1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités

1. 1 - Programme de Seconde (juin 2009)Statistique et probabilités Statistique et probabilités

2. 1 - Programme de Seconde (juin 2009)Statistique et probabilités Statistique et probabilités

3. 2 - Échantillons 2.1 - Définitions 2.1 - Définitions Quand on doit décrire une population comportant un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on ne veut pas, en général pour des raisons économiques, en faire une étude exhaustive. Les observations ne portent alors que sur un nombre restreint d'individus à sélectionner selon un protocole expérimental. Les individus sélectionnés et leur ordre de sélection constituent un échantillon, leur nombre est la taille de l'échantillon. Quand on doit décrire une population comportant un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on ne veut pas, en général pour des raisons économiques, en faire une étude exhaustive. Les observations ne portent alors que sur un nombre restreint d'individus à sélectionner selon un protocole expérimental. Les individus sélectionnés et leur ordre de sélection constituent un échantillon, leur nombre est la taille de l'échantillon.

4. 2 - Échantillons 2.2 - Comment prélever un échantillon ? 2.2 - Comment prélever un échantillon ? Lors d’une prise de décision à partir d‘un échantillon, pour que les résultats de la théorie des probabilités s'appliquent, il est important que l'échantillon soit prélevé au hasard. Chaque individu de la population doit avoir la même probabilité d'être sélectionné. échantillon aléatoire.

5. 2 - Échantillons 2.2 - Comment prélever un échantillon ? Deux types d'échantillons : • Échantillons exhaustifs ou constitués sans remise • Échantillons non exhaustifs ou constitués avec remise • Le programme de Seconde 2009 ne retient que ce type d'échantillons : • "Un échantillon est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience".

6. 2 - Échantillons 2.3 - Échantillonnage 2.3 - Échantillonnage L'échantillonnage est l'étude des distributions de fréquences de variables définies sur l’ensemble des échantillons (proportion, moyenne, variance…).

7. On considère une population de 4 enfants : Adeline, Benjamin, Clara et David, d'âges respectifs 12, 13, 14 et 15 ans et on s'intéresse aux enfants de plus de 14 ans et demi. Il y en a une proportion p = 1/4 dans la population-mère. On constitue (avec remise) des échantillons de taille 3. On peut ainsi constituer 43=64 échantillons. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.1 - Un premier exemple 3.1 - Un premier exemple

8. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.2 – D’autres situations similaires 3.2 – Des situations similaires • Tirage d’une boule dans une urne contenant 1 boule blanche et 3 rouges • Tirage d’une boule dans une urne contenant 100 boules blanches et 300 rouges • Lancer d’un dé tétraédrique équilibré et obtention d'une des faces • Roue de loterie dont un quart est peint en rouge et le reste en bleu et obtention du rouge • …

9. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.3 - Exemples

10. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.3 - Exemples

11. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.3 - Exemples

12. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.3 - Exemples

13. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.4 – Quand n augmente Résultat 1 : Les proportions observées sont de plus en plus souvent proches de la proportion du caractère dans la population-mère lorsque la taille de l'échantillon n augmente. Résultat 2 : Lorsque n est grand la distribution de fréquence de la proportion d’échantillonnage s'approche d'une "distribution en cloche".

14. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.4 – Quand n augmente

15. 4 - Intervalles de fluctuation 4.1 - Définition 4.1 - Définition L’intervalle de fluctuation d’une fréquence ou proportion à 95%, pour des échantillons de taille n, est l’intervalle : • d'amplitude minimale, • centré autour de p, proportion du caractère dans la population, • contenant la proportion observée sur un échantillon aléatoire de taille n, avec une probabilité au moins égale à 0,95.

16. p = 25 % 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination 4.2 - Détermination Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : Distribution des fréquences

17. 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 86,6 % p = 25 % Distribution des fréquences

18. 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 98 % p = 25 % Distribution des fréquences L'intervalle de fluctuation est [0 ; 0,5].

19. p = 25 % 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi :

20. p = 25 % 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 96,7 %

21. 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination L'intervalle de fluctuation est [0,1 ; 0,4].

22. 25 % 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi :

23. 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 95,1 %

24. 4 - Intervalles de fluctuation 4.2 - Détermination L'intervalle de fluctuation est [0,17 ; 0,33].

25. Soit X1, X2,..., Xn une suite de n variables aléatoires indépendantes de même loi de probabilité admettant pour espérance mathématique m et pour écart-type s. On pose : X =    (X1 + X2 + ... + Xn). _ _ 1 n 5 - Des mathématiques 5.1 – Espérance et variance de la moyenne d’échantillonnage _ X a pour espérance m et pour écart-type .

26. _ 5 - Des mathématiques 5.2 - Des théorèmes 5.2 - Des théorèmes Loi faible des grands nombres : Pour tout e > 0, P (|X - m |  e ) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. Théorème limite central : Alors pour n grand, la loi de la moyenne X peut être approchée par la loi normale de paramètres m et . _

27. 1 _ n 5 - Des mathématiques 5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage • Dans une population statistique, on s’intéresse à une propriété A. On tire un échantillon de taille n. Prenons pour variables Xi, les variables qui, à chaque échantillon, associent la valeur 1 si le i-ème individu possède la propriété A et 0 sinon. •   (X1 + X2 + ... + Xn) évalue la proportion de la propriété A dans l’échantillon, notons-la F.

28. 5 - Des mathématiques 5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage • Comme l’espérance mathématique des variables aléatoires Xi est égale à p, alors d’après la loi des grands nombres • Pour tout e > 0, P (|F - p|  e ) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. • La probabilité que F prenne une valeur éloignée de p de moins d’un e fixé à l’avance tend vers 1 lorsque n tend vers l’infini.

29. 5 - Des mathématiques 5.3 - Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage • Comme l’espérance mathématique et l'écart-type des variables aléatoires Xi sont respectivement p et , d’après le théorème limite central : Pour n grand, la loi de F peut être approchée par la loi normale de paramètres p et .

30. 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage On cherche un réel a tel que P(paFp+a) = 0,95 D'après le théorème limite central, pour n assez grand (n 25), la loi de la F peut être approchée par la loi normale de paramètres p et . Alors la loi de est approchée par la loi normale centrée, réduite.

31. 95 % 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage L'équation P(paFp+a) = 0,95 devient : La table de la loi normale centrée, réduite donne

32. 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage L'intervalle de fluctuation est approché par : Or 1,96 < 2 et pour 0,2  p  0,8, on a donc 0,4   0,5 Ainsi 1,96 est compris entre 0,8 et 1.

33. 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage Finalement l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille n, est approché par l’intervalle : Remarque : Cet intervalle contient l'intervalle :

34. On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque 6.1 - Construction d'un abaque

35. On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40, est [0,22 ; 0,52]. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

36. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.

37. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

38. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.

39. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

40. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

41. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

42. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

43. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

44. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

45. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

46. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

47. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

48. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

49. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.1 - Construction d'un abaque

50. 6 - Estimation par intervalle de confiance 6.2 - Utilisation de l'abaque 6.2 - Utilisation de l'abaque On souhaite estimer la proportion p (inconnue) d'individus présentant une propriété donnée dans une population statistique à partir d'un échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans remise. Supposons que la propriété est observée dans l'échantillon avec une fréquence de 60 %. On détermine ensuite les valeurs de p qui font en sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux échantillons de taille 40 associé à p .