Pour tout entier n , √ n est entier ou irrationnel

1. Pour tout entier n, √n est entier ou irrationnel Un beau théorème absent de l’arithmétique d’Euclide (Livres 7 à 9 des Éléments)

2. √n est entier ou irrationnel 1 - √2 et la « crise » des quantités irrationnelles Si √2 était un rapport de deux entiers, la diagonale et le côté d’un carré seraient mesurés par une même unité (i.e. en seraient des multiples entiers). On pourrait alors construire un carré de côté plus petit que la moitié du précédent et qui serait mesuré par cette même unité. On peut refaire cette construction jusqu’à obtenir une longueur mesurée par une unité plus grande qu’elle ! (Cf. la démonstration d’Euclide, Livre X, prop. 117). Preuve d’Aristote : 2 ne peut pas être le carré d’un rapport d’entiers. En effet, si deux entiers a et bétaient dans un rapport irréductible (i.e. sans diviseur commun) tel que a2=2b2, a serait un nombre pair (car le carré d’un nombre impair est impair) et 2b2 serait multiple de 4. b serait donc pair et 2 serait diviseur commun de a et b ! • I - L’irrationalité de √n

3. √n est entier ou irrationnel 2 - Généralisations ? Théodore de Cyrène (460-369) avait obtenu l’irrationalité de √3 et √5 Platon (428-347) dans le dialogue du Thééthète: « Théodore que voici nous avait tracé quelques figures à propos de racines et nous avait montré que celles de trois pieds et de cinq pieds ne sont point pour la longueur commensurables avec celle d'un pied, et, les prenant ainsi, l'une après l'autre, il était allé jusqu' à celle de dix-sept pieds et il s'était, je ne sais pourquoi, arrêté là ». La question générale de l’irrationalité de √nétait à la portée des Grecs, tous les arguments nécessaires sont rassemblés dans le Livre VII des Éléments d’Euclide (prop. 20 à 32), pourtant le résultat général n’y figure pas. • I - L’irrationalité de √n

4. √n est entier ou irrationnel 3 - Démonstration de la propriété, prérequis : Elle s’appuie sur le théorème dit « de Gauss » suivant : Soient a, b, c trois entiers naturels. Si a est premier avec b et si a divise le produit bc, alors a divise c. On utilisera seulement cette conséquence immédiate, présente dans les Éléments (Livre VII, prop. 25) : (1) Si p est un nombre premier divisant a2, alors p divise a. On y trouve aussi (prop. 32) que : (2) pour tout entier non premier b >1, il existe un diviseur premier de b. Enfin (prop. 20 à 22) que : (3) tout rationnel peut être représenté par une fraction irréductible unique. • I - L’irrationalité de √n

5. √n est entier ou irrationnel • 3 - Démonstration de la propriété : • Supposons que √n soit rationnel non entier, • Ce rationnel peut donc être représenté par la fractionirréductible a/b, avec b >1 (3). • - a et b sont donc deux entiers premiers entre eux, tels que a2=nb2. • - Soit p un diviseur premier de b (2). • - p divise a2 et doncdivise a (1). • - a et b ayant p pour diviseur commun, ne seraient pas premiers entre eux ! • - rejet de l’hypothèse absurde: si √n n’est pas entier, il ne peut être rationnel. • I - L’irrationalité de √n

6. √n est entier ou irrationnel 1 - La division euclidienne Pour Euclide, toute l'arithmétique dans IN* repose sur cette division “naturelle”, non énoncée dans les Éléments : Pour tout couple d'entiers non nuls (a, b) tels que a≥ b, il existe un couple unique d'entiers (q, r) tels que: a= b q + r, avec q ≥ 1 et 0 ≤ r < b. Résultat obtenu simplement en retranchant b de a autant de fois q qu'il est possible. Le reste r est donc strictement inférieur àb, sinon on pourrait enlever b de a – b q une fois de plus. 2 - L’algorithme d’Euclide(Livre VII, prop. 1): « Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais le [reste] précédent jusqu’à ce qu’il subsiste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux ». • II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.

7. √n est entier ou irrationnel Avec les propositions 2 à 12 du Livre VII, Euclide étudie les propriétés de la divisibilité, et celles des proportions avec les propositions 13 à 19. Proportion : Deux couples d’entiers (a, b) et (c, d) sont en proportion si et seulement si ad= bc (prop. 19). Euclide dit qu’ils sont en « même raison », ou « dans le même rapport ». (Pour nous : ils définissent un même rationnel). 3 - La réduction des fractions Proposition 20, la clé : « Les plus petits nombres parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux mesurent ceux qui ont le même rapport autant de fois, le plus grand le plus grand et le plus petit le plus petit ». Traduction: Si aet b sont deux entiers non nuls et si pour tout (c, d) formant avec (a, b) une proportion on a a ≤ c et b ≤ d, alors il existe un entier q tel que c = q a et d = q b. • II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.

8. √n est entier ou irrationnel 3 - La réduction des fractions Proposition 21, la bonne remarque : « Les nombres premiers entre eux sont les plus petits parmi ceux qui ont le même rapport qu’eux ». Proposition 22, réciproque : « Les nombres les plus petits parmi ceux qui sont dans le même rapport qu’eux sont premiers entre eux ». Synthèse: le théorème d’Euclide : Soient (a, b) et (c, d) deux couples d’entiers non nuls en même rapport (ad=b c). Si a et b sont premiers entre eux, alors c et d sont équimultiples de a et b (i.e. il existe un entier q tel que c=aq et d = b q). Interprétation moderne: Tout nombre rationnel représenté par une fraction c/d, peut être représenté par une fraction irréductible unique a/b avec c=aq et d = bq, où q est le p.g.c.d. de c et d). • II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.

9. √n est entier ou irrationnel 4 - Conséquence directe : le théorème dit « de Gauss » – Supposons que a divise b c et que a est premier avec b. – Il existe donc d non nul tel que a d = b c. –a et b sont premiers entre eux dans le même rapport que (c, d). – D’après le théorème d’Euclide, a divise c. 5 - Les énoncés d’Euclide : Proposition 24 : Si a est premier avec b et avec c, alors a est premier avec b c. Cas particulier (proposition 25): Si a est premier avec b, alors a est premier avec b2. Conséquence contraposée pour a premier : Si p premier divise b2, alors p divise b. Théorème de Gauss pour a premier (proposition 30) : « Si deux nombres se multipliant l’un l’autre produisent un certain [nombre] et si un certain nombre premier mesure leur produit, il mesurera aussi l’un des nombres initiaux. » Si p est un nombre premier et si il divise le produit b c, il divise b ou il divise c • II - Arithmétique dans les Éléments d’Euclide.