemi coerenti anche assumendo assiomi che non siano basati sull’evidenza fisica • a livello più generale, suggerendo la possibilità di creare nuovi sistemi assiomatici in altri campi della matematica • La nuova attenzione al rigore ed alla formalizzazione si traduce anche in una ripresa della geometria euclidea, che è riorganizzata in modo assiomatico • Si realizza il programma di aritmetizzazione dell’analisi, che ha lo scopo di riprendere e definire in modo più rigoroso i concetti dell’analisi